Theorem lfl0 39264

Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 32066 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
lfl0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl0	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfl0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 20838	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		lfl0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑊)
10	8, 9	lmod0vcl 20840	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
15		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
16		lfl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
17	8, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16	lfli 39260	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
18	1, 2, 7, 11, 11, 17	syl113anc 1384	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
19	8, 3, 13, 4	lmodvscl 20827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
20	1, 7, 11, 19	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
21	8, 12, 9	lmod0vrid 20842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
22	20, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍))
23	8, 3, 13, 5	lmodvs1 20839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
24	11, 23	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
25	22, 24	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍) = 𝑍)
26	25	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑍)(+g‘𝑊)𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
27	3	lmodring 20817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
29	3, 4, 8, 16	lflcl 39263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
30	11, 29	mpd3an3 1464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
31	4, 15, 5	ringlidm 20202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
33	32	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
34	18, 26, 33	3eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = ((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
35	34	oveq1d 7371	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)))
36		ringgrp 20171	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
37	28, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38		lfl0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
40	4, 38, 39	grpsubid 18952	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
41	37, 30, 40	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐺‘𝑍)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = 0 )
42	4, 14, 39	grppncan 18959	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
43	37, 30, 30, 42	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (((𝐺‘𝑍)(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑍))(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑍)) = (𝐺‘𝑍))
44	35, 41, 43	3eqtr3rd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LModclmod 20809  LFnlclfn 39256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20811  df-lfl 39257

This theorem is referenced by:  lflmul  39267  lkrlss  39294  dochkr1  41677  lcfrlem28  41769  hdmapip0  42114