Theorem mhmfmhm 19007

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 19006 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmgrp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmgrp.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
mhmmnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		ghmgrp.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
3		ghmgrp.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ghmgrp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
5		ghmgrp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		ghmgrp.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
7		ghmgrp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 19006	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
9		fof 6754	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	2	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	11	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 19005	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
15	10, 12, 14	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻)))
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 18722	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))))
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1346	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟶wf 6496  –onto→wfo 6498  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Mndcmnd 18671   MndHom cmhm 18718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720

This theorem is referenced by: (None)