Theorem lflmul 39567

Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 32140 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflmul.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t	⊢ × = (.r‘𝐷)
lflmul.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lflmul.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflmul	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lflmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		simp3l 1208	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3r 1209	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lflmul.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 20888	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lflmul.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lflmul.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		lflmul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
14		lflmul.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
15		lflmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lfli 39560	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))))
17	1, 2, 3, 4, 8, 16	syl113anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))))
18	5, 10, 11, 12	lmodvscl 20875	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	5, 9, 6	lmod0vrid 20890	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
21	1, 19, 20	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
22	21	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
24	10, 23, 6, 15	lfl0 39564	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝐷))
25	24	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝐷))
26	25	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)))
27	10	lmodfgrp 20866	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28	27	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
29	10, 12, 5, 15	lflcl 39563	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)
30	29	3adant3l 1187	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)
31	10, 12, 14	lmodmcl 20870	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾)
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾)
33	12, 13, 23	grprid 18942	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
34	28, 32, 33	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
35	26, 34	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
36	17, 22, 35	3eqtr3d 2783	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  LModclmod 20857  LFnlclfn 39556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20859  df-lfl 39557

This theorem is referenced by:  lfl1  39569  lfladdcl  39570  eqlkr  39598  lkrlsp  39601  dochkr1  41977  dochkr1OLDN  41978  lcfl7lem  41998  lclkrlem2m  42018  hdmaplnm1  42408