Theorem meadjiun 46481

Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjiun.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meadjiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjiun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meadjiun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadjiun.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		meadjiun.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
3	2	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
4	1, 3	ralrimi 3257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
5		dfiun3g 5978	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		meadjiun.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9		meadjiun.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	1, 10, 2	rnmptssd 45201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝑆)
12		meadjiun.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
13		1stcrestlem 23460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
15		meadjiun.dj	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
16	10	disjrnmpt2 45193	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
18	8, 9, 11, 14, 17	meadjuni 46472	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
19		reldom 8991	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
20		brrelex1 5738	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
22	12, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	1, 2, 10	fmptdf 7137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
24		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
26	25	cbvrabv 3447	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
28		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
29	1, 28	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
31	30	nfcsb1 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
33	31, 32	nfel 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
34	29, 33	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
35		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)))
40	34, 39, 2	chvarfv 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
41	30, 31, 37, 10	fvmptf 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
42	27, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
43	42	disjeq2dv 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
44		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
45	44, 31, 37	cbvdisj 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
48	43, 47	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	15, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
50	8, 9, 22, 23, 26, 49	meadjiunlem 46480	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
51	44, 31, 37	cbvmpt 5253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	coeq2i 5871	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
54		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
55	8, 9	meaf 46468	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
56	55	feqmptd 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)))
57		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
58	40, 54, 56, 57	fmptco 7149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
59		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑀‘𝐵)
60		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
61	60, 31	nffv 6916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
62	37	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
63	59, 61, 62	cbvmpt 5253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
64	63	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
66	53, 58, 65	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
67	66	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
68	50, 67	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
69	7, 18, 68	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  ⦋csb 3899  ∅c0 4333  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  Rel wrel 5690  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ≼ cdom 8983  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  [,]cicc 13390  Σ^{^}csumge0 46377  Meascmea 46464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378  df-mea 46465

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  46483  meaiuninclem  46495  vonct  46708