Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjiunlem 43723
Description: The sum of nonnegative extended reals, restricted to the range of another function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjiunlem.f (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjiunlem.3 𝑆 = dom 𝑀
meadjiunlem.x (𝜑𝑋𝑉)
meadjiunlem.g (𝜑𝐺:𝑋𝑆)
meadjiunlem.y 𝑌 = {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅}
meadjiunlem.dj (𝜑Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖))
Assertion
Ref Expression
meadjiunlem (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑀𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem meadjiunlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1922 . . . 4 𝑘𝜑
2 meadjiunlem.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋𝑆)
3 meadjiunlem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
42, 3jca 515 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:𝑋𝑆𝑋𝑉))
5 fex 7063 . . . . 5 ((𝐺:𝑋𝑆𝑋𝑉) → 𝐺 ∈ V)
6 rnexg 7703 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → ran 𝐺 ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ∈ V)
8 difssd 4063 . . . 4 (𝜑 → (ran 𝐺 ∖ {∅}) ⊆ ran 𝐺)
9 meadjiunlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
10 meadjiunlem.3 . . . . . . 7 𝑆 = dom 𝑀
119, 10meaf 43711 . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
132frnd 6574 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝑆)
1413adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → ran 𝐺𝑆)
158sselda 3917 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ ran 𝐺)
1614, 15sseldd 3918 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘𝑆)
1712, 16ffvelrnd 6926 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → (𝑀𝑘) ∈ (0[,]+∞))
18 simpl 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → 𝜑)
19 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})))
20 dfin4 4198 . . . . . . . . 9 (ran 𝐺 ∩ {∅}) = (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
2120eqcomi 2748 . . . . . . . 8 (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) = (ran 𝐺 ∩ {∅})
2219, 21eleqtrdi 2850 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}))
23 elinel2 4126 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}) → 𝑘 ∈ {∅})
24 elsni 4574 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {∅} → 𝑘 = ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}) → 𝑘 = ∅)
2622, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 = ∅)
2726adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → 𝑘 = ∅)
28 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑘 = ∅)
2928fveq2d 6742 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀𝑘) = (𝑀‘∅))
309mea0 43712 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
3130adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
3229, 31eqtrd 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀𝑘) = 0)
3318, 27, 32syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → (𝑀𝑘) = 0)
341, 7, 8, 17, 33sge0ss 43670 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))))
3534eqcomd 2745 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
3611, 13feqresmpt 6802 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ↾ ran 𝐺) = (𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘)))
3736fveq2d 6742 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))))
382ffvelrnda 6925 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑆)
392feqmptd 6801 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑗𝑋 ↦ (𝐺𝑗)))
4011feqmptd 6801 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (𝑘𝑆 ↦ (𝑀𝑘)))
41 fveq2 6738 . . . . 5 (𝑘 = (𝐺𝑗) → (𝑀𝑘) = (𝑀‘(𝐺𝑗)))
4238, 39, 40, 41fmptco 6965 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐺) = (𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗))))
4342fveq2d 6742 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝐺)) = (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
44 nfv 1922 . . . . 5 𝑗𝜑
45 meadjiunlem.y . . . . . 6 𝑌 = {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅}
46 ssrab2 4009 . . . . . . 7 {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ⊆ 𝑋
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ⊆ 𝑋)
4845, 47eqsstrid 3965 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4911adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
502adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝐺:𝑋𝑆)
5148sselda 3917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝑗𝑋)
5250, 51ffvelrnd 6926 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑌) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑆)
5349, 52ffvelrnd 6926 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑌) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
54 eldifi 4057 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑗𝑋)
5554ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗𝑋)
56 fveq2 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑗) = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = (𝑀‘∅))
5756adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = (𝑀‘∅))
589adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → 𝑀 ∈ Meas)
5958mea0 43712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
6057, 59eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6160ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
62 neneq 2949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0 → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6362ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6461, 63pm2.65da 817 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → ¬ (𝐺𝑗) = ∅)
6564neqned 2950 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → (𝐺𝑗) ≠ ∅)
6655, 65jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → (𝑗𝑋 ∧ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
67 fveq2 6738 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑗))
6867neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐺𝑖) ≠ ∅ ↔ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
6968elrab 3617 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ↔ (𝑗𝑋 ∧ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
7066, 69sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅})
7170, 45eleqtrrdi 2851 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗𝑌)
72 eldifn 4058 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑋𝑌) → ¬ 𝑗𝑌)
7372ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → ¬ 𝑗𝑌)
7471, 73pm2.65da 817 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0)
75 nne 2947 . . . . . 6 (¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0 ↔ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
7674, 75sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
7744, 3, 48, 53, 76sge0ss 43670 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
7877eqcomd 2745 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
793, 48ssexd 5233 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ V)
80 nfv 1922 . . . . . . . . 9 𝑖𝜑
81 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖))
822ffnd 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
