Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl0 37935
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 31295 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl0.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘Š)
lfl0.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl0 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) = 0 )
Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simpr 486 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 lfl0.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
63, 4, 5lmod1cl 20499 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
76adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lfl0.z . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘Š)
108, 9lmod0vcl 20501 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1110adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
16 lfl0.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 37931 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1383 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
198, 3, 13, 4lmodvscl 20489 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
201, 7, 11, 19syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
218, 12, 9lmod0vrid 20503 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍) = ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
2220, 21syldan 592 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍) = ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
238, 3, 13, 5lmodvs1 20500 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 𝑍)
2411, 23syldan 592 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 𝑍)
2522, 24eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍) = 𝑍)
2625fveq2d 6896 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍)) = (πΊβ€˜π‘))
273lmodring 20479 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
293, 4, 8, 16lflcl 37934 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·))
3011, 29mpd3an3 1463 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·))
314, 15, 5ringlidm 20086 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
3228, 30, 31syl2anc 585 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
3332oveq1d 7424 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
3418, 26, 333eqtr3d 2781 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
3534oveq1d 7424 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΊβ€˜π‘)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
36 ringgrp 20061 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
3728, 36syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
38 lfl0.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
39 eqid 2733 . . . 4 (-gβ€˜π·) = (-gβ€˜π·)
404, 38, 39grpsubid 18907 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = 0 )
4137, 30, 40syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΊβ€˜π‘)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = 0 )
424, 14, 39grppncan 18914 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
4337, 30, 30, 42syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
4435, 41, 433eqtr3rd 2782 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  1rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LFnlclfn 37927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lfl 37928
This theorem is referenced by:  lflmul  37938  lkrlss  37965  dochkr1  40349  lcfrlem28  40441  hdmapip0  40786
  Copyright terms: Public domain W3C validator