Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjun 44777
Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a (𝜑𝐴𝑆)
meadjun.b (𝜑𝐵𝑆)
meadjun.dj (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
meadjun (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadjun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13354 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 meadjun.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
3 meadjun.x . . . . . . . . 9 𝑆 = dom 𝑀
42, 3meaf 44768 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5 meadjun.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
64, 5ffvelcdmd 7041 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sselid 3947 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
8 xaddid2 13168 . . . . . 6 ((𝑀𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
109eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
1110adantr 482 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
12 uneq1 4121 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13 0un 4357 . . . . . . 7 (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
1512, 14eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐵)
1615fveq2d 6851 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
1716adantl 483 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
18 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
1918adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
202mea0 44769 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2120adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = 0)
2322oveq1d 7377 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
2411, 17, 233eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
25 simpl 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26 meadjun.dj . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
2726ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
28 inidm 4183 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐴) = 𝐴
2928eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝐴𝐴)
30 ineq2 4171 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴) = (𝐴𝐵))
3129, 30eqtr2id 2790 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
3231adantl 483 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
33 neqne 2952 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
3532, 34eqnetrd 3012 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
3635neneqd 2949 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3736adantll 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3827, 37pm2.65da 816 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3938neqned 2951 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐵)
40 meadjun.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
41 uniprg 4887 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4240, 5, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4342eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
4443fveq2d 6851 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4544adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4640, 5prssd 4787 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47 prfi 9273 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48 isfinite 9595 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4948biimpi 215 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50 sdomdom 8927 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5247, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54 disjxsn 5103 . . . . . . . . . 10 Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56 preq1 4699 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57 dfsn2 4604 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
5857eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
6056, 59eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6160disjeq1d 5083 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
6255, 61mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
6362adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65 neqne 2952 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
6665adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
6726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
6840adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
695adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
70 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
71 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
72 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7371, 72disjprg 5106 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7468, 69, 70, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7567, 74mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7664, 66, 75syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7763, 76pm2.61dan 812 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
782, 3, 46, 53, 77meadjuni 44772 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
7978adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
804, 40ffvelcdmd 7041 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8180adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
826adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐴))
84 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
8568, 69, 81, 82, 83, 84, 70sge0pr 44709 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
864, 46fssresd 6714 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
8786feqmptd 6915 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88 fvres 6866 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀𝑥))
8988mpteq2ia 5213 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9187, 90eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9291fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
9392adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
94 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9585, 93, 943eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9645, 79, 953eqtrd 2781 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9725, 39, 96syl2anc 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9824, 97pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cun 3913  cin 3914  c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593   cuni 4870  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110  cmpt 5193  dom cdm 5638  cres 5640  cfv 6501  (class class class)co 7362  ωcom 7807  cdom 8888  csdm 8889  Fincfn 8890  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  *cxr 11195   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  Σ^csumge0 44677  Meascmea 44764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-sumge0 44678  df-mea 44765
This theorem is referenced by:  meassle  44778  meaunle  44779  meadjunre  44791
  Copyright terms: Public domain W3C validator