Theorem meadjun 42764

Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meadjun.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjun.dj	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
meadjun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadjun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12820	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meadjun.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meadjun.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4	2, 3	meaf 42755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5		meadjun.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ffvelrnd 6852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 6	sseldi 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
8		xaddid2 12636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
10	9	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
12		uneq1 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13		0un 4346	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
15	12, 14	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
16	15	fveq2d 6674	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
17	16	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
18		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
19	18	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
20	2	mea0 42756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = 0)
23	22	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
25		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26		meadjun.dj	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27	26	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
28		inidm 4195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
29	28	eqcomi 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
30		ineq2 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵))
31	29, 30	syl5req 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
32	31	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
33		neqne 3024	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
34	33	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
35	32, 34	eqnetrd 3083	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36	35	neneqd 3021	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37	36	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
38	27, 37	pm2.65da 815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
39	38	neqned 3023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40		meadjun.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
41		uniprg 4856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
42	40, 5, 41	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
43	42	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
44	43	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
45	44	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
46	40, 5	prssd 4755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47		prfi 8793	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48		isfinite 9115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
49	48	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50		sdomdom 8537	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
52	47, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54		disjxsn 5059	. . . . . . . . . 10 ⊢ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56		preq1 4669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57		dfsn2 4580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
58	57	eqcomi 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
60	56, 59	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
61	60	disjeq1d 5039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
62	55, 61	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
63	62	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65		neqne 3024	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66	65	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
67	26	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
68	40	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
69	5	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
70		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
71		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
72		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
73	71, 72	disjprg 5062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
74	68, 69, 70, 73	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
75	67, 74	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
76	64, 66, 75	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
77	63, 76	pm2.61dan 811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
78	2, 3, 46, 53, 77	meadjuni 42759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
79	78	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
80	4, 40	ffvelrnd 6852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
81	80	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
82	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐴))
84		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐵))
85	68, 69, 81, 82, 83, 84, 70	sge0pr 42696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
86	4, 46	fssresd 6545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
87	86	feqmptd 6733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88		fvres 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀‘𝑥))
89	88	mpteq2ia 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
91	87, 90	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
92	91	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
93	92	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
94		eqidd 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
95	85, 93, 94	3eqtr4d 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
96	45, 79, 95	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
97	25, 39, 96	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
98	24, 97	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  {csn 4567  {cpr 4569  ∪ cuni 4838  Disj wdisj 5031   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  dom cdm 5555   ↾ cres 5557  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ωcom 7580   ≼ cdom 8507   ≺ csdm 8508  Fincfn 8509  0cc0 10537  +∞cpnf 10672  ℝ^*cxr 10674   +_𝑒 cxad 12506  [,]cicc 12742  Σ^{^}csumge0 42664  Meascmea 42751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-xadd 12509  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-sumge0 42665  df-mea 42752

This theorem is referenced by:  meassle  42765  meaunle  42766  meadjunre  42778