Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpkrlem1 38637
Description: Lemma for lshpkrex 38645. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane π‘ˆ. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (πΊβ€˜π‘‹) = 0 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘˜)   βŠ• (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐾(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(𝑦,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘˜)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20993 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54lmodfgrp 20754 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
86, 7grpidcl 18924 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
13 lshpkrlem.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 38636 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
21 oveq1 7422 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· 𝑍) = ( 0 Β· 𝑍))
2221oveq2d 7431 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)))
2322eqeq2d 2736 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
2423rexbidv 3169 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
2524riota2 7397 . . 3 (( 0 ∈ 𝐾 ∧ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
28 eqidd 2726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2737 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 β†’ (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3602 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏)
3231ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2820 . . . . . 6 (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
3534rexlimdv 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3632, 35impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 20780 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
393, 16, 38syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
4140oveq2d 7431 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) = (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)))
421adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
44 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4544, 14, 3, 15lshplss 38508 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4610, 44lssel 20823 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
4745, 46sylan 578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 20778 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2736 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 222 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
5352rexbidva 3167 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
5436, 53bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
55 eqeq1 2729 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5655rexbidv 3169 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5756riotabidv 7373 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
59 riotaex 7375 . . . . . 6 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6999 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
61 oveq1 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6261eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6362cbvrexvw 3226 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6564riotabiia 7392 . . . . 5 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6660, 65eqtrdi 2781 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6867eqeq1d 2727 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) = 0 ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (πΊβ€˜π‘‹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  β„©crio 7370  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  LSSumclsm 19591  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  LSHypclsh 38502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lshyp 38504
This theorem is referenced by:  lshpkr  38644
  Copyright terms: Public domain W3C validator