Theorem lfl0 36816

Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 30123 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
lfl0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfl0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 19926	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lfl0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 19928	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
16		lfl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
17	8, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16	lfli 36812	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
18	1, 2, 7, 11, 11, 17	syl113anc 1384	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
19	8, 3, 13, 4	lmodvscl 19916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
20	1, 7, 11, 19	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
21	8, 12, 9	lmod0vrid 19930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
22	20, 21	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
23	8, 3, 13, 5	lmodvs1 19927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
24	11, 23	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
25	22, 24	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
26	25	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
27	3	lmodring 19907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
28	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
29	3, 4, 8, 16	lflcl 36815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
30	11, 29	mpd3an3 1464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
31	4, 15, 5	ringlidm 19589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
32	28, 30, 31	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
33	32	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
34	18, 26, 33	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
35	34	oveq1d 7228	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
36		ringgrp 19567	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
37	28, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38		lfl0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
40	4, 38, 39	grpsubid 18447	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
41	37, 30, 40	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
42	4, 14, 39	grppncan 18454	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
43	37, 30, 30, 42	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
44	35, 41, 43	3eqtr3rd 2786	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  ._rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  0_gc0g 16944  Grpcgrp 18365  -_gcsg 18367  1_rcur 19516  Ringcrg 19562  LModclmod 19899  LFnlclfn 36808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-lmod 19901  df-lfl 36809

This theorem is referenced by:  lflmul  36819  lkrlss  36846  dochkr1  39229  lcfrlem28  39321  hdmapip0  39666