Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem1 37572
Description: Lemma for lshpkrex 37580. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane π‘ˆ. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (πΊβ€˜π‘‹) = 0 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘˜)   βŠ• (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐾(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(𝑦,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘˜)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20567 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54lmodfgrp 20331 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
86, 7grpidcl 18778 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
13 lshpkrlem.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 37571 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
21 oveq1 7364 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· 𝑍) = ( 0 Β· 𝑍))
2221oveq2d 7373 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)))
2322eqeq2d 2747 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
2423rexbidv 3175 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
2524riota2 7339 . . 3 (( 0 ∈ 𝐾 ∧ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
28 eqidd 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2748 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 β†’ (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3581 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏)
3231ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2832 . . . . . 6 (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
3534rexlimdv 3150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3632, 35impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 20355 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
393, 16, 38syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
4140oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) = (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)))
421adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
44 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4544, 14, 3, 15lshplss 37443 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4610, 44lssel 20398 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
4745, 46sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 20353 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2747 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 222 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
5352rexbidva 3173 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
5436, 53bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
55 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5655rexbidv 3175 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5756riotabidv 7315 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
59 riotaex 7317 . . . . . 6 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
61 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6261eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6362cbvrexvw 3226 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6564riotabiia 7334 . . . . 5 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6660, 65eqtrdi 2792 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6867eqeq1d 2738 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) = 0 ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (πΊβ€˜π‘‹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3073  βˆƒ!wreu 3351  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  β€˜cfv 6496  β„©crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  LSSumclsm 19416  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  LSHypclsh 37437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lshyp 37439
This theorem is referenced by:  lshpkr  37579
  Copyright terms: Public domain W3C validator