Theorem meadjun 46905

Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meadjun.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjun.dj	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
meadjun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadjun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13372	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meadjun.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meadjun.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4	2, 3	meaf 46896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5		meadjun.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 6	sselid 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
8		xaddlid 13183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
10	9	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
12		uneq1 4102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13		0un 4337	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
15	12, 14	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
16	15	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
18		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
20	2	mea0 46897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = 0)
23	22	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
25		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26		meadjun.dj	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27	26	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
28		inidm 4168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
29	28	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
30		ineq2 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵))
31	29, 30	eqtr2id 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
33		neqne 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
35	32, 34	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36	35	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37	36	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
38	27, 37	pm2.65da 817	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
39	38	neqned 2940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40		meadjun.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
41		uniprg 4867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
42	40, 5, 41	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
43	42	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
44	43	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
46	40, 5	prssd 4766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47		prfi 9225	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48		isfinite 9562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
49	48	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50		sdomdom 8918	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
52	47, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54		disjxsn 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56		preq1 4678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57		dfsn2 4581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
58	57	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
60	56, 59	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
61	60	disjeq1d 5061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
62	55, 61	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
63	62	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65		neqne 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
67	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
68	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
69	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
70		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
71		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
72		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
73	71, 72	disjprg 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
74	68, 69, 70, 73	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
75	67, 74	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
76	64, 66, 75	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
77	63, 76	pm2.61dan 813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
78	2, 3, 46, 53, 77	meadjuni 46900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
79	78	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
80	4, 40	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
81	80	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
82	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐴))
84		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐵))
85	68, 69, 81, 82, 83, 84, 70	sge0pr 46837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
86	4, 46	fssresd 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
87	86	feqmptd 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88		fvres 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀‘𝑥))
89	88	mpteq2ia 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
91	87, 90	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
92	91	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
93	92	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
94		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
95	85, 93, 94	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
96	45, 79, 95	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
97	25, 39, 96	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
98	24, 97	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ∪ cuni 4851  Disj wdisj 5053   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ≼ cdom 8882   ≺ csdm 8883  Fincfn 8884  0cc0 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   +_𝑒 cxad 13050  [,]cicc 13290  Σ^{^}csumge0 46805  Meascmea 46892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-xadd 13053  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-sumge0 46806  df-mea 46893

This theorem is referenced by:  meassle  46906  meaunle  46907  meadjunre  46919