Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflmul 37530
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 30986 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t × = (.r𝐷)
lflmul.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s · = ( ·𝑠𝑊)
lflmul.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflmul ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 simp3l 1201 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑅𝐾)
4 simp3r 1202 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑋𝑉)
5 lflmul.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 20351 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
873ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
9 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lflmul.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lflmul.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
12 lflmul.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
13 eqid 2736 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
14 lflmul.t . . . 4 × = (.r𝐷)
15 lflmul.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 37523 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1382 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
185, 10, 11, 12lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
191, 3, 4, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
205, 9, 6lmod0vrid 20353 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
211, 19, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
2221fveq2d 6846 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝐷) = (0g𝐷)
2410, 23, 6, 15lfl0 37527 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
25243adant3 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
2625oveq2d 7373 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)))
2710lmodfgrp 20331 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28273ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
2910, 12, 5, 15lflcl 37526 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
30293adant3l 1180 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
3110, 12, 14lmodmcl 20334 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾 ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
321, 3, 30, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
3312, 13, 23grprid 18781 . . . 4 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3428, 32, 33syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3526, 34eqtrd 2776 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3617, 22, 353eqtr3d 2784 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  LModclmod 20322  LFnlclfn 37519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lfl 37520
This theorem is referenced by:  lfl1  37532  lfladdcl  37533  eqlkr  37561  lkrlsp  37564  dochkr1  39941  dochkr1OLDN  39942  lcfl7lem  39962  lclkrlem2m  39982  hdmaplnm1  40372
  Copyright terms: Public domain W3C validator