Theorem ply1plusgfvi 22244

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6984	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1o mPoly ∅) = (1o mPoly ∅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 22226	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPwSer ∅) = (1o mPwSer ∅)
9		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 22028	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
11		base0 17253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 22187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (Base‘(1o mPwSer ∅))
14		1on 8519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1o ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 21954	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
17	16	mptru 1546	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1o mPwSer ∅)) = (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o))
18		0nn0 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o × {0}):1o⟶ℕ0
20		nn0ex 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21		1oex 8517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
22	20, 21	elmap 8912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {0}):1o⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o)
24		ne0i 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o × {0}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅)
25		map0b 8924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ≠ ∅ → (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑m (ℕ0 ↑m 1o)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2765	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1o mPwSer ∅))
28		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = (+g‘(1o mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 21957	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPwSer ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 6177	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5993	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPoly ∅)) = ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 6000	. . . . . 6 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		plusgid 17325	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
36	35	str0 17227	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6897	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6897	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2745	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479  ∅c0 4332  {csn 4625   I cid 5576   × cxp 5682   ↾ cres 5686  Oncon0 6383  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∘_f cof 7696  1_oc1o 8500   ↑_m cmap 8867  0cc0 11156  ℕ₀cn0 12528  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298   mPwSer cmps 21925   mPoly cmpl 21927  Poly₁cpl1 22179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-ply1 22184

This theorem is referenced by: (None)