Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjiunlem 42754
Description: The sum of nonnegative extended reals, restricted to the range of another function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjiunlem.f (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjiunlem.3 𝑆 = dom 𝑀
meadjiunlem.x (𝜑𝑋𝑉)
meadjiunlem.g (𝜑𝐺:𝑋𝑆)
meadjiunlem.y 𝑌 = {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅}
meadjiunlem.dj (𝜑Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖))
Assertion
Ref Expression
meadjiunlem (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑀𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑀(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem meadjiunlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . 4 𝑘𝜑
2 meadjiunlem.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋𝑆)
3 meadjiunlem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
42, 3jca 514 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:𝑋𝑆𝑋𝑉))
5 fex 6992 . . . . 5 ((𝐺:𝑋𝑆𝑋𝑉) → 𝐺 ∈ V)
6 rnexg 7617 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → ran 𝐺 ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ∈ V)
8 difssd 4112 . . . 4 (𝜑 → (ran 𝐺 ∖ {∅}) ⊆ ran 𝐺)
9 meadjiunlem.f . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
10 meadjiunlem.3 . . . . . . 7 𝑆 = dom 𝑀
119, 10meaf 42742 . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
1211adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
132frnd 6524 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝑆)
1413adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → ran 𝐺𝑆)
158sselda 3970 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ ran 𝐺)
1614, 15sseldd 3971 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘𝑆)
1712, 16ffvelrnd 6855 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → (𝑀𝑘) ∈ (0[,]+∞))
18 simpl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → 𝜑)
19 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})))
20 dfin4 4247 . . . . . . . . 9 (ran 𝐺 ∩ {∅}) = (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
2120eqcomi 2833 . . . . . . . 8 (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) = (ran 𝐺 ∩ {∅})
2219, 21eleqtrdi 2926 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}))
23 elinel2 4176 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}) → 𝑘 ∈ {∅})
24 elsni 4587 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {∅} → 𝑘 = ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∩ {∅}) → 𝑘 = ∅)
2622, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑘 = ∅)
2726adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → 𝑘 = ∅)
28 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑘 = ∅)
2928fveq2d 6677 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀𝑘) = (𝑀‘∅))
309mea0 42743 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
3130adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
3229, 31eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = ∅) → (𝑀𝑘) = 0)
3318, 27, 32syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ (ran 𝐺 ∖ {∅}))) → (𝑀𝑘) = 0)
341, 7, 8, 17, 33sge0ss 42701 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))))
3534eqcomd 2830 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
3611, 13feqresmpt 6737 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ↾ ran 𝐺) = (𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘)))
3736fveq2d 6677 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑀𝑘))))
382ffvelrnda 6854 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑆)
392feqmptd 6736 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑗𝑋 ↦ (𝐺𝑗)))
4011feqmptd 6736 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (𝑘𝑆 ↦ (𝑀𝑘)))
41 fveq2 6673 . . . . 5 (𝑘 = (𝐺𝑗) → (𝑀𝑘) = (𝑀‘(𝐺𝑗)))
4238, 39, 40, 41fmptco 6894 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐺) = (𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗))))
4342fveq2d 6677 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝐺)) = (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
44 nfv 1914 . . . . 5 𝑗𝜑
45 meadjiunlem.y . . . . . 6 𝑌 = {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅}
46 ssrab2 4059 . . . . . . 7 {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ⊆ 𝑋
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ⊆ 𝑋)
4845, 47eqsstrid 4018 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
4911adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
502adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝐺:𝑋𝑆)
5148sselda 3970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑌) → 𝑗𝑋)
5250, 51ffvelrnd 6855 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑌) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑆)
5349, 52ffvelrnd 6855 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑌) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
54 eldifi 4106 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑗𝑋)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗𝑋)
56 fveq2 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑗) = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = (𝑀‘∅))
5756adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = (𝑀‘∅))
589adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → 𝑀 ∈ Meas)
5958mea0 42743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
6057, 59eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6160ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
62 neneq 3025 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0 → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6362ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) ∧ (𝐺𝑗) = ∅) → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
6461, 63pm2.65da 815 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → ¬ (𝐺𝑗) = ∅)
6564neqned 3026 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → (𝐺𝑗) ≠ ∅)
6655, 65jca 514 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → (𝑗𝑋 ∧ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
67 fveq2 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑗))
6867neeq1d 3078 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐺𝑖) ≠ ∅ ↔ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
6968elrab 3683 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ↔ (𝑗𝑋 ∧ (𝐺𝑗) ≠ ∅))
7066, 69sylibr 236 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅})
7170, 45eleqtrrdi 2927 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → 𝑗𝑌)
72 eldifn 4107 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑋𝑌) → ¬ 𝑗𝑌)
7372ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0) → ¬ 𝑗𝑌)
7471, 73pm2.65da 815 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) → ¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0)
75 nne 3023 . . . . . 6 (¬ (𝑀‘(𝐺𝑗)) ≠ 0 ↔ (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
7674, 75sylib 220 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑀‘(𝐺𝑗)) = 0)
7744, 3, 48, 53, 76sge0ss 42701 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
7877eqcomd 2830 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑋 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
793, 48ssexd 5231 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ V)
80 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑖𝜑
81 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖))
822ffnd 6518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
