Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflmul 37636
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 31083 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflmul.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lflmul.t Γ— = (.rβ€˜π·)
lflmul.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflmul.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lflmul.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lflmul ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑅 Β· 𝑋)) = (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)))
Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 simp3l 1201 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
4 simp3r 1202 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5 lflmul.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2731 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
75, 6lmod0vcl 20423 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
873ad2ant1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
9 eqid 2731 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
10 lflmul.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 lflmul.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
12 lflmul.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
13 eqid 2731 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
14 lflmul.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π·)
15 lflmul.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 37629 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š))) = ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜(0gβ€˜π‘Š))))
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1382 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š))) = ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜(0gβ€˜π‘Š))))
185, 10, 11, 12lmodvscl 20411 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
191, 3, 4, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
205, 9, 6lmod0vrid 20425 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = (𝑅 Β· 𝑋))
211, 19, 20syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = (𝑅 Β· 𝑋))
2221fveq2d 6866 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š))) = (πΊβ€˜(𝑅 Β· 𝑋)))
23 eqid 2731 . . . . . 6 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
2410, 23, 6, 15lfl0 37633 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π·))
25243adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜π·))
2625oveq2d 7393 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜(0gβ€˜π‘Š))) = ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(0gβ€˜π·)))
2710lmodfgrp 20402 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
28273ad2ant1 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
2910, 12, 5, 15lflcl 37632 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐾)
30293adant3l 1180 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐾)
3110, 12, 14lmodmcl 20406 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐾) β†’ (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐾)
321, 3, 30, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐾)
3312, 13, 23grprid 18810 . . . 4 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(0gβ€˜π·)) = (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)))
3428, 32, 33syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(0gβ€˜π·)) = (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)))
3526, 34eqtrd 2771 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜(0gβ€˜π‘Š))) = (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)))
3617, 22, 353eqtr3d 2779 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑅 Β· 𝑋)) = (𝑅 Γ— (πΊβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  +gcplusg 17162  .rcmulr 17163  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  0gc0g 17350  Grpcgrp 18777  LModclmod 20393  LFnlclfn 37625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lfl 37626
This theorem is referenced by:  lfl1  37638  lfladdcl  37639  eqlkr  37667  lkrlsp  37670  dochkr1  40047  dochkr1OLDN  40048  lcfl7lem  40068  lclkrlem2m  40088  hdmaplnm1  40478
  Copyright terms: Public domain W3C validator