Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of nonnegative extended reals, restricted to the range of another function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjiunlem.f (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjiunlem.3 𝑆 = dom 𝑀
meadjiunlem.y 𝑌 = {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅}
meadjiunlem.dj (𝜑Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖))
Assertion
Ref Expression
meadjiunlem (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑀𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem meadjiunlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 2015 . . . 4 𝑘𝜑
2 meadjiunlem.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋𝑆)
3 meadjiunlem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
42, 3jca 509 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:𝑋𝑆𝑋𝑉))
5 fex 6745 . . . . 5 ((𝐺:𝑋𝑆𝑋𝑉) → 𝐺 ∈ V)
6 rnexg 7359 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → ran 𝐺 ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ∈ V)
8 difssd 3965 . . . 4 (𝜑 → (ran 𝐺 ∖ {∅}) ⊆ ran 𝐺)
9 meadjiunlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
10 meadjiunlem.3 . . . . . . 7 𝑆 = dom 𝑀
119, 10meaf 41461 . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
1211adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
132frnd 6285 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝑆)
1413adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → ran 𝐺𝑆)
158sselda 3827 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ ran 𝐺)
1614, 15sseldd 3828 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘𝑆)
1712, 16ffvelrnd 6609 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → (𝑀𝑘) ∈ (0[,]+∞))
18 simpl 476 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → 𝜑)
19 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})))
20 dfin4 4097 . . . . . . . . 9 (ran 𝐺 ∩ {∅}) = (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
2120eqcomi 2834 . . . . . . . 8 (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) = (ran 𝐺 ∩ {∅})
2219, 21syl6eleq 2916 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}))
23 elinel2 4027 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}) → 𝑘 ∈ {∅})
24 elsni 4414 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {∅} → 𝑘 = ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}) → 𝑘 = ∅)
2622, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 = ∅)
2726adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → 𝑘 = ∅)
28 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑘 = ∅)
2928fveq2d 6437 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀𝑘) = (𝑀‘∅))
309mea0 41462 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
3130adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
3229, 31eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀𝑘) = 0)
3318, 27, 32syl2anc 581 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → (𝑀𝑘) = 0)
341, 7, 8, 17, 33sge0ss 41420 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))))
3534eqcomd 2831 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
3611, 13feqresmpt 6497 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ↾ ran 𝐺) = (𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘)))
3736fveq2d 6437 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))))
382ffvelrnda 6608 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑆)
392feqmptd 6496 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑗𝑋 ↦ (𝐺𝑗)))
4011feqmptd 6496 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (𝑘𝑆 ↦ (𝑀𝑘)))
41 fveq2 6433 . . . . 5 (𝑘 = (𝐺𝑗) → (𝑀𝑘) = (𝑀‘(𝐺𝑗)))
4238, 39, 40, 41fmptco 6646 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐺) = (𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗))))
4342fveq2d 6437 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝐺)) = (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
44 nfv 2015 . . . . 5 𝑗𝜑
45 meadjiunlem.y . . . . . 6 𝑌 = {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅}
46 ssrab2 3912 . . . . . . 7 {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ⊆ 𝑋
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ⊆ 𝑋)
4845, 47syl5eqss 3874 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4911adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
502adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝐺:𝑋𝑆)
5148sselda 3827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝑗𝑋)
5250, 51ffvelrnd 6609 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑌) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑆)
5349, 52ffvelrnd 6609 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑌) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
54 eldifi 3959 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑗𝑋)
5554ad2antlr 720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗𝑋)
56 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑗) = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = (𝑀‘∅))
5756adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = (𝑀‘∅))
589adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → 𝑀 ∈ Meas)
5958mea0 41462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
6057, 59eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6160ad4ant14 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
62 neneq 3005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0 → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6362ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6461, 63pm2.65da 853 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → ¬ (𝐺𝑗) = ∅)
6564neqned 3006 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → (𝐺𝑗) ≠ ∅)
6655, 65jca 509 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → (𝑗𝑋 ∧ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
67 fveq2 6433 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑗))
6867neeq1d 3058 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐺𝑖) ≠ ∅ ↔ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
6968elrab 3585 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ↔ (𝑗𝑋 ∧ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
7066, 69sylibr 226 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅})
7170, 45syl6eleqr 2917 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗𝑌)
72 eldifn 3960 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑋𝑌) → ¬ 𝑗𝑌)
7372ad2antlr 720 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → ¬ 𝑗𝑌)
7471, 73pm2.65da 853 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0)
75 nne 3003 . . . . . 6 (¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0 ↔ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
7674, 75sylib 210 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
7744, 3, 48, 53, 76sge0ss 41420 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
7877eqcomd 2831 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
793, 48ssexd 5030 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ V)
80 nfv 2015 . . . . . . . . 9 𝑖𝜑
81 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖))