83 dffn3 6528 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn 𝑋𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8482, 83sylib 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8584adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → 𝐺:𝑋⟶ran 𝐺)
8648sselda 3970 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → 𝑖𝑋)
8785, 86ffvelrnd 6855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ∈ ran 𝐺)
8845eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑌𝑖 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅})
89 rabid 3381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ {𝑖𝑋 ∣ (𝐺𝑖) ≠ ∅} ↔ (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9088, 89bitri 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑌 ↔ (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9190biimpi 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑌 → (𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅))
9291simprd 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑌 → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
9392adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
94 nelsn 4608 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑖) ≠ ∅ → ¬ (𝐺𝑖) ∈ {∅})
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑌) → ¬ (𝐺𝑖) ∈ {∅})
9687, 95eldifd 3950 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑌) → (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
97 meadjiunlem.dj . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖))
98 disjss1 5040 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑋 → (Disj 𝑖𝑋 (𝐺𝑖) → Disj 𝑖𝑌 (𝐺𝑖)))
9948, 97, 98sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑Disj 𝑖𝑌 (𝐺𝑖))
10080, 81, 96, 93, 99disjf1 41449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
1012, 48feqresmpt 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
102 f1eq1 6573 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑌) = (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅})))
103101, 102syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅})))
104100, 103mpbird 259 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
105101rneqd 5811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) = ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
10696ralrimiva 3185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖𝑌 (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
10781rnmptss 6889 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑌 (𝐺𝑖) ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
109105, 108eqsstrd 4008 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) ⊆ (ran 𝐺 ∖ {∅}))
110 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝜑)
111 eldifi 4106 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
112111adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
113 eldifsni 4725 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
114113adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
115 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → 𝑥 ∈ ran 𝐺)
116 fvelrnb 6729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
11782, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
118117adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → (𝑥 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥))
119115, 118mpbid 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥)
1201193adant3 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥)
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑖) = 𝑥 → (𝐺𝑖) = 𝑥)
122121eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 = (𝐺𝑖))
1231223ad2ant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 = (𝐺𝑖))
124 simp1l 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝜑)
125 simp2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑖𝑋)
126 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) = 𝑥)
127 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
128126, 127eqnetrd 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
129128adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
1301293adant2 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ≠ ∅)
13190biimpri 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → 𝑖𝑌)
132 fvexd 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ V)
13381elrnmpt1 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑌 ∧ (𝐺𝑖) ∈ V) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
134131, 132, 133syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
1351343adant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)))
136105eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = ran (𝐺𝑌))
1371363ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → ran (𝑖𝑌 ↦ (𝐺𝑖)) = ran (𝐺𝑌))
138135, 137eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) ≠ ∅) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝐺𝑌))
139124, 125, 130, 138syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → (𝐺𝑖) ∈ ran (𝐺𝑌))
140123, 139eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑖𝑋 ∧ (𝐺𝑖) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
1411403exp 1115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ≠ ∅) → (𝑖𝑋 → ((𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))))
142141rexlimdv 3286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌)))
1431423adant2 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → (∃𝑖𝑋 (𝐺𝑖) = 𝑥𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌)))
144120, 143mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐺𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
145110, 112, 114, 144syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ ran (𝐺𝑌))
146109, 145eqelssd 3991 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅}))
147104, 146jca 514 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ∧ ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅})))
148 dff1o5 6627 . . . . . 6 ((𝐺𝑌):𝑌1-1-onto→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ↔ ((𝐺𝑌):𝑌1-1→(ran 𝐺 ∖ {∅}) ∧ ran (𝐺𝑌) = (ran 𝐺 ∖ {∅})))
149147, 148sylibr 236 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌):𝑌1-1-onto→(ran 𝐺 ∖ {∅}))
150 fvres 6692 . . . . . 6 (𝑗𝑌 → ((𝐺𝑌)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
151150adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑌) → ((𝐺𝑌)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
1521, 44, 41, 79, 149, 151, 17sge0f1o 42671 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))) = (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))))
153152eqcomd 2830 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝑌 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑗)))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
15443, 78, 1533eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝐺)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (ran 𝐺 ∖ {∅}) ↦ (𝑀𝑘))))
15535, 37, 1543eqtr4d 2869 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑀𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  wral 3141  wrex 3142  {crab 3145  Vcvv 3497  cdif 3936  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {csn 4570  Disj wdisj 5034  cmpt 5149  dom cdm 5558  ran crn 5559  cres 5560  ccom 5562   Fn wfn 6353  wf 6354  1-1wf1 6355  1-1-ontowf1o 6357  cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  [,]cicc 12744  Σ^csumge0 42651  Meascmea 42738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-sumge0 42652  df-mea 42739
This theorem is referenced by:  meadjiun  42755
  Copyright terms: Public domain W3C validator