Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2j Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2j 41226
Description: Lemma for lclkr 41243. Kernel closure when 𝑌 is zero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2f.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q 𝑄 = (0g𝑆)
lclkrlem2f.z 0 = (0g𝑈)
lclkrlem2f.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2f.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2f.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2f.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2f.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
lclkrlem2j.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2j.y (𝜑𝑌 = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2j (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2j
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2f.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lclkrlem2j.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
32snssd 4809 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4 lclkrlem2f.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2726 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 lclkrlem2f.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lclkrlem2f.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 lclkrlem2f.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8dochcl 41063 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
101, 3, 9syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
114, 5, 8dochoc 41077 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑋}))) = ( ‘{𝑋}))
121, 10, 11syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘( ‘{𝑋}))) = ( ‘{𝑋}))
13 lclkrlem2f.lg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
14 lclkrlem2j.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 = 0 )
1514sneqd 4636 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} = { 0 })
1615fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) = ( ‘{ 0 }))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18 lclkrlem2f.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑈)
194, 6, 8, 17, 18doch0 41068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{ 0 }) = (Base‘𝑈))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘{ 0 }) = (Base‘𝑈))
2113, 16, 203eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈))
224, 6, 1dvhlmod 40820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
23 lclkrlem2f.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐹)
24 lclkrlem2f.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
25 lclkrlem2f.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (0g𝑆)
26 lclkrlem2f.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
27 lclkrlem2f.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (LKer‘𝑈)
2824, 25, 17, 26, 27lkr0f 38803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) ↔ 𝐺 = ((Base‘𝑈) × {𝑄})))
2922, 23, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) ↔ 𝐺 = ((Base‘𝑈) × {𝑄})))
3021, 29mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((Base‘𝑈) × {𝑄}))
31 lclkrlem2f.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
32 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0g𝐷) = (0g𝐷)
3317, 24, 25, 31, 32, 22ldual0v 38859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐷) = ((Base‘𝑈) × {𝑄}))
3430, 33eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (0g𝐷))
3534oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) = (𝐸 + (0g𝐷)))
3631, 22lduallmod 38862 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
37 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
38 lclkrlem2f.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐹)
3926, 31, 37, 22, 38ldualelvbase 38836 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝐷))
40 lclkrlem2f.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐷)
4137, 40, 32lmod0vrid 20863 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐸 + (0g𝐷)) = 𝐸)
4236, 39, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + (0g𝐷)) = 𝐸)
4335, 42eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) = 𝐸)
4443fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = (𝐿𝐸))
45 lclkrlem2f.le . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
4644, 45eqtr2d 2767 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4746fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → ( ‘( ‘{𝑋})) = ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
4847fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘( ‘{𝑋}))) = ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
4912, 48, 463eqtr3d 2774 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  wss 3947  {csn 4624   × cxp 5671  ran crn 5674  cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  +gcplusg 17259  Scalarcsca 17262  0gc0g 17447  LSSumclsm 19626  LModclmod 20830  LSpanclspn 20942  LSHypclsh 38684  LFnlclfn 38766  LKerclk 38794  LDualcld 38832  HLchlt 39059  LHypclh 39694  DVecHcdvh 40788  DIsoHcdih 40938  ocHcoch 41057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-riotaBAD 38662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-0g 17449  df-proset 18313  df-poset 18331  df-plt 18348  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-p0 18443  df-p1 18444  df-lat 18450  df-clat 18517  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19628  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-oppr 20310  df-dvdsr 20333  df-unit 20334  df-invr 20364  df-dvr 20377  df-drng 20703  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-lvec 21075  df-lfl 38767  df-lkr 38795  df-ldual 38833  df-oposet 38885  df-ol 38887  df-oml 38888  df-covers 38975  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060  df-llines 39208  df-lplanes 39209  df-lvols 39210  df-lines 39211  df-psubsp 39213  df-pmap 39214  df-padd 39506  df-lhyp 39698  df-laut 39699  df-ldil 39814  df-ltrn 39815  df-trl 39869  df-tendo 40465  df-edring 40467  df-disoa 40739  df-dvech 40789  df-dib 40849  df-dic 40883  df-dih 40939  df-doch 41058
This theorem is referenced by:  lclkrlem2k  41227  lclkrlem2l  41228
  Copyright terms: Public domain W3C validator