Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadjun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meadjun 41152
Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meadjun.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a (𝜑𝐴𝑆)
meadjun.b (𝜑𝐵𝑆)
meadjun.dj (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
meadjun (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem meadjun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12470 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 meadjun.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
3 meadjun.x . . . . . . . . 9 𝑆 = dom 𝑀
42, 3meaf 41143 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5 meadjun.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑆)
64, 5ffvelrnd 6578 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
71, 6sseldi 3796 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
8 xaddid2 12287 . . . . . 6 ((𝑀𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀𝐵)) = (𝑀𝐵))
109eqcomd 2812 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
1110adantr 468 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
12 uneq1 3959 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13 0un 39702 . . . . . . 7 (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
1512, 14eqtrd 2840 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = 𝐵)
1615fveq2d 6408 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
1716adantl 469 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀𝐵))
18 fveq2 6404 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
1918adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = (𝑀‘∅))
202mea0 41144 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2120adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2219, 21eqtrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐴) = 0)
2322oveq1d 6885 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐵)))
2411, 17, 233eqtr4d 2850 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
25 simpl 470 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26 meadjun.dj . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
2726ad2antrr 708 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
28 inidm 4019 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐴) = 𝐴
2928eqcomi 2815 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝐴𝐴)
30 ineq2 4007 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴) = (𝐴𝐵))
3129, 30syl5req 2853 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = 𝐴)
3231adantl 469 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) = 𝐴)
33 neqne 2986 . . . . . . . . 9 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
3433adantr 468 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
3532, 34eqnetrd 3045 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
3635neneqd 2983 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3736adantll 696 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴𝐵) = ∅)
3827, 37pm2.65da 842 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3938neqned 2985 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐵)
40 meadjun.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
41 uniprg 4644 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4240, 5, 41syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
4342eqcomd 2812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
4443fveq2d 6408 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4544adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = (𝑀 {𝐴, 𝐵}))
4640, 5prssd 4543 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47 prfi 8470 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48 isfinite 8792 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4948biimpi 207 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50 sdomdom 8216 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
5247, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54 disjxsn 4838 . . . . . . . . . 10 Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56 preq1 4459 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57 dfsn2 4383 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
5857eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . 12 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
6056, 59eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6160disjeq1d 4820 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
6255, 61mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
6362adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64 simpl 470 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65 neqne 2986 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
6665adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
6726adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) = ∅)
6840adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
695adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
70 simpr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
71 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
72 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
7371, 72disjprg 4840 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7468, 69, 70, 73syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
7567, 74mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7664, 66, 75syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
7763, 76pm2.61dan 838 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
782, 3, 46, 53, 77meadjuni 41147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
7978adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀 {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
804, 40ffvelrnd 6578 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8180adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
826adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83 fveq2 6404 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐴))
84 fveq2 6404 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝐵))
8568, 69, 81, 82, 83, 84, 70sge0pr 41084 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
864, 46fssresd 6282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
8786feqmptd 6466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88 fvres 6423 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀𝑥))
8988mpteq2ia 4934 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9187, 90eqtrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥)))
9291fveq2d 6408 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
9392adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀𝑥))))
94 eqidd 2807 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9585, 93, 943eqtr4d 2850 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9645, 79, 953eqtrd 2844 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9725, 39, 96syl2anc 575 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
9824, 97pm2.61dan 838 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cun 3767  cin 3768  c0 4116  {csn 4370  {cpr 4372   cuni 4630  Disj wdisj 4812   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  cres 5313  cfv 6097  (class class class)co 6870  ωcom 7291  cdom 8186  csdm 8187  Fincfn 8188  0cc0 10217  +∞cpnf 10352  *cxr 10354   +𝑒 cxad 12156  [,]cicc 12392  Σ^csumge0 41052  Meascmea 41139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-xadd 12159  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-sumge0 41053  df-mea 41140
This theorem is referenced by:  meassle  41153  meaunle  41154  meadjunre  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator