Theorem ply1plusgfvi 22229

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 22211	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 21984	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11		base0 17179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 22173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14		1on 8411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1o ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 21912	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
17	16	mptru 1555	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
18		0nn0 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20		nn0ex 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		1oex 8409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
22	20, 21	elmap 8813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)
24		ne0i 4271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅)
25		map0b 8825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2765	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 21915	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 5720	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5934	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 5941	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		plusgid 17242	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
36	35	str0 17154	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6822	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6822	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 183	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2750	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  ∅c0 4263  {csn 4557   I cid 5514   × cxp 5618   ↾ cres 5622  Oncon0 6313  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  1_oc1o 8392   ↑_m cmap 8767  0cc0 11034  ℕ₀cn0 12432  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215   mPwSer cmps 21882   mPoly cmpl 21884  Poly₁cpl1 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-tset 17234  df-ple 17235  df-psr 21887  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-psr1 22168  df-ply1 22170

This theorem is referenced by: (None)