Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjiun 45182
Description: The measure of the disjoint union of a countable set is the extended sum of the measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjiun.1 𝑘𝜑
meadjiun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjiun.s 𝑆 = dom 𝑀
meadjiun.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
meadjiun.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
meadjiun.dj (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
meadjiun (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem meadjiun
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meadjiun.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 meadjiun.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
32ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
41, 3ralrimi 3255 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
5 dfiun3g 5964 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 = ran (𝑘𝐴𝐵))
76fveq2d 6896 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)))
8 meadjiun.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
9 meadjiun.s . . 3 𝑆 = dom 𝑀
10 eqid 2733 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
111, 10, 2rnmptssd 43895 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
12 meadjiun.a . . . 4 (𝜑𝐴 ≼ ω)
13 1stcrestlem 22956 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝐴𝐵) ≼ ω)
15 meadjiun.dj . . . 4 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
1610disjrnmpt2 43886 . . . 4 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ran (𝑘𝐴𝐵)𝑥)
188, 9, 11, 14, 17meadjuni 45173 . 2 (𝜑 → (𝑀 ran (𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))))
19 reldom 8945 . . . . . 6 Rel ≼
20 brrelex1 5730 . . . . . 6 ((Rel ≼ ∧ 𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
2119, 20mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
2212, 21syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
231, 2, 10fmptdf 7117 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
24 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
2524neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅ ↔ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅))
2625cbvrabv 3443 . . . 4 {𝑗𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) ≠ ∅} = {𝑖𝐴 ∣ ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ≠ ∅}
27 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖𝐴)
28 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑖𝐴
291, 28nfan 1903 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
30 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑖
3130nfcsb1 3918 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑆
3331, 32nfel 2918 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵𝑆
3429, 33nfim 1900 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
35 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
3635anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
37 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
3837eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑆𝑖 / 𝑘𝐵𝑆))
3936, 38imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)))
4034, 39, 2chvarfv 2234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵𝑆)
4130, 31, 37, 10fvmptf 7020 . . . . . . . 8 ((𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵𝑆) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4227, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑘𝐵)
4342disjeq2dv 5119 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵))
44 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑖𝐵
4544, 31, 37cbvdisj 5124 . . . . . . . 8 (Disj 𝑘𝐴 𝐵Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
4645bicomi 223 . . . . . . 7 (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵)
4746a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵Disj 𝑘𝐴 𝐵))
4843, 47bitrd 279 . . . . 5 (𝜑 → (Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖) ↔ Disj 𝑘𝐴 𝐵))
4915, 48mpbird 257 . . . 4 (𝜑Disj 𝑖𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑖))
508, 9, 22, 23, 26, 49meadjiunlem 45181 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
5144, 31, 37cbvmpt 5260 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)
5251coeq2i 5861 . . . . . 6 (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)))
54 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵) = (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵))
558, 9meaf 45169 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5655feqmptd 6961 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑀𝑦)))
57 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑖 / 𝑘𝐵 → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
5840, 54, 56, 57fmptco 7127 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑖𝐴𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)))
59 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑖(𝑀𝐵)
60 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑘𝑀
6160, 31nffv 6902 . . . . . . . 8 𝑘(𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)
6237fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑀𝐵) = (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6359, 61, 62cbvmpt 5260 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)) = (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵))
6463eqcomi 2742 . . . . . 6 (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐴 ↦ (𝑀𝑖 / 𝑘𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6653, 58, 653eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵)))
6766fveq2d 6896 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
6850, 67eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ ran (𝑘𝐴𝐵))) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
697, 18, 683eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑀 𝑘𝐴 𝐵) = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝑀𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  csb 3894  c0 4323   cuni 4909   ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  cres 5679  ccom 5681  Rel wrel 5682  cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855  cdom 8937  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  [,]cicc 13327  Σ^csumge0 45078  Meascmea 45165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079  df-mea 45166
This theorem is referenced by:  meaiunlelem  45184  meaiuninclem  45196  vonct  45409
  Copyright terms: Public domain W3C validator