Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem1 39092
Description: Lemma for lshpkrex 39100. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21123 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54lmodfgrp 20884 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
86, 7grpidcl 18996 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp → 0𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (𝜑0𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13 lshpkrlem.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 39091 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
2221oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
2322eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2423rexbidv 3177 . . . 4 (𝑘 = 0 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
2524riota2 7413 . . 3 (( 0𝐾 ∧ ∃!𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
28 eqidd 2736 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2747 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏)
3231ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑈 → ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2834 . . . . . 6 (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑏𝑈 → (𝑋 = 𝑏𝑋𝑈)))
3534rexlimdv 3151 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏𝑋𝑈))
3632, 35impbid 212 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 20910 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
393, 16, 38syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g𝑊))
4140oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g𝑊)))
421adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4544, 14, 3, 15lshplss 38963 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4610, 44lssel 20953 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4745, 46sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑈) → 𝑏𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 20908 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝑉) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + (0g𝑊)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2746 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 223 . . . 4 ((𝜑𝑏𝑈) → (𝑋 = 𝑏𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5352rexbidva 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑏𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
5436, 53bitrd 279 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55 eqeq1 2739 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5655rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5756riotabidv 7390 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59 riotaex 7392 . . . . . 6 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6261eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6362cbvrexvw 3236 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐾 → (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6564riotabiia 7408 . . . . 5 (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
6660, 65eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
6867eqeq1d 2737 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋) = 0 ↔ (𝑘𝐾𝑏𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝐺𝑋) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  ∃!wreu 3376  {csn 4631  cmpt 5231  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LSHypclsh 38957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959
This theorem is referenced by:  lshpkr  39099
  Copyright terms: Public domain W3C validator