Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6dN 41268
Description: Lemmma for mapdh6N 41276. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdh6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6dN (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   𝑀,β„Ž   β„Ž,𝑍,π‘₯   ✚ ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘₯   + ,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀)   𝐷(𝑀)   + (𝑀)   ✚ (π‘₯,𝑀)   𝑄(𝑀,β„Ž)   𝑅(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀)   𝐹(𝑀)   𝐻(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝐼(𝑀)   𝐽(𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑀(𝑀)   βˆ’ (𝑀)   𝑁(𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑀,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)   0 (𝑀)   𝑍(𝑀)

Proof of Theorem mapdh6dN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 41121 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 mapdh.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
6 mapdh.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
7 mapdh.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdh.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
11 mapdhc.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
12 mapdh.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
13 mapdh.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
14 mapdh.r . . . . . 6 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
15 mapdh.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
16 mapdhc.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
17 mapdh.mn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
18 mapdhcl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 mapdh6d.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2019eldifad 3951 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
211, 8, 3dvhlvec 40638 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2218eldifad 3951 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 mapdh6d.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2423eldifad 3951 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
25 mapdh6d.wn . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
269, 12, 21, 20, 22, 24, 25lspindpi 21024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
2726simpld 493 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2827necomd 2986 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
295, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 20, 28mapdhcl 41256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)
30 mapdh.a . . . . . 6 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
3113, 30, 5lmod0vrid 20780 . . . . 5 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
324, 29, 31syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
3332adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
34 oteq3 4880 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩)
3534fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩))
365, 6, 11, 18, 16mapdhval0 41254 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3735, 36sylan9eqr 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = 𝑄)
3837oveq2d 7432 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄))
39 oveq2 7424 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)) = (𝑀 + 0 ))
401, 8, 3dvhlmod 40639 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
41 mapdh.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
429, 41, 11lmod0vrid 20780 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 + 0 ) = 𝑀)
4340, 20, 42syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 0 ) = 𝑀)
4439, 43sylan9eqr 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)) = 𝑀)
4544oteq3d 4883 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©)
4645fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
4733, 38, 463eqtr4rd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
483adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4916adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
5017adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
5118adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5219adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
53 mapdh6d.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5453eldifad 3951 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
559, 41lmodvacl 20762 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5640, 24, 54, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5756anim1i 613 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
58 eldifsn 4786 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
5957, 58sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
60 mapdh6d.yz . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
61 mapdh6d.xn . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
629, 12, 21, 22, 24, 54, 61lspindpi 21024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
6362simpld 493 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
649, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25mapdindp1 41249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
659, 41, 11, 12, 21, 18, 23, 53, 19, 60, 63, 25mapdindp2 41250 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
669, 11, 12, 21, 18, 56, 20, 64, 65lspindp1 21025 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)})))
6766simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)}))
6867adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)}))
6926simprd 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
709, 11, 12, 21, 19, 24, 69lspsnne1 21009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
71 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
729, 12, 71, 40, 24, 54lsmpr 20978 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
7360oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
74 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
759, 74, 12lspsncl 20865 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7640, 24, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7774lsssubg 20845 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
7840, 76, 77syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
7971lsmidm 19622 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8172, 73, 803eqtr2d 2771 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8270, 81neleqtrrd 2848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
839, 41, 12, 40, 24, 54, 20, 82lspindp4 21029 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, (π‘Œ + 𝑍)}))
849, 12, 21, 20, 24, 56, 83lspindpi 21024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
8584simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
8685adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
87 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
88 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩))
895, 6, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 48, 49, 50, 51, 41, 30, 52, 59, 68, 86, 87, 88mapdh6aN 41264 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
9047, 89pm2.61dane 3019 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936  ifcif 4524  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cotp 4632   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  -gcsg 18896  SubGrpcsubg 19079  LSSumclsm 19593  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  LCDualclcd 41115  mapdcmpd 41153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924  df-lcdual 41116  df-mapd 41154
This theorem is referenced by:  mapdh6gN  41271
  Copyright terms: Public domain W3C validator