Theorem ply1plusgfvi 22194

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6918	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 22176	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 21974	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11		base0 17153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 22137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14		1on 8419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1o ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 21901	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
17	16	mptru 1549	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
18		0nn0 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20		nn0ex 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		1oex 8417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
22	20, 21	elmap 8821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)
24		ne0i 4295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅)
25		map0b 8833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2761	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 21904	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 5732	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5943	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 5950	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		plusgid 17216	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
36	35	str0 17128	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6834	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2746	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582   I cid 5526   × cxp 5630   ↾ cres 5634  Oncon0 6325  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  1_oc1o 8400   ↑_m cmap 8775  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189   mPwSer cmps 21872   mPoly cmpl 21874  Poly₁cpl1 22129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-ple 17209  df-psr 21877  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-ply1 22134

This theorem is referenced by: (None)