MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgfvi 21690
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 6950 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
21fveq2d 6879 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1𝑅))
32fveq2d 6879 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
4 eqid 2731 . . . . . 6 (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5 eqid 2731 . . . . . 6 (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
74, 5, 6ply1plusg 21673 . . . . 5 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8 eqid 2731 . . . . . . 7 (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9 eqid 2731 . . . . . . 7 (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
105, 8, 9mplplusg 21668 . . . . . 6 (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11 base0 17128 . . . . . . . . . 10 ∅ = (Base‘∅)
12 psr1baslem 21633 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14 1on 8457 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1o ∈ On)
168, 11, 12, 13, 15psrbas 21423 . . . . . . . . 9 (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0m 1o)))
1716mptru 1548 . . . . . . . 8 (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0m 1o))
18 0nn0 12466 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
1918fconst6 6765 . . . . . . . . . 10 (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20 nn0ex 12457 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
21 1oex 8455 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
2220, 21elmap 8845 . . . . . . . . . 10 ((1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . . . 9 (1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o)
24 ne0i 4327 . . . . . . . . 9 ((1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o) → (ℕ0m 1o) ≠ ∅)
25 map0b 8857 . . . . . . . . 9 ((ℕ0m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0m 1o)) = ∅)
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8 (∅ ↑m (ℕ0m 1o)) = ∅
2717, 26eqtr2i 2760 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28 eqid 2731 . . . . . . 7 (+g‘∅) = (+g‘∅)
29 eqid 2731 . . . . . . 7 (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
308, 27, 28, 29psrplusg 21426 . . . . . 6 (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31 xp0 6143 . . . . . . 7 (∅ × ∅) = ∅
3231reseq2i 5967 . . . . . 6 ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
3310, 30, 323eqtri 2763 . . . . 5 (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34 res0 5974 . . . . . 6 ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35 plusgid 17203 . . . . . . 7 +g = Slot (+g‘ndx)
3635str0 17101 . . . . . 6 ∅ = (+g‘∅)
3734, 36eqtri 2759 . . . . 5 ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
387, 33, 373eqtri 2763 . . . 4 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39 fvprc 6867 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
4039fveq2d 6879 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
4140fveq2d 6879 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42 fvprc 6867 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
4342fveq2d 6879 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘∅))
4438, 41, 433eqtr4a 2797 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
453, 44pm2.61i 182 . 2 (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅))
4645eqcomi 2740 1 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3470  c0 4315  {csn 4619   I cid 5563   × cxp 5664  cres 5668  Oncon0 6350  wf 6525  cfv 6529  (class class class)co 7390  f cof 7648  1oc1o 8438  m cmap 8800  0cc0 11089  0cn0 12451  ndxcnx 17105  Basecbs 17123  +gcplusg 17176   mPwSer cmps 21383   mPoly cmpl 21385  Poly1cpl1 21625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7650  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-supp 8126  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-fsupp 9342  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-fz 13464  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-tset 17195  df-ple 17196  df-psr 21388  df-mpl 21390  df-opsr 21392  df-psr1 21628  df-ply1 21630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator