Theorem mapdh6dN 43062

Description: Lemmma for mapdh6N 43070. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ + = (+g‘𝐶)
mapdh6d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6dN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   𝑤,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   + ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   + (𝑥, 𝑤)   𝑄(𝑤, ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥, 𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑊(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6dN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		mapdh.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
6		mapdh.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
7		mapdh.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdh.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
11		mapdhc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		mapdh.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdh.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
14		mapdh.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
15		mapdh.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16		mapdhc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh.mn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdhcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh6d.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
21	1, 8, 3	dvhlvec 42432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22	18	eldifad 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdh6d.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		mapdh6d.wn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	9, 12, 21, 20, 22, 24, 25	lspindpi 21461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
27	26	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
28	27	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
29	5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 20, 28	mapdhcl 43050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
30		mapdh.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐶)
31	13, 30, 5	lmod0vrid 21219	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
32	4, 29, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
33	32	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
34		oteq3 4867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
35	34	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
36	5, 6, 11, 18, 16	mapdhval0 43048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
37	35, 36	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = 𝑄)
38	37	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + 𝑄))
39		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑤 + 0 ))
40	1, 8, 3	dvhlmod 42433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
41		mapdh.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
42	9, 41, 11	lmod0vrid 21219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
43	40, 20, 42	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
44	39, 43	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = 𝑤)
45	44	oteq3d 4870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
46	45	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
47	33, 38, 46	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
48	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
50	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53		mapdh6d.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	53	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
55	9, 41	lmodvacl 21201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
56	40, 24, 54, 55	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
57	56	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
58		eldifsn 4750	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
59	57, 58	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
60		mapdh6d.yz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
61		mapdh6d.xn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
62	9, 12, 21, 22, 24, 54, 61	lspindpi 21461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
63	62	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
64	9, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25	mapdindp1 43043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
65	9, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25	mapdindp2 43044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
66	9, 11, 12, 21, 18, 56, 20, 64, 65	lspindp1 21462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)})))
67	66	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
68	67	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
69	26	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
70	9, 11, 12, 21, 19, 24, 69	lspsnne1 21446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
71		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
72	9, 12, 71, 40, 24, 54	lsmpr 21415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
73	60	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
74		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
75	9, 74, 12	lspsncl 21303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
76	40, 24, 75	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	74	lsssubg 21283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
78	40, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
79	71	lsmidm 19928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
81	72, 73, 80	3eqtr2d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑌}))
82	70, 81	neleqtrrd 2887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
83	9, 41, 12, 40, 24, 54, 20, 82	lspindp4 21466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑍)}))
84	9, 12, 21, 20, 24, 56, 83	lspindpi 21461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
85	84	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
86	85	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
87		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
88		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩))
89	5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 48, 49, 50, 51, 41, 30, 52, 59, 68, 86, 87, 88	mapdh6aN 43058	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
90	47, 89	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) + (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cotp 4863   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  ℩crio 7407  (class class class)co 7451  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660  -_gcsg 19196  SubGrpcsubg 19380  LSSumclsm 19899  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  LCDualclcd 42909  mapdcmpd 42947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-nzr 20814  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lcv 40342  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-lcdual 42910  df-mapd 42948

This theorem is used by:  mapdh6gN  43065