Theorem lshpkrlem1 37124

Description: Lemma for lshpkrex 37132. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20368	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodfgrp 20132	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		lshpkrlem.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
8	6, 7	grpidcl 18607	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
10		lshpkrlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lshpkrlem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lshpkrlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lshpkrlem.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14		lshpkrlem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
16		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
17		lshpkrlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19		lshpkrlem.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19	lshpsmreu 37123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
25	24	riota2 7258	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
26	9, 20, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
28		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29		eqeq2 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
30	29	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
31	27, 28, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
32	31	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
33		eleq1a 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈)))
35	34	rexlimdv 3212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
36	32, 35	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
37		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
38	10, 4, 19, 7, 37	lmod0vs 20156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
39	3, 16, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
41	40	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g‘𝑊)))
42	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
43	42, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45	44, 14, 3, 15	lshplss 36995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
46	10, 44	lssel 20199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
47	45, 46	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
48	10, 11, 37	lmod0vrid 20154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
49	43, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
50	41, 49	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
51	50	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
52	51	bicomd 222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
53	52	rexbidva 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
54	36, 53	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
56	55	rexbidv 3226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
57	56	riotabidv 7234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59		riotaex 7236	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
62	61	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
63	62	cbvrexvw 3384	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
65	64	riotabiia 7253	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
66	60, 65	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
67	17, 66	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
68	67	eqeq1d 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
69	26, 54, 68	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSHypclsh 36989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lshyp 36991

This theorem is referenced by:  lshpkr  37131