Theorem mhmfmhm 19275

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 19274 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmgrp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmgrp.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
mhmmnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		ghmgrp.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
3		ghmgrp.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ghmgrp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
5		ghmgrp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		ghmgrp.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
7		ghmgrp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 19274	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
9		fof 6796	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	2	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	11	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 19273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
15	10, 12, 14	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻)))
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 18980	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))))
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Mndcmnd 18923   MndHom cmhm 18976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978

This theorem is used by: (None)