Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6dN 41123
Description: Lemmma for mapdh6N 41131. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdh6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6dN (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   𝑀,β„Ž   β„Ž,𝑍,π‘₯   ✚ ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘₯   + ,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀)   𝐷(𝑀)   + (𝑀)   ✚ (π‘₯,𝑀)   𝑄(𝑀,β„Ž)   𝑅(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀)   𝐹(𝑀)   𝐻(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝐼(𝑀)   𝐽(𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑀(𝑀)   βˆ’ (𝑀)   𝑁(𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑀,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)   0 (𝑀)   𝑍(𝑀)

Proof of Theorem mapdh6dN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40976 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 mapdh.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
6 mapdh.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
7 mapdh.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdh.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
11 mapdhc.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
12 mapdh.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
13 mapdh.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdh.r . . . . . 6 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
15 mapdh.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
16 mapdhc.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
17 mapdh.mn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
18 mapdhcl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 mapdh6d.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2019eldifad 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
211, 8, 3dvhlvec 40493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2218eldifad 3955 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 mapdh6d.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2423eldifad 3955 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
25 mapdh6d.wn . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
269, 12, 21, 20, 22, 24, 25lspindpi 20983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
2726simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2827necomd 2990 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
295, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 20, 28mapdhcl 41111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)
30 mapdh.a . . . . . 6 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
3113, 30, 5lmod0vrid 20739 . . . . 5 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
324, 29, 31syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
3332adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
34 oteq3 4879 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩)
3534fveq2d 6889 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩))
365, 6, 11, 18, 16mapdhval0 41109 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3735, 36sylan9eqr 2788 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = 𝑄)
3837oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄))
39 oveq2 7413 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)) = (𝑀 + 0 ))
401, 8, 3dvhlmod 40494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
41 mapdh.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
429, 41, 11lmod0vrid 20739 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 + 0 ) = 𝑀)
4340, 20, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 0 ) = 𝑀)
4439, 43sylan9eqr 2788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)) = 𝑀)
4544oteq3d 4882 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©)
4645fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
4733, 38, 463eqtr4rd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
483adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4916adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
5017adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
5118adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5219adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
53 mapdh6d.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5453eldifad 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
559, 41lmodvacl 20721 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5640, 24, 54, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5756anim1i 614 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
58 eldifsn 4785 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
5957, 58sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
60 mapdh6d.yz . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
61 mapdh6d.xn . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
629, 12, 21, 22, 24, 54, 61lspindpi 20983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
6362simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
649, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25mapdindp1 41104 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
659, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25mapdindp2 41105 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
669, 11, 12, 21, 18, 56, 20, 64, 65lspindp1 20984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)})))
6766simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)}))
6867adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)}))
6926simprd 495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
709, 11, 12, 21, 19, 24, 69lspsnne1 20968 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
71 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
729, 12, 71, 40, 24, 54lsmpr 20937 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
7360oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
74 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
759, 74, 12lspsncl 20824 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7640, 24, 75syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7774lsssubg 20804 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
7840, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
7971lsmidm 19583 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8172, 73, 803eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8270, 81neleqtrrd 2850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
839, 41, 12, 40, 24, 54, 20, 82lspindp4 20988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, (π‘Œ + 𝑍)}))
849, 12, 21, 20, 24, 56, 83lspindpi 20983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
8584simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
8685adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
87 eqidd 2727 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
88 eqidd 2727 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩))
895, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 48, 49, 50, 51, 41, 30, 52, 59, 68, 86, 87, 88mapdh6aN 41119 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
9047, 89pm2.61dane 3023 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cotp 4631   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  -gcsg 18865  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  LCDualclcd 40970  mapdcmpd 41008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009
This theorem is referenced by:  mapdh6gN  41126
  Copyright terms: Public domain W3C validator