Theorem lflmul 39091

Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 32030 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflmul.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t	⊢ × = (.r‘𝐷)
lflmul.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lflmul.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflmul	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lflmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		simp3l 1202	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3r 1203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lflmul.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
7	5, 6	lmod0vcl 20853	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lflmul.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lflmul.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		lflmul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
14		lflmul.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
15		lflmul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lfli 39084	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))))
17	1, 2, 3, 4, 8, 16	syl113anc 1384	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))))
18	5, 10, 11, 12	lmodvscl 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	1, 3, 4, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20	5, 9, 6	lmod0vrid 20855	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
21	1, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
22	21	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
24	10, 23, 6, 15	lfl0 39088	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝐷))
25	24	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(0g‘𝑊)) = (0g‘𝐷))
26	25	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)))
27	10	lmodfgrp 20831	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
29	10, 12, 5, 15	lflcl 39087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)
30	29	3adant3l 1181	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)
31	10, 12, 14	lmodmcl 20835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾)
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾)
33	12, 13, 23	grprid 18956	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺‘𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
34	28, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(0g‘𝐷)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
35	26, 34	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺‘𝑋))(+g‘𝐷)(𝐺‘(0g‘𝑊))) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))
36	17, 22, 35	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  LModclmod 20822  LFnlclfn 39080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lfl 39081

This theorem is referenced by:  lfl1  39093  lfladdcl  39094  eqlkr  39122  lkrlsp  39125  dochkr1  41502  dochkr1OLDN  41503  lcfl7lem  41523  lclkrlem2m  41543  hdmaplnm1  41933