Theorem meadjun 47000

Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meadjun.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjun.dj	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
meadjun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadjun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13431	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meadjun.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meadjun.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4	2, 3	meaf 46991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5		meadjun.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ffvelcdmd 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 6	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
8		xaddlid 13242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
10	9	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
12		uneq1 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13		0un 4349	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
15	12, 14	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
16	15	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
17	16	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
18		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
19	18	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
20	2	mea0 46992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = 0)
23	22	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
25		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26		meadjun.dj	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27	26	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
28		inidm 4178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
29	28	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
30		ineq2 4166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵))
31	29, 30	eqtr2id 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
32	31	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
33		neqne 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
34	33	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
35	32, 34	eqnetrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36	35	neneqd 2961	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37	36	adantll 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
38	27, 37	pm2.65da 826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
39	38	neqned 2963	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40		meadjun.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
41		uniprg 4880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
42	40, 5, 41	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
43	42	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
44	43	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
45	44	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
46	40, 5	prssd 4779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47		prfi 9264	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48		isfinite 9604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
49	48	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50		sdomdom 8957	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
52	47, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54		disjxsn 5093	. . . . . . . . . 10 ⊢ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56		preq1 4691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57		dfsn2 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
58	57	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
60	56, 59	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
61	60	disjeq1d 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
62	55, 61	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
63	62	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65		neqne 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66	65	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
67	26	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
68	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
69	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
70		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
71		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
72		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
73	71, 72	disjprg 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
74	68, 69, 70, 73	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
75	67, 74	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
76	64, 66, 75	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
77	63, 76	pm2.61dan 822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
78	2, 3, 46, 53, 77	meadjuni 46995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
79	78	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
80	4, 40	ffvelcdmd 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
81	80	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
82	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐴))
84		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐵))
85	68, 69, 81, 82, 83, 84, 70	sge0pr 46932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
86	4, 46	fssresd 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
87	86	feqmptd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88		fvres 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀‘𝑥))
89	88	mpteq2ia 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
91	87, 90	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
92	91	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
93	92	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
94		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
95	85, 93, 94	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
96	45, 79, 95	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
97	25, 39, 96	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
98	24, 97	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4581  {cpr 4583  ∪ cuni 4864  Disj wdisj 5066   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ωcom 7842   ≼ cdom 8921   ≺ csdm 8922  Fincfn 8923  0cc0 11070  +∞cpnf 11210  ℝ^*cxr 11212   +_𝑒 cxad 13109  [,]cicc 13349  Σ^{^}csumge0 46900  Meascmea 46987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-xadd 13112  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-sumge0 46901  df-mea 46988

This theorem is referenced by:  meassle  47001  meaunle  47002  meadjunre  47014