Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjiun 42611
Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjiun.1 𝑘𝜑
meadjiun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
meadjiun.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
meadjiun (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meadjiun.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 meadjiun.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
32ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
41, 3ralrimi 3220 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
5 dfiun3g 5833 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
76fveq2d 6670 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)))
8 meadjiun.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
9 meadjiun.s . . 3 𝑆 = dom 𝑀
10 eqid 2824 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1110rnmptss 6881 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
124, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
13 meadjiun.a . . . 4 (𝜑𝐴 ≼ ω)
14 1stcrestlem 21976 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
16 meadjiun.dj . . . 4 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
1710disjrnmpt2 41311 . . . 4 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
198, 9, 12, 15, 18meadjuni 42602 . 2 (𝜑 → (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))))
20 reldom 8507 . . . . . 6 Rel ≼
21 brrelex1 5603 . . . . . 6 ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
2220, 21mpan 686 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2313, 22syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
241, 2, 10fmptdf 6876 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
25 fveq2 6666 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
2625neeq1d 3079 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
2726cbvrabv 3496 . . . 4 {𝑗𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
28 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
29 nfv 1908 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑖𝐴
301, 29nfan 1893 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
31 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑖
3231nfcsb1 3909 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
33 nfcv 2981 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑆
3432, 33nfel 2996 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
3530, 34nfim 1890 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
36 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
3736anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
38 csbeq1a 3900 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
3938eleq1d 2901 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
4037, 39imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
4135, 40, 2chvar 2409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
4231, 32, 38, 10fvmptf 6784 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵𝑆) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4328, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4443disjeq2dv 5032 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵))
45 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑖𝐵
4645, 32, 38cbvdisj 5037 . . . . . . . 8 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
4746bicomi 225 . . . . . . 7 (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵)
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵))
4944, 48bitrd 280 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘𝐴 𝐵))
5016, 49mpbird 258 . . . 4 (𝜑Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
518, 9, 23, 24, 27, 50meadjiunlem 42610 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
5245, 32, 38cbvmpt 5163 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)
5352coeq2i 5729 . . . . . 6 (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)))
55 eqidd 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
568, 9meaf 42598 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5756feqmptd 6729 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
58 fveq2 6666 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑖 / 𝑘𝐵 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
5941, 55, 57, 58fmptco 6886 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)))
60 nfcv 2981 . . . . . . . 8 𝑖(𝑀𝐵)
61 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑘𝑀
6261, 32nffv 6676 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)
6338fveq2d 6670 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑀𝐵) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6460, 62, 63cbvmpt 5163 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6564eqcomi 2833 . . . . . 6 (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))
6665a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6754, 59, 663eqtrd 2864 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6867fveq2d 6670 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
6951, 68eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
707, 19, 693eqtrd 2864 1 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  {crab 3146  Vcvv 3499  csb 3886  wss 3939  c0 4294   cuni 4836   ciun 4916  Disj wdisj 5027   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554  cres 5555  ccom 5557  Rel wrel 5558  cfv 6351  (class class class)co 7151  ωcom 7571  cdom 8499  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  [,]cicc 12734  Σ^csumge0 42507  Meascmea 42594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-sumge0 42508  df-mea 42595
This theorem is referenced by:  meaiunlelem  42613  meaiuninclem  42625  vonct  42838
  Copyright terms: Public domain W3C validator