Theorem mapdh6dN 41722

Description: Lemmma for mapdh6N 41730. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6dN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   𝑤,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   ✚ (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6dN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 41575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		mapdh.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
6		mapdh.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
7		mapdh.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdh.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
11		mapdhc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		mapdh.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdh.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
14		mapdh.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
15		mapdh.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16		mapdhc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh.mn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdhcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh6d.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
21	1, 8, 3	dvhlvec 41092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22	18	eldifad 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdh6d.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		mapdh6d.wn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	9, 12, 21, 20, 22, 24, 25	lspindpi 21152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
27	26	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
28	27	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
29	5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 20, 28	mapdhcl 41710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
30		mapdh.a	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
31	13, 30, 5	lmod0vrid 20908	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
32	4, 29, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
34		oteq3 4889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
35	34	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
36	5, 6, 11, 18, 16	mapdhval0 41708	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
37	35, 36	sylan9eqr 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = 𝑄)
38	37	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄))
39		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑤 + 0 ))
40	1, 8, 3	dvhlmod 41093	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
41		mapdh.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
42	9, 41, 11	lmod0vrid 20908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
43	40, 20, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
44	39, 43	sylan9eqr 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = 𝑤)
45	44	oteq3d 4892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
46	45	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
47	33, 38, 46	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
48	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
50	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53		mapdh6d.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	53	eldifad 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
55	9, 41	lmodvacl 20890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
56	40, 24, 54, 55	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
57	56	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
58		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
59	57, 58	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
60		mapdh6d.yz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
61		mapdh6d.xn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
62	9, 12, 21, 22, 24, 54, 61	lspindpi 21152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
63	62	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
64	9, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25	mapdindp1 41703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
65	9, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25	mapdindp2 41704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
66	9, 11, 12, 21, 18, 56, 20, 64, 65	lspindp1 21153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)})))
67	66	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
68	67	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
69	26	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
70	9, 11, 12, 21, 19, 24, 69	lspsnne1 21137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
71		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
72	9, 12, 71, 40, 24, 54	lsmpr 21106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
73	60	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
74		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
75	9, 74, 12	lspsncl 20993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
76	40, 24, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	74	lsssubg 20973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
78	40, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
79	71	lsmidm 19696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
81	72, 73, 80	3eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑌}))
82	70, 81	neleqtrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
83	9, 41, 12, 40, 24, 54, 20, 82	lspindp4 21157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑍)}))
84	9, 12, 21, 20, 24, 56, 83	lspindpi 21152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
85	84	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
86	85	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
87		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
88		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩))
89	5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 48, 49, 50, 51, 41, 30, 52, 59, 68, 86, 87, 88	mapdh6aN 41718	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
90	47, 89	pm2.61dane 3027	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  ⟨cotp 4639   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  1^st c1st 8011  2^nd c2nd 8012  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  -_gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608

This theorem is referenced by:  mapdh6gN  41725