Theorem lflmul 39704

Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 32305 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflmul.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t	⊢ × = (.r‘𝐷)
lflmul.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lflmul.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflmul	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lflmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		simp3l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3r 1219	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lflmul.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 20981	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lflmul.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lflmul.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		lflmul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
14		lflmul.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
15		lflmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lfli 39697	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))))
17	1, 2, 3, 4, 8, 16	syl113anc 1405	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))))
18	5, 10, 11, 12	lmodvscl 20968	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	5, 9, 6	lmod0vrid 20983	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
21	1, 19, 20	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
22	21	fveq2d 6875	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
24	10, 23, 6, 15	lfl0 39701	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝐷))
25	24	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝐷))
26	25	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)))
27	10	lmodfgrp 20959	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28	27	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
29	10, 12, 5, 15	lflcl 39700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)
30	29	3adant3l 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)
31	10, 12, 14	lmodmcl 20963	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾)
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾)
33	12, 13, 23	grprid 19025	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
34	28, 32, 33	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
35	26, 34	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
36	17, 22, 35	3eqtr3d 2808	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  LModclmod 20950  LFnlclfn 39693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lfl 39694

This theorem is referenced by:  lfl1  39706  lfladdcl  39707  eqlkr  39735  lkrlsp  39738  dochkr1  42114  dochkr1OLDN  42115  lcfl7lem  42135  lclkrlem2m  42155  hdmaplnm1  42545