Theorem meadjiun 47180

Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjiun.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meadjiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjiun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
meadjiun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadjiun.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		meadjiun.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
3	2	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
4	1, 3	ralrimi 3263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
5		dfiun3g 5958	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
7	6	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
8		meadjiun.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9		meadjiun.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11	1, 10, 2	rnmptssd 7119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝑆)
12		meadjiun.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
13		1stcrestlem 23609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
15		meadjiun.dj	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
16	10	disjrnmpt2 45906	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑥)
18	8, 9, 11, 14, 17	meadjuni 47171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
19		reldom 8945	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
20		brrelex1 5714	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
22	12, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	1, 2, 10	fmptdf 7112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
24		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
25	24	neeq1d 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
26	25	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
27		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → 𝑖 ∈ 𝐴)
28		nfv 1944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝐴
29	1, 28	nfan 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑖
31	30	nfcsb1 3876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
33	31, 32	nfel 2939	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆
34	29, 33	nfim 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
35		eleq1w 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑖 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
39	36, 38	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)))
40	34, 39, 2	chvarfv 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
41	30, 31, 37, 10	fvmptf 7011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
42	27, 40, 41	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
43	42	disjeq2dv 5081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
44		nfcv 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖𝐵
45	44, 31, 37	cbvdisj 5086	. . . . . . . 8 ⊢ (Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
46	45	bicomi 227	. . . . . . 7 ⊢ (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
48	43, 47	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
49	15, 48	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑖 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑖))
50	8, 9, 22, 23, 26, 49	meadjiunlem 47179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
51	44, 31, 37	cbvmpt 5213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
52	51	coeq2i 5846	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
54		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
55	8, 9	meaf 47167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
56	55	feqmptd 6949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘𝑦)))
57		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
58	40, 54, 56, 57	fmptco 7125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)))
59		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑀‘𝐵)
60		nfcv 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑀
61	60, 31	nffv 6891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
62	37	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
63	59, 61, 62	cbvmpt 5213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
64	63	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
66	53, 58, 65	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵)))
67	66	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
68	50, 67	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))
69	7, 18, 68	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455  ⦋csb 3853  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956  Disj wdisj 5076   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  Rel wrel 5666  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858   ≼ cdom 8937  0cc0 11095  +∞cpnf 11235  [,]cicc 13370  Σ^{^}csumge0 47076  Meascmea 47163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-xadd 13133  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-sumge0 47077  df-mea 47164

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  47182  meaiuninclem  47194  vonct  47407