Theorem dmmeasal 47199

Description: The domain of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmeasal.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
dmmeasal.s	⊢ 𝑆 = dom 𝑀

Assertion

Ref	Expression
dmmeasal	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem dmmeasal

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmeasal.s	. 2 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
2		dmmeasal.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		ismea 47198	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))))
4	2, 3	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → (𝑀‘∪ 𝑥) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑥)))))
5	4	simplld 780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
6	5	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
7	1, 6	eqeltrid 2870	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4877  Disj wdisj 5081   class class class wbr 5114  dom cdm 5666   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ωcom 7871   ≼ cdom 8950  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  [,]cicc 13393  SAlgcsalg 47055  Σ^{^}csumge0 47109  Meascmea 47196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-mea 47197

This theorem is used by:  meadjuni  47204  meassle  47210  meaunle  47211  meaiunlelem  47215  meadif  47226  meaiuninclem  47227  meaiuninc3v  47231  meaiininclem  47233  dmovnsal  47359  hoimbllem  47377  ctvonmbl  47436  vonct  47440