Theorem mhmfmhm 19127

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 19126 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmgrp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmgrp.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
mhmmnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		ghmgrp.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
3		ghmgrp.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ghmgrp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
5		ghmgrp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		ghmgrp.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
7		ghmgrp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 19126	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
9		fof 6790	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	2	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	11	ralrimivva 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 19125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
15	10, 12, 14	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻)))
16		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 18839	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))))
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ⟶wf 6530  –onto→wfo 6532  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788   MndHom cmhm 18835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fo 6540  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8822  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837

This theorem is referenced by: (None)