MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmfmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmfmhm 19083
Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 19082 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmgrp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p + = (+g𝐺)
ghmgrp.q = (+g𝐻)
ghmgrp.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
mhmmnd.3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
mhmfmhm (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm
StepHypRef Expression
1 mhmmnd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 ghmgrp.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
3 ghmgrp.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ghmgrp.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
5 ghmgrp.p . . 3 + = (+g𝐺)
6 ghmgrp.q . . 3 = (+g𝐻)
7 ghmgrp.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1mhmmnd 19082 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
9 fof 6820 . . . 4 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1123expb 1121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1211ralrimivva 3202 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
13 eqid 2737 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13mhmid 19081 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))
1510, 12, 143jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻)))
16 eqid 2737 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
173, 4, 5, 6, 13, 16ismhm 18798 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))))
181, 8, 15, 17syl21anbrc 1345 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator