Theorem lshpkrlem1 39544

Description: Lemma for lshpkrex 39552. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21090	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodfgrp 20853	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		lshpkrlem.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
8	6, 7	grpidcl 18930	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
10		lshpkrlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lshpkrlem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lshpkrlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lshpkrlem.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14		lshpkrlem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
16		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
17		lshpkrlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19		lshpkrlem.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19	lshpsmreu 39543	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
25	24	riota2 7338	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
26	9, 20, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
28		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29		eqeq2 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
30	29	rspcev 3562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
31	27, 28, 30	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
33		eleq1a 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈)))
35	34	rexlimdv 3134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
36	32, 35	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
37		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
38	10, 4, 19, 7, 37	lmod0vs 20879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
39	3, 16, 38	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
41	40	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g‘𝑊)))
42	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
43	42, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45	44, 14, 3, 15	lshplss 39415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
46	10, 44	lssel 20921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
47	45, 46	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
48	10, 11, 37	lmod0vrid 20877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
49	43, 47, 48	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
50	41, 49	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
51	50	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
52	51	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
53	52	rexbidva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
54	36, 53	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
56	55	rexbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
57	56	riotabidv 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59		riotaex 7317	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6936	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
62	61	eqeq2d 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
63	62	cbvrexvw 3214	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
65	64	riotabiia 7333	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
66	60, 65	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
67	17, 66	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
68	67	eqeq1d 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
69	26, 54, 68	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  ∃!wreu 3338  {csn 4557   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6487  ℩crio 7312  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  LSSumclsm 19598  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  LSpanclspn 20955  LVecclvec 21086  LSHypclsh 39409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21087  df-lshyp 39411

This theorem is referenced by:  lshpkr  39551