Theorem ply1plusgfvi 20097

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6614	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6549	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6549	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 20080	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 20075	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11		base0 16369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 20040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14		1on 7967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1o ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 19850	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o)))
17	16	mptru 1532	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o))
18		0nn0 11766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20		nn0ex 11757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		1oex 7968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
22	20, 21	elmap 8292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)
24		ne0i 4226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → (ℕ0 ↑𝑚 1o) ≠ ∅)
25		map0b 8304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1o)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2822	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 19853	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 5898	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5738	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2825	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 5745	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		df-plusg 16411	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot 2
36	35	str0 16368	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2825	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6538	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6549	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6549	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6538	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6549	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2859	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2806	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1525  ⊤wtru 1526   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  Vcvv 3440  ∅c0 4217  {csn 4478   I cid 5354   × cxp 5448   ↾ cres 5452  Oncon0 6073  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘_𝑓 cof 7272  1_oc1o 7953   ↑_𝑚 cmap 8263  0cc0 10390  2c2 11546  ℕ₀cn0 11751  Basecbs 16316  +_gcplusg 16398   mPwSer cmps 19823   mPoly cmpl 19825  Poly₁cpl1 20032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-tset 16417  df-ple 16418  df-psr 19828  df-mpl 19830  df-opsr 19832  df-psr1 20035  df-ply1 20037

This theorem is referenced by: (None)