Theorem mapdh6dN 42185

Description: Lemmma for mapdh6N 42193. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6dN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   𝑤,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   ✚ (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6dN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		mapdh.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
6		mapdh.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
7		mapdh.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdh.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
11		mapdhc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		mapdh.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdh.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
14		mapdh.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
15		mapdh.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16		mapdhc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh.mn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdhcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh6d.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
21	1, 8, 3	dvhlvec 41555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22	18	eldifad 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdh6d.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		mapdh6d.wn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	9, 12, 21, 20, 22, 24, 25	lspindpi 21130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
27	26	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
28	27	necomd 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
29	5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 20, 28	mapdhcl 42173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
30		mapdh.a	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
31	13, 30, 5	lmod0vrid 20888	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
32	4, 29, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
34		oteq3 4827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
35	34	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
36	5, 6, 11, 18, 16	mapdhval0 42171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
37	35, 36	sylan9eqr 2793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = 𝑄)
38	37	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ 𝑄))
39		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑤 + 0 ))
40	1, 8, 3	dvhlmod 41556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
41		mapdh.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
42	9, 41, 11	lmod0vrid 20888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
43	40, 20, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 0 ) = 𝑤)
44	39, 43	sylan9eqr 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)) = 𝑤)
45	44	oteq3d 4830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩)
46	45	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
47	33, 38, 46	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
48	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
49	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
50	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53		mapdh6d.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54	53	eldifad 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
55	9, 41	lmodvacl 20870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
56	40, 24, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
57	56	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
58		eldifsn 4731	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
59	57, 58	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
60		mapdh6d.yz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
61		mapdh6d.xn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
62	9, 12, 21, 22, 24, 54, 61	lspindpi 21130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
63	62	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
64	9, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25	mapdindp1 42166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
65	9, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25	mapdindp2 42167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
66	9, 11, 12, 21, 18, 56, 20, 64, 65	lspindp1 21131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)})))
67	66	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
68	67	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, (𝑌 + 𝑍)}))
69	26	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
70	9, 11, 12, 21, 19, 24, 69	lspsnne1 21115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
71		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
72	9, 12, 71, 40, 24, 54	lsmpr 21084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
73	60	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
74		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
75	9, 74, 12	lspsncl 20972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
76	40, 24, 75	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
77	74	lsssubg 20952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
78	40, 76, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
79	71	lsmidm 19638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
81	72, 73, 80	3eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑌}))
82	70, 81	neleqtrrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
83	9, 41, 12, 40, 24, 54, 20, 82	lspindp4 21135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑍)}))
84	9, 12, 21, 20, 24, 56, 83	lspindpi 21130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
85	84	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
86	85	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
87		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
88		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩))
89	5, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 48, 49, 50, 51, 41, 30, 52, 59, 68, 86, 87, 88	mapdh6aN 42181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
90	47, 89	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  ifcif 4466  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cotp 4575   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  ℩crio 7323  (class class class)co 7367  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  -_gcsg 18911  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  LCDualclcd 42032  mapdcmpd 42070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-nzr 20490  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lcv 39465  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841  df-lcdual 42033  df-mapd 42071

This theorem is referenced by:  mapdh6gN  42188