Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem1 36126
Description: Lemma for lshpkrex 36134. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19807 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54lmodfgrp 19572 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
86, 7grpidcl 18069 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp → 0𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (𝜑0𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lshpkrlem.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 36125 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
2221oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
2322eqeq2d 2829 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2423rexbidv 3294 . . . 4 (𝑘 = 0 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2524riota2 7128 . . 3 (( 0𝐾 ∧ ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
28 eqidd 2819 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2830 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3620 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3231ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑈 → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2905 . . . . . 6 (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈)))
3534rexlimdv 3280 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3632, 35impbid 213 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 19596 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
393, 16, 38syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4140oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g𝑊)))
421adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4544, 14, 3, 15lshplss 35997 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4610, 44lssel 19638 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4745, 46sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 19594 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝑉) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2829 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 224 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = 𝑏𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5352rexbidva 3293 . . 3 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5436, 53bitrd 280 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5655rexbidv 3294 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5756riotabidv 7105 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59 riotaex 7107 . . . . . 6 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6261eqeq2d 2829 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6362cbvrexvw 3448 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐾 → (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6564riotabiia 7123 . . . . 5 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6660, 65syl6eq 2869 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6867eqeq1d 2820 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 0 ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 312 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  ∃!wreu 3137  {csn 4557  cmpt 5137  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  LSSumclsm 18688  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  LSHypclsh 35991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lshyp 35993
This theorem is referenced by:  lshpkr  36133
  Copyright terms: Public domain W3C validator