Theorem meadjiun 46512

Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjiun.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meadjiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjiun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meadjiun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadjiun.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		meadjiun.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
3	2	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
4	1, 3	ralrimi 3230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
5		dfiun3g 5906	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		meadjiun.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9		meadjiun.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	1, 10, 2	rnmptssd 45241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝑆)
12		meadjiun.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
13		1stcrestlem 23367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
15		meadjiun.dj	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
16	10	disjrnmpt2 45233	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
18	8, 9, 11, 14, 17	meadjuni 46503	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
19		reldom 8875	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
20		brrelex1 5667	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
22	12, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	1, 2, 10	fmptdf 7050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
24		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	neeq1d 2987	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
26	25	cbvrabv 3405	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
28		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
29	1, 28	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
31	30	nfcsb1 3868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
33	31, 32	nfel 2909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
34	29, 33	nfim 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
35		eleq1w 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)))
40	34, 39, 2	chvarfv 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
41	30, 31, 37, 10	fvmptf 6950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
42	27, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
43	42	disjeq2dv 5061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
44		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
45	44, 31, 37	cbvdisj 5066	. . . . . . . 8 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
48	43, 47	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	15, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
50	8, 9, 22, 23, 26, 49	meadjiunlem 46511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
51	44, 31, 37	cbvmpt 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	coeq2i 5799	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
54		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
55	8, 9	meaf 46499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
56	55	feqmptd 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)))
57		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
58	40, 54, 56, 57	fmptco 7062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
59		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑀‘𝐵)
60		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
61	60, 31	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
62	37	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
63	59, 61, 62	cbvmpt 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
64	63	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
66	53, 58, 65	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
67	66	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
68	50, 67	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
69	7, 18, 68	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436  ⦋csb 3845  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856  ∪ ciun 4939  Disj wdisj 5056   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ran crn 5615   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  Rel wrel 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ≼ cdom 8867  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  [,]cicc 13248  Σ^{^}csumge0 46408  Meascmea 46495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-sumge0 46409  df-mea 46496

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  46514  meaiuninclem  46526  vonct  46739