822ffnd 6279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
83 dffn3 6289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn 𝑋𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8482, 83sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8584adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → 𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8648sselda 3827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → 𝑖𝑋)
8785, 86ffvelrnd 6609 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ∈ ran 𝐺)
8845eleq2i 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑌𝑖 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅})
89 rabid 3326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ↔ (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9088, 89bitri 267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑌 ↔ (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9190biimpi 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑌 → (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9291simprd 491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑌 → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
9392adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
94 nelsn 4433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑖) ≠ ∅ → ¬ (𝐺𝑖) ∈ {∅})
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑌) → ¬ (𝐺𝑖) ∈ {∅})
9687, 95eldifd 3809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
97 meadjiunlem.dj . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖))
98 disjss1 4847 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑋 → (Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖) → Disj 𝑖𝑌 (𝐺𝑖)))
9948, 97, 98sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑Disj 𝑖𝑌 (𝐺𝑖))
10080, 81, 96, 93, 99disjf1 40177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
1012, 48feqresmpt 6497 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
102 f1eq1 6333 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑌) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅})))
103101, 102syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅})))
104100, 103mpbird 249 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
105101rneqd 5585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) = ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
10696ralrimiva 3175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖𝑌 (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
10781rnmptss 6641 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑌 (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
109105, 108eqsstrd 3864 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
110 simpl 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝜑)
111 eldifi 3959 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
112111adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
113 eldifsni 4540 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
114113adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
115 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
116 fvelrnb 6490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
11782, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
118117adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
119115, 118mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥)
1201193adant3 1168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥)
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑖) = 𝑥 → (𝐺𝑖) = 𝑥)
122121eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 = (𝐺𝑖))
1231223ad2ant3 1171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 = (𝐺𝑖))
124 simp1l 1260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝜑)
125 simp2 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑖𝑋)
126 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) = 𝑥)
127 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
128126, 127eqnetrd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
129128adantll 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
1301293adant2 1167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
13190biimpri 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → 𝑖𝑌)
132 fvexd 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ V)
13381elrnmpt1 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑌 ∧ (𝐺𝑖) ∈ V) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
134131, 132, 133syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
1351343adant1 1166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
136105eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = ran (𝐺𝑌))
1371363ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = ran (𝐺𝑌))
138135, 137eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝐺𝑌))
139124, 125, 130, 138syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝐺𝑌))
140123, 139eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
1411403exp 1154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ≠ ∅) → (𝑖𝑋 → ((𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))))
142141rexlimdv 3239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌)))
1431423adant2 1167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌)))
144120, 143mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
145110, 112, 114, 144syl3anc 1496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
146109, 145eqelssd 3847 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅}))
147104, 146jca 509 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ∧ ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅})))
148 dff1o5 6387 . . . . . 6 ((𝐺𝑌):𝑌1-1-onto→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ∧ ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅})))
149147, 148sylibr 226 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌):𝑌1-1-onto→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
150 fvres 6452 . . . . . 6 (𝑗𝑌 → ((𝐺𝑌)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
151150adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑌) → ((𝐺𝑌)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
1521, 44, 41, 79, 149, 151, 17sge0f1o 41390 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
153152eqcomd 2831 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
15443, 78, 1533eqtrd 2865 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝐺)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
15535, 37, 1543eqtr4d 2871 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑀𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  {csn 4397  Disj wdisj 4841   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343   ↾ cres 5344   ∘ ccom 5346   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  –1-1→wf1 6120  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  +∞cpnf 10388  [,]cicc 12466  Σ^csumge0 41370  Meascmea 41457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-sumge0 41371  df-mea 41458 This theorem is referenced by:  meadjiun  41474
 Copyright terms: Public domain W3C validator