Theorem lshpkrlem1 39739

Description: Lemma for lshpkrex 39747. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21175	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodfgrp 20938	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		lshpkrlem.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
8	6, 7	grpidcl 19009	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
10		lshpkrlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lshpkrlem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lshpkrlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lshpkrlem.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14		lshpkrlem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
16		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
17		lshpkrlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19		lshpkrlem.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19	lshpsmreu 39738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21		oveq1 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
25	24	riota2 7380	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
26	9, 20, 25	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
28		eqidd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29		eqeq2 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
30	29	rspcev 3583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
31	27, 28, 30	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
32	31	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
33		eleq1a 2859	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈)))
35	34	rexlimdv 3163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
36	32, 35	impbid 214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
37		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
38	10, 4, 19, 7, 37	lmod0vs 20964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
39	3, 16, 38	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
40	39	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
41	40	oveq2d 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g‘𝑊)))
42	1	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
43	42, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45	44, 14, 3, 15	lshplss 39610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
46	10, 44	lssel 21006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
47	45, 46	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
48	10, 11, 37	lmod0vrid 20962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
49	43, 47, 48	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
50	41, 49	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
51	50	eqeq2d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
52	51	bicomd 225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
53	52	rexbidva 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
54	36, 53	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55		eqeq1 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
56	55	rexbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
57	56	riotabidv 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59		riotaex 7359	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6977	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61		oveq1 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
62	61	eqeq2d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
63	62	cbvrexvw 3243	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
65	64	riotabiia 7375	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
66	60, 65	eqtrdi 2815	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
67	17, 66	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
68	67	eqeq1d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
69	26, 54, 68	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3367  {csn 4584   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6523  ℩crio 7354  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977  LSSumclsm 19676  LModclmod 20929  LSubSpclss 21000  LSpanclspn 21040  LVecclvec 21171  LSHypclsh 39604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lshyp 39606

This theorem is referenced by:  lshpkr  39746