Theorem ply1plusgfvi 22182

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6960	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 22164	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 21972	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11		base0 17238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 22125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14		1on 8497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1o ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 21898	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
17	16	mptru 1547	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
18		0nn0 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20		nn0ex 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		1oex 8495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
22	20, 21	elmap 8890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)
24		ne0i 4321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅)
25		map0b 8902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2760	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 21901	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 6152	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5968	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 5975	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		plusgid 17303	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
36	35	str0 17213	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6873	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6873	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2745	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464  ∅c0 4313  {csn 4606   I cid 5552   × cxp 5657   ↾ cres 5661  Oncon0 6357  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  1_oc1o 8478   ↑_m cmap 8845  0cc0 11134  ℕ₀cn0 12506  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276   mPwSer cmps 21869   mPoly cmpl 21871  Poly₁cpl1 22117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-ple 17296  df-psr 21874  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-psr1 22120  df-ply1 22122

This theorem is referenced by: (None)