Theorem meadjiun 46894

Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjiun.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meadjiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjiun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meadjiun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadjiun.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		meadjiun.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
3	2	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
4	1, 3	ralrimi 3235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
5		dfiun3g 5923	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		meadjiun.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9		meadjiun.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	1, 10, 2	rnmptssd 7076	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝑆)
12		meadjiun.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
13		1stcrestlem 23417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
15		meadjiun.dj	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
16	10	disjrnmpt2 45618	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
18	8, 9, 11, 14, 17	meadjuni 46885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
19		reldom 8899	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
20		brrelex1 5684	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
22	12, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	1, 2, 10	fmptdf 7069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
24		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	neeq1d 2991	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
26	25	cbvrabv 3399	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
28		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
29	1, 28	nfan 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
31	30	nfcsb1 3860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
33	31, 32	nfel 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
34	29, 33	nfim 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
35		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)))
40	34, 39, 2	chvarfv 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
41	30, 31, 37, 10	fvmptf 6969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
42	27, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
43	42	disjeq2dv 5057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
44		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
45	44, 31, 37	cbvdisj 5062	. . . . . . . 8 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
48	43, 47	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	15, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
50	8, 9, 22, 23, 26, 49	meadjiunlem 46893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
51	44, 31, 37	cbvmpt 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	coeq2i 5815	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
54		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
55	8, 9	meaf 46881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
56	55	feqmptd 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)))
57		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
58	40, 54, 56, 57	fmptco 7082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
59		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑀‘𝐵)
60		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
61	60, 31	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
62	37	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
63	59, 61, 62	cbvmpt 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
64	63	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
66	53, 58, 65	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
67	66	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
68	50, 67	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
69	7, 18, 68	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429  ⦋csb 3837  ∅c0 4273  ∪ cuni 4850  ∪ ciun 4933  Disj wdisj 5052   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817   ≼ cdom 8891  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  [,]cicc 13301  Σ^{^}csumge0 46790  Meascmea 46877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791  df-mea 46878

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  46896  meaiuninclem  46908  vonct  47121