Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl0 37923
Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 31282 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl0.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘Š)
lfl0.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl0 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) = 0 )
Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simpr 485 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 lfl0.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
63, 4, 5lmod1cl 20491 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
76adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·))
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 lfl0.z . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘Š)
108, 9lmod0vcl 20493 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
1110adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
14 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
16 lfl0.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 37919 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1382 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍)) = (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
198, 3, 13, 4lmodvscl 20481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (1rβ€˜π·) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
201, 7, 11, 19syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
218, 12, 9lmod0vrid 20495 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍) = ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
2220, 21syldan 591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍) = ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍))
238, 3, 13, 5lmodvs1 20492 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 𝑍)
2411, 23syldan 591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍) = 𝑍)
2522, 24eqtrd 2772 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍) = 𝑍)
2625fveq2d 6892 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜(((1rβ€˜π·)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑍)(+gβ€˜π‘Š)𝑍)) = (πΊβ€˜π‘))
273lmodring 20471 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
293, 4, 8, 16lflcl 37922 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·))
3011, 29mpd3an3 1462 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·))
314, 15, 5ringlidm 20079 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
3228, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
3332oveq1d 7420 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((1rβ€˜π·)(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = ((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
3418, 26, 333eqtr3d 2780 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
3534oveq1d 7420 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΊβ€˜π‘)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)))
36 ringgrp 20054 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring β†’ 𝐷 ∈ Grp)
3728, 36syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
38 lfl0.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
39 eqid 2732 . . . 4 (-gβ€˜π·) = (-gβ€˜π·)
404, 38, 39grpsubid 18903 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = 0 )
4137, 30, 40syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΊβ€˜π‘)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = 0 )
424, 14, 39grppncan 18910 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
4337, 30, 30, 42syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (((πΊβ€˜π‘)(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘))(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘)) = (πΊβ€˜π‘))
4435, 41, 433eqtr3rd 2781 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lfl 37916
This theorem is referenced by:  lflmul  37926  lkrlss  37953  dochkr1  40337  lcfrlem28  40429  hdmapip0  40774
  Copyright terms: Public domain W3C validator