Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpkrlem1 38493
Description: Lemma for lshpkrex 38501. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane π‘ˆ. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (πΊβ€˜π‘‹) = 0 ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘˜)   βŠ• (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐾(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(𝑦,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘˜)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54lmodfgrp 20715 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
6 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
7 lshpkrlem.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
86, 7grpidcl 18895 . . . 4 (𝐷 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐾)
93, 5, 83syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
10 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
13 lshpkrlem.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
14 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
17 lshpkrlem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
19 lshpkrlem.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 38492 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
21 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· 𝑍) = ( 0 Β· 𝑍))
2221oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)))
2322eqeq2d 2737 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
2423rexbidv 3172 . . . 4 (π‘˜ = 0 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
2524riota2 7387 . . 3 (( 0 ∈ 𝐾 ∧ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
269, 20, 25syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
27 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
28 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 𝑋)
29 eqeq2 2738 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 β†’ (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
3029rspcev 3606 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏)
3127, 28, 30syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏)
3231ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏))
33 eleq1a 2822 . . . . . 6 (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
3534rexlimdv 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3632, 35impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏))
37 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 20741 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
393, 16, 38syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 0 Β· 𝑍) = (0gβ€˜π‘Š))
4140oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) = (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)))
421adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
44 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4544, 14, 3, 15lshplss 38364 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4610, 44lssel 20784 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
4745, 46sylan 579 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
4810, 11, 37lmod0vrid 20739 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑏)
4943, 47, 48syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + (0gβ€˜π‘Š)) = 𝑏)
5041, 49eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) = 𝑏)
5150eqeq2d 2737 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
5251bicomd 222 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
5352rexbidva 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
5436, 53bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 Β· 𝑍))))
55 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5655rexbidv 3172 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5756riotabidv 7363 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
58 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
59 riotaex 7365 . . . . . 6 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ V
6057, 58, 59fvmpt 6992 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
61 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6261eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6362cbvrexvw 3229 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6463a1i 11 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐾 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6564riotabiia 7382 . . . . 5 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
6660, 65eqtrdi 2782 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6717, 66syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6867eqeq1d 2728 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) = 0 ↔ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = 0 ))
6926, 54, 683bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (πΊβ€˜π‘‹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LSHypclsh 38358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360
This theorem is referenced by:  lshpkr  38500
  Copyright terms: Public domain W3C validator