MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgfvi 22233
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 6980 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
21fveq2d 6907 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1𝑅))
32fveq2d 6907 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
4 eqid 2726 . . . . . 6 (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
74, 5, 6ply1plusg 22215 . . . . 5 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8 eqid 2726 . . . . . . 7 (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
105, 8, 9mplplusg 22018 . . . . . 6 (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11 base0 17220 . . . . . . . . . 10 ∅ = (Base‘∅)
12 psr1baslem 22176 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14 1on 8510 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1o ∈ On)
168, 11, 12, 13, 15psrbas 21944 . . . . . . . . 9 (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0m 1o)))
1716mptru 1541 . . . . . . . 8 (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0m 1o))
18 0nn0 12541 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
1918fconst6 6794 . . . . . . . . . 10 (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20 nn0ex 12532 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
21 1oex 8508 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
2220, 21elmap 8902 . . . . . . . . . 10 ((1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . . . 9 (1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o)
24 ne0i 4337 . . . . . . . . 9 ((1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o) → (ℕ0m 1o) ≠ ∅)
25 map0b 8914 . . . . . . . . 9 ((ℕ0m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0m 1o)) = ∅)
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8 (∅ ↑m (ℕ0m 1o)) = ∅
2717, 26eqtr2i 2755 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g‘∅) = (+g‘∅)
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
308, 27, 28, 29psrplusg 21947 . . . . . 6 (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31 xp0 6171 . . . . . . 7 (∅ × ∅) = ∅
3231reseq2i 5988 . . . . . 6 ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
3310, 30, 323eqtri 2758 . . . . 5 (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34 res0 5995 . . . . . 6 ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35 plusgid 17295 . . . . . . 7 +g = Slot (+g‘ndx)
3635str0 17193 . . . . . 6 ∅ = (+g‘∅)
3734, 36eqtri 2754 . . . . 5 ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
387, 33, 373eqtri 2758 . . . 4 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39 fvprc 6895 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
4039fveq2d 6907 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
4140fveq2d 6907 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42 fvprc 6895 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
4342fveq2d 6907 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘∅))
4438, 41, 433eqtr4a 2792 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
453, 44pm2.61i 182 . 2 (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅))
4645eqcomi 2735 1 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  c0 4325  {csn 4633   I cid 5581   × cxp 5682  cres 5686  Oncon0 6378  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  f cof 7690  1oc1o 8491  m cmap 8857  0cc0 11160  0cn0 12526  ndxcnx 17197  Basecbs 17215  +gcplusg 17268   mPwSer cmps 21903   mPoly cmpl 21905  Poly1cpl1 22168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-tset 17287  df-ple 17288  df-psr 21908  df-mpl 21910  df-opsr 21912  df-psr1 22171  df-ply1 22173
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator