Theorem lshpkrlem1 39208

Description: Lemma for lshpkrex 39216. The value of tentative functional 𝐺 is zero iff its argument belongs to hyperplane 𝑈. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem1

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21040	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	lmodfgrp 20802	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
6		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
7		lshpkrlem.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
8	6, 7	grpidcl 18878	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐾)
9	3, 5, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
10		lshpkrlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lshpkrlem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lshpkrlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
13		lshpkrlem.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14		lshpkrlem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
15		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
16		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
17		lshpkrlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
19		lshpkrlem.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19	lshpsmreu 39207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
21		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 𝑍) = ( 0 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
25	24	riota2 7328	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐾 ∧ ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
26	9, 20, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
28		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 𝑋)
29		eqeq2 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = 𝑋))
30	29	rspcev 3572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 = 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
31	27, 28, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏)
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
33		eleq1a 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈)))
35	34	rexlimdv 3131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 → 𝑋 ∈ 𝑈))
36	32, 35	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏))
37		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
38	10, 4, 19, 7, 37	lmod0vs 20828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
39	3, 16, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → ( 0 · 𝑍) = (0g‘𝑊))
41	40	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = (𝑏 + (0g‘𝑊)))
42	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
43	42, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
44		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45	44, 14, 3, 15	lshplss 39079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
46	10, 44	lssel 20870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
47	45, 46	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → 𝑏 ∈ 𝑉)
48	10, 11, 37	lmod0vrid 20826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
49	43, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + (0g‘𝑊)) = 𝑏)
50	41, 49	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) = 𝑏)
51	50	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = 𝑏))
52	51	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → (𝑋 = 𝑏 ↔ 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
53	52	rexbidva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
54	36, 53	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + ( 0 · 𝑍))))
55		eqeq1 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
56	55	rexbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
57	56	riotabidv 7305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
58		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
59		riotaex 7307	. . . . . 6 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 6929	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
61		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
62	61	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
63	62	cbvrexvw 3211	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
65	64	riotabiia 7323	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍)))
66	60, 65	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
67	17, 66	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))))
68	67	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋) = 0 ↔ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑍))) = 0 ))
69	26, 54, 68	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑋) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  LSSumclsm 19546  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  LVecclvec 21036  LSHypclsh 39073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lshyp 39075

This theorem is referenced by:  lshpkr  39215