Theorem lfl0 39941

Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 32526 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
lfl0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfl0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 21076	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lfl0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 21078	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
16		lfl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
17	8, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16	lfli 39937	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
18	1, 2, 7, 11, 11, 17	syl113anc 1409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
19	8, 3, 13, 4	lmodvscl 21065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
20	1, 7, 11, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
21	8, 12, 9	lmod0vrid 21080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
22	20, 21	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
23	8, 3, 13, 5	lmodvs1 21077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
24	11, 23	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
25	22, 24	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
26	25	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
27	3	lmodring 21055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
29	3, 4, 8, 16	lflcl 39940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
30	11, 29	mpd3an3 1491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
31	4, 15, 5	ringlidm 20413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
32	28, 30, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
33	32	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
34	18, 26, 33	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
35	34	oveq1d 7429	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
36		ringgrp 20380	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
37	28, 36	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38		lfl0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
40	4, 38, 39	grpsubid 19150	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
41	37, 30, 40	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
42	4, 14, 39	grppncan 19157	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
43	37, 30, 30, 42	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
44	35, 41, 43	3eqtr3rd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  0_gc0g 17527  Grpcgrp 19060  -_gcsg 19062  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  LModclmod 21047  LFnlclfn 39933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-lmod 21049  df-lfl 39934

This theorem is used by:  lflmul  39944  lkrlss  39971  dochkr1  42354  lcfrlem28  42446  hdmapip0  42791