Theorem lshpkrlem1 39970

Description: Lemma for lshpkrex 39978. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑘)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝑉(𝑦, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑘)   0 (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21291	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodfgrp 21054	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		lshpkrlem.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
8	6, 7	grpidcl 19090	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
10		lshpkrlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lshpkrlem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lshpkrlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lshpkrlem.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14		lshpkrlem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
16		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
17		lshpkrlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19		lshpkrlem.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19	lshpsmreu 39969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
25	24	riota2 7398	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
26	9, 20, 25	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
28		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29		eqeq2 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
30	29	rspcev 3579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
31	27, 28, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
32	31	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
33		eleq1a 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈)))
35	34	rexlimdv 3163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
36	32, 35	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
37		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
38	10, 4, 19, 7, 37	lmod0vs 21080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
39	3, 16, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
41	40	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g‘𝑊)))
42	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
43	42, 2	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45	44, 14, 3, 15	lshplss 39841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
46	10, 44	lssel 21122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
47	45, 46	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
48	10, 11, 37	lmod0vrid 21078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
49	43, 47, 48	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
50	41, 49	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
51	50	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
52	51	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
53	52	rexbidva 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
54	36, 53	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55		eqeq1 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
56	55	rexbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
57	56	riotabidv 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59		riotaex 7377	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6990	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
62	61	eqeq2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
63	62	cbvrexvw 3243	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
65	64	riotabiia 7393	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
66	60, 65	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
67	17, 66	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
68	67	eqeq1d 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
69	26, 54, 68	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3365  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  LSSumclsm 19762  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  LVecclvec 21287  LSHypclsh 39835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lshyp 39837

This theorem is used by:  lshpkr  39977