Theorem lcfrlem7 37686

Description: Lemma for lcfr 37723. Closure of vector sum when one vector is zero. TODO: share hypotheses with others. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem7.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem7.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem7.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem7.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem7.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem7.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem7.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem7.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑔   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   + (𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   ⊥ (𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑌(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem7.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )
2	1	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0 ))
3		lcfrlem7.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		lcfrlem7.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfrlem7.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 37248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		lcfrlem7.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9		lcfrlem7.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrlem7.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11		lcfrlem7.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
12		lcfrlem7.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
13		lcfrlem7.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
14		lcfrlem7.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
15	3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	lcfrlem4 37683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
16		lcfrlem7.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17		lcfrlem7.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18	8, 16, 17	lmod0vrid 19286	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
19	6, 15, 18	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
20	2, 19	eqtrd 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
21	20, 14	eqeltrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∪ ciun 4753  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  0_gc0g 16486  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LKerclk 35223  LDualcld 35261  HLchlt 35488  LHypclh 36122  DVecHcdvh 37216  ocHcoch 37485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35091

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lfl 35196  df-lkr 35224  df-ldual 35262  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35636  df-lplanes 35637  df-lvols 35638  df-lines 35639  df-psubsp 35641  df-pmap 35642  df-padd 35934  df-lhyp 36126  df-laut 36127  df-ldil 36242  df-ltrn 36243  df-trl 36297  df-tendo 36893  df-edring 36895  df-disoa 37167  df-dvech 37217  df-dib 37277  df-dic 37311  df-dih 37367  df-doch 37486

This theorem is referenced by:  lcfrlem42  37722