Theorem meadjun 43971

Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meadjun.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjun.dj	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
meadjun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadjun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13161	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meadjun.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meadjun.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4	2, 3	meaf 43962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5		meadjun.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ffvelrnd 6959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 6	sselid 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
8		xaddid2 12975	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
10	9	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
12		uneq1 4095	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13		0un 4332	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
15	12, 14	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
16	15	fveq2d 6775	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
18		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
19	18	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
20	2	mea0 43963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = 0)
23	22	oveq1d 7286	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
25		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26		meadjun.dj	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27	26	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
28		inidm 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
29	28	eqcomi 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
30		ineq2 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵))
31	29, 30	eqtr2id 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
32	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
33		neqne 2953	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
35	32, 34	eqnetrd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36	35	neneqd 2950	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37	36	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
38	27, 37	pm2.65da 814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
39	38	neqned 2952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40		meadjun.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
41		uniprg 4862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
42	40, 5, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
43	42	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
44	43	fveq2d 6775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
45	44	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
46	40, 5	prssd 4761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47		prfi 9067	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48		isfinite 9388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
49	48	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50		sdomdom 8751	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
52	47, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54		disjxsn 5072	. . . . . . . . . 10 ⊢ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56		preq1 4675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57		dfsn2 4580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
58	57	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
60	56, 59	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
61	60	disjeq1d 5052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
62	55, 61	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
63	62	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65		neqne 2953	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66	65	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
67	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
68	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
69	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
70		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
71		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
72		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
73	71, 72	disjprg 5075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
74	68, 69, 70, 73	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
75	67, 74	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
76	64, 66, 75	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
77	63, 76	pm2.61dan 810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
78	2, 3, 46, 53, 77	meadjuni 43966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
79	78	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
80	4, 40	ffvelrnd 6959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
81	80	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
82	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐴))
84		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐵))
85	68, 69, 81, 82, 83, 84, 70	sge0pr 43903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
86	4, 46	fssresd 6639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
87	86	feqmptd 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88		fvres 6790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀‘𝑥))
89	88	mpteq2ia 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
91	87, 90	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
92	91	fveq2d 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
93	92	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
94		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
95	85, 93, 94	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
96	45, 79, 95	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
97	25, 39, 96	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
98	24, 97	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   ∪ cun 3890   ∩ cin 3891  ∅c0 4262  {csn 4567  {cpr 4569  ∪ cuni 4845  Disj wdisj 5044   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  dom cdm 5590   ↾ cres 5592  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ωcom 7706   ≼ cdom 8714   ≺ csdm 8715  Fincfn 8716  0cc0 10872  +∞cpnf 11007  ℝ^*cxr 11009   +_𝑒 cxad 12845  [,]cicc 13081  Σ^{^}csumge0 43871  Meascmea 43958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-xadd 12848  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-sumge0 43872  df-mea 43959

This theorem is referenced by:  meassle  43972  meaunle  43973  meadjunre  43985