Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflmul 37386
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 30760 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t × = (.r𝐷)
lflmul.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s · = ( ·𝑠𝑊)
lflmul.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflmul ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 simp3l 1201 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑅𝐾)
4 simp3r 1202 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑋𝑉)
5 lflmul.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 20262 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
873ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
9 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lflmul.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lflmul.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
12 lflmul.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
13 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
14 lflmul.t . . . 4 × = (.r𝐷)
15 lflmul.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 37379 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1382 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
185, 10, 11, 12lmodvscl 20250 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
191, 3, 4, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
205, 9, 6lmod0vrid 20264 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
211, 19, 20syl2anc 585 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
2221fveq2d 6838 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐷) = (0g𝐷)
2410, 23, 6, 15lfl0 37383 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
25243adant3 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
2625oveq2d 7362 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)))
2710lmodfgrp 20242 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28273ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
2910, 12, 5, 15lflcl 37382 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
30293adant3l 1180 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
3110, 12, 14lmodmcl 20245 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾 ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
321, 3, 30, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
3312, 13, 23grprid 18711 . . . 4 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3428, 32, 33syl2anc 585 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3526, 34eqtrd 2777 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3617, 22, 353eqtr3d 2785 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6488  (class class class)co 7346  Basecbs 17014  +gcplusg 17064  .rcmulr 17065  Scalarcsca 17067   ·𝑠 cvsca 17068  0gc0g 17252  Grpcgrp 18678  LModclmod 20233  LFnlclfn 37375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-plusg 17077  df-0g 17254  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-mgp 19820  df-ur 19837  df-ring 19884  df-lmod 20235  df-lfl 37376
This theorem is referenced by:  lfl1  37388  lfladdcl  37389  eqlkr  37417  lkrlsp  37420  dochkr1  39797  dochkr1OLDN  39798  lcfl7lem  39818  lclkrlem2m  39838  hdmaplnm1  40228
  Copyright terms: Public domain W3C validator