Theorem mhmfmhm 19325

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 19324 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmgrp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmgrp.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶onto𝑌)
mhmmnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		ghmgrp.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
3		ghmgrp.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ghmgrp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
5		ghmgrp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		ghmgrp.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
7		ghmgrp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶onto𝑌)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 19324	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
9		fof 6826	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶onto𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	2	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	11	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 19323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
15	10, 12, 14	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻)))
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 19030	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))))
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973   MndHom cmhm 19026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fo 6572  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028

This theorem is used by: (None)