Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapco2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapco2g 41084
Description: Renaming indices in a tuple, with sethood as antecedents. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapco2g ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵m 𝐸))

Proof of Theorem mapco2g
StepHypRef Expression
1 elmapi 8793 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
2 fco 6696 . . . 4 ((𝐴:𝐶𝐵𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
31, 2sylan 581 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
433adant1 1131 . 2 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷):𝐸𝐵)
5 n0i 4297 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) → ¬ (𝐵m 𝐶) = ∅)
6 reldmmap 8780 . . . . . 6 Rel dom ↑m
76ovprc1 7400 . . . . 5 𝐵 ∈ V → (𝐵m 𝐶) = ∅)
85, 7nsyl2 141 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
983ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → 𝐵 ∈ V)
10 simp1 1137 . . 3 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → 𝐸 ∈ V)
119, 10elmapd 8785 . 2 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → ((𝐴𝐷) ∈ (𝐵m 𝐸) ↔ (𝐴𝐷):𝐸𝐵))
124, 11mpbird 257 1 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐵m 𝐶) ∧ 𝐷:𝐸𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵m 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  c0 4286  ccom 5641  wf 6496  (class class class)co 7361  m cmap 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773
This theorem is referenced by:  mapco2  41085  eldioph2  41132
  Copyright terms: Public domain W3C validator