Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmfmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmfmhm 18213
 Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 18212 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmgrp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p + = (+g𝐺)
ghmgrp.q = (+g𝐻)
ghmgrp.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
mhmmnd.3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
mhmfmhm (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm
StepHypRef Expression
1 mhmmnd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 ghmgrp.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
3 ghmