Theorem meadjun 47159

Description: The measure of the union of two disjoint sets is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjun.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjun.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meadjun.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjun.dj	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
meadjun	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadjun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13458	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		meadjun.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
3		meadjun.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
4	2, 3	meaf 47150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
5		meadjun.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ffvelcdmd 7082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 6	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ*)
8		xaddlid 13269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
10	9	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐵) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
12		uneq1 4116	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
13		0un 4354	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵)
15	12, 14	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
16	15	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
17	16	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘𝐵))
18		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
19	18	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘∅))
20	2	mea0 47151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐴) = 0)
23	22	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
25		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝜑)
26		meadjun.dj	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
27	26	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
28		inidm 4180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
29	28	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)
30		ineq2 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵))
31	29, 30	eqtr2id 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
32	31	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
33		neqne 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
35	32, 34	eqnetrd 3025	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36	35	neneqd 2963	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = ∅ ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
37	36	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
38	27, 37	pm2.65da 828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
39	38	neqned 2965	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
40		meadjun.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
41		uniprg 4889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
42	40, 5, 41	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
43	42	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
44	43	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
45	44	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}))
46	40, 5	prssd 4789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
47		prfi 9284	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
48		isfinite 9622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
49	48	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
50		sdomdom 8978	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
52	47, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
54		disjxsn 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥
55	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥)
56		preq1 4700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
57		dfsn2 4603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
58	57	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
60	56, 59	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
61	60	disjeq1d 5085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ Disj 𝑥 ∈ {𝐵}𝑥))
62	55, 61	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
63	62	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
64		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝜑)
65		neqne 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
66	65	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
67	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
68	40	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
69	5	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
70		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
71		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
72		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
73	71, 72	disjprg 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
74	68, 69, 70, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
75	67, 74	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
76	64, 66, 75	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
77	63, 76	pm2.61dan 824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
78	2, 3, 46, 53, 77	meadjuni 47154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
79	78	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘∪ {𝐴, 𝐵}) = (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})))
80	4, 40	ffvelcdmd 7082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
81	80	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
82	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
83		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐴))
84		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘𝐵))
85	68, 69, 81, 82, 83, 84, 70	sge0pr 47091	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
86	4, 46	fssresd 6747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
87	86	feqmptd 6951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)))
88		fvres 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥) = (𝑀‘𝑥))
89	88	mpteq2ia 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))
90	89	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ ((𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
91	87, 90	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥)))
92	91	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
93	92	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑀‘𝑥))))
94		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
95	85, 93, 94	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Σ^‘(𝑀 ↾ {𝐴, 𝐵})) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
96	45, 79, 95	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
97	25, 39, 96	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
98	24, 97	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4590  {cpr 4592  ∪ cuni 4873  Disj wdisj 5077   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ωcom 7863   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943  Fincfn 8944  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   +_𝑒 cxad 13136  [,]cicc 13376  Σ^{^}csumge0 47059  Meascmea 47146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-xadd 13139  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-sumge0 47060  df-mea 47147

This theorem is referenced by:  meassle  47160  meaunle  47161  meadjunre  47173