MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgfvi 21688
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 6948 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
21fveq2d 6877 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1𝑅))
32fveq2d 6877 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
4 eqid 2731 . . . . . 6 (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5 eqid 2731 . . . . . 6 (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
74, 5, 6ply1plusg 21671 . . . . 5 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8 eqid 2731 . . . . . . 7 (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9 eqid 2731 . . . . . . 7 (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
105, 8, 9mplplusg 21666 . . . . . 6 (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11 base0 17126 . . . . . . . . . 10 ∅ = (Base‘∅)
12 psr1baslem 21631 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14 1on 8455 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1o ∈ On)
168, 11, 12, 13, 15psrbas 21421 . . . . . . . . 9 (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0m 1o)))
1716mptru 1548 . . . . . . . 8 (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0m 1o))
18 0nn0 12464 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
1918fconst6 6763 . . . . . . . . . 10 (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20 nn0ex 12455 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
21 1oex 8453 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
2220, 21elmap 8843 . . . . . . . . . 10 ((1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . . . 9 (1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o)
24 ne0i 4325 . . . . . . . . 9 ((1o × {0}) ∈ (ℕ0m 1o) → (ℕ0m 1o) ≠ ∅)
25 map0b 8855 . . . . . . . . 9 ((ℕ0m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0m 1o)) = ∅)
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8 (∅ ↑m (ℕ0m 1o)) = ∅
2717, 26eqtr2i 2760 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28 eqid 2731 . . . . . . 7 (+g‘∅) = (+g‘∅)
29 eqid 2731 . . . . . . 7 (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
308, 27, 28, 29psrplusg 21424 . . . . . 6 (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31 xp0 6141 . . . . . . 7 (∅ × ∅) = ∅
3231reseq2i 5965 . . . . . 6 ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
3310, 30, 323eqtri 2763 . . . . 5 (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34 res0 5972 . . . . . 6 ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35 plusgid 17201 . . . . . . 7 +g = Slot (+g‘ndx)
3635str0 17099 . . . . . 6 ∅ = (+g‘∅)
3734, 36eqtri 2759 . . . . 5 ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
387, 33, 373eqtri 2763 . . . 4 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39 fvprc 6865 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
4039fveq2d 6877 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
4140fveq2d 6877 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42 fvprc 6865 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
4342fveq2d 6877 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘∅))
4438, 41, 433eqtr4a 2797 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
453, 44pm2.61i 182 . 2 (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅))
4645eqcomi 2740 1 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3469  c0 4313  {csn 4617   I cid 5561   × cxp 5662  cres 5666  Oncon0 6348  wf 6523  cfv 6527  (class class class)co 7388  f cof 7646  1oc1o 8436  m cmap 8798  0cc0 11087  0cn0 12449  ndxcnx 17103  Basecbs 17121  +gcplusg 17174   mPwSer cmps 21381   mPoly cmpl 21383  Poly1cpl1 21623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5273  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-tp 4622  df-op 4624  df-uni 4897  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-of 7648  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-supp 8124  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8681  df-map 8800  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-fin 8921  df-fsupp 9340  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-nn 12190  df-2 12252  df-3 12253  df-4 12254  df-5 12255  df-6 12256  df-7 12257  df-8 12258  df-9 12259  df-n0 12450  df-z 12536  df-dec 12655  df-uz 12800  df-fz 13462  df-struct 17057  df-sets 17074  df-slot 17092  df-ndx 17104  df-base 17122  df-ress 17151  df-plusg 17187  df-mulr 17188  df-sca 17190  df-vsca 17191  df-tset 17193  df-ple 17194  df-psr 21386  df-mpl 21388  df-opsr 21390  df-psr1 21626  df-ply1 21628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator