Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2j Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2j 38757
 Description: Lemma for lclkr 38774. Kernel closure when 𝑌 is zero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2f.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q 𝑄 = (0g𝑆)
lclkrlem2f.z 0 = (0g𝑈)
lclkrlem2f.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2f.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2f.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2f.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2f.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
lclkrlem2j.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2j.y (𝜑𝑌 = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2j (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2j
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2f.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lclkrlem2j.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
32snssd 4726 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4 lclkrlem2f.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2824 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 lclkrlem2f.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lclkrlem2f.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 lclkrlem2f.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8dochcl 38594 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
101, 3, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
114, 5, 8dochoc 38608 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑋}))) = ( ‘{𝑋}))
121, 10, 11syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘( ‘{𝑋}))) = ( ‘{𝑋}))
13 lclkrlem2f.lg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
14 lclkrlem2j.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 = 0 )
1514sneqd 4562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} = { 0 })
1615fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) = ( ‘{ 0 }))
17 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18 lclkrlem2f.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑈)
194, 6, 8, 17, 18doch0 38599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{ 0 }) = (Base‘𝑈))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘{ 0 }) = (Base‘𝑈))
2113, 16, 203eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈))
224, 6, 1dvhlmod 38351 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
23 lclkrlem2f.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐹)
24 lclkrlem2f.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
25 lclkrlem2f.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (0g𝑆)
26 lclkrlem2f.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
27 lclkrlem2f.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (LKer‘𝑈)
2824, 25, 17, 26, 27lkr0f 36335 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) ↔ 𝐺 = ((Base‘𝑈) × {𝑄})))
2922, 23, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) ↔ 𝐺 = ((Base‘𝑈) × {𝑄})))
3021, 29mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = ((Base‘𝑈) × {𝑄}))
31 lclkrlem2f.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
32 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (0g𝐷) = (0g𝐷)
3317, 24, 25, 31, 32, 22ldual0v 36391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐷) = ((Base‘𝑈) × {𝑄}))
3430, 33eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (0g𝐷))
3534oveq2d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) = (𝐸 + (0g𝐷)))
3631, 22lduallmod 36394 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
37 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
38 lclkrlem2f.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐹)
3926, 31, 37, 22, 38ldualelvbase 36368 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝐷))
40 lclkrlem2f.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐷)
4137, 40, 32lmod0vrid 19665 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐸 + (0g𝐷)) = 𝐸)
4236, 39, 41syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + (0g𝐷)) = 𝐸)
4335, 42eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) = 𝐸)
4443fveq2d 6665 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = (𝐿𝐸))
45 lclkrlem2f.le . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
4644, 45eqtr2d 2860 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4746fveq2d 6665 . . 3 (𝜑 → ( ‘( ‘{𝑋})) = ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
4847fveq2d 6665 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘( ‘{𝑋}))) = ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
4912, 48, 463eqtr3d 2867 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  {csn 4550   × cxp 5540  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568  0gc0g 16713  LSSumclsm 18759  LModclmod 19634  LSpanclspn 19743  LSHypclsh 36216  LFnlclfn 36298  LKerclk 36326  LDualcld 36364  HLchlt 36591  LHypclh 37225  DVecHcdvh 38319  DIsoHcdih 38469  ocHcoch 38588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36194 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lfl 36299  df-lkr 36327  df-ldual 36365  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tendo 37996  df-edring 37998  df-disoa 38270  df-dvech 38320  df-dib 38380  df-dic 38414  df-dih 38470  df-doch 38589 This theorem is referenced by:  lclkrlem2k  38758  lclkrlem2l  38759
 Copyright terms: Public domain W3C validator