Theorem lfl0 39689

Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 32245 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
lfl0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfl0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 20956	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lfl0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 20958	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
16		lfl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
17	8, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16	lfli 39685	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
18	1, 2, 7, 11, 11, 17	syl113anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
19	8, 3, 13, 4	lmodvscl 20945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
20	1, 7, 11, 19	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
21	8, 12, 9	lmod0vrid 20960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
22	20, 21	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
23	8, 3, 13, 5	lmodvs1 20957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
24	11, 23	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
25	22, 24	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
26	25	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
27	3	lmodring 20935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
28	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
29	3, 4, 8, 16	lflcl 39688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
30	11, 29	mpd3an3 1483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
31	4, 15, 5	ringlidm 20319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
32	28, 30, 31	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
33	32	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
34	18, 26, 33	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
35	34	oveq1d 7411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
36		ringgrp 20288	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
37	28, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38		lfl0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
40	4, 38, 39	grpsubid 19066	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
41	37, 30, 40	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
42	4, 14, 39	grppncan 19073	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
43	37, 30, 30, 42	syl3anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
44	35, 41, 43	3eqtr3rd 2806	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  -_gcsg 18977  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  LModclmod 20927  LFnlclfn 39681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-ring 20285  df-lmod 20929  df-lfl 39682

This theorem is referenced by:  lflmul  39692  lkrlss  39719  dochkr1  42102  lcfrlem28  42194  hdmapip0  42539