83 dffn3 6579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn 𝑋𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8482, 83sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8584adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → 𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8648sselda 3917 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → 𝑖𝑋)
8785, 86ffvelrnd 6926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ∈ ran 𝐺)
8845eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑌𝑖 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅})
89 rabid 3305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ↔ (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9088, 89bitri 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑌 ↔ (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9190biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑌 → (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9291simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑌 → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
9392adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
94 nelsn 4597 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑖) ≠ ∅ → ¬ (𝐺𝑖) ∈ {∅})
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑌) → ¬ (𝐺𝑖) ∈ {∅})
9687, 95eldifd 3894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
97 meadjiunlem.dj . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖))
98 disjss1 5040 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑋 → (Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖) → Disj 𝑖𝑌 (𝐺𝑖)))
9948, 97, 98sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑Disj 𝑖𝑌 (𝐺𝑖))
10080, 81, 96, 93, 99disjf1 42440 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
1012, 48feqresmpt 6802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
102 f1eq1 6631 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑌) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅})))
103101, 102syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅})))
104100, 103mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
105101rneqd 5824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) = ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
10696ralrimiva 3108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖𝑌 (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
10781rnmptss 6960 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑌 (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
109105, 108eqsstrd 3955 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
110 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝜑)
111 eldifi 4057 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
112111adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
113 eldifsni 4719 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
114113adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
115 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
116 fvelrnb 6794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
11782, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
118117adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
119115, 118mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥)
1201193adant3 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥)
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑖) = 𝑥 → (𝐺𝑖) = 𝑥)
122121eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 = (𝐺𝑖))
1231223ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 = (𝐺𝑖))
124 simp1l 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝜑)
125 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑖𝑋)
126 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) = 𝑥)
127 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
128126, 127eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
129128adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
1301293adant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
13190biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → 𝑖𝑌)
132 fvexd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ V)
13381elrnmpt1 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑌 ∧ (𝐺𝑖) ∈ V) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
134131, 132, 133syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
1351343adant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
136105eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = ran (𝐺𝑌))
1371363ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = ran (𝐺𝑌))
138135, 137eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝐺𝑌))
139124, 125, 130, 138syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝐺𝑌))
140123, 139eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
1411403exp 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ≠ ∅) → (𝑖𝑋 → ((𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))))
142141rexlimdv 3212 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌)))
1431423adant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌)))
144120, 143mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
145110, 112, 114, 144syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
146109, 145eqelssd 3938 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅}))
147104, 146jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ∧ ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅})))
148 dff1o5 6691 . . . . . 6 ((𝐺𝑌):𝑌1-1-onto→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ∧ ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅})))
149147, 148sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌):𝑌1-1-onto→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
150 fvres 6757 . . . . . 6 (𝑗𝑌 → ((𝐺𝑌)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
151150adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑌) → ((𝐺𝑌)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
1521, 44, 41, 79, 149, 151, 17sge0f1o 43640 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
153152eqcomd 2745 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
15443, 78, 1533eqtrd 2783 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝐺)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
15535, 37, 1543eqtr4d 2789 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑀𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3423  cdif 3880  cin 3882  wss 3883  c0 4253  {csn 4557  Disj wdisj 5034  cmpt 5151  dom cdm 5568  ran crn 5569  cres 5570  ccom 5572   Fn wfn 6395  wf 6396  1-1wf1 6397  1-1-ontowf1o 6399  cfv 6400  (class class class)co 7234  0cc0 10758  +∞cpnf 10893  [,]cicc 12967  Σ^csumge0 43620  Meascmea 43707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-inf2 9285  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-se 5527  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-isom 6409  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-sup 9087  df-oi 9155  df-card 9584  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-div 11519  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-rp 12616  df-xadd 12734  df-ico 12970  df-icc 12971  df-fz 13125  df-fzo 13268  df-seq 13606  df-exp 13667  df-hash 13929  df-cj 14694  df-re 14695  df-im 14696  df-sqrt 14830  df-abs 14831  df-clim 15081  df-sum 15282  df-sumge0 43621  df-mea 43708
This theorem is referenced by:  meadjiun  43724
  Copyright terms: Public domain W3C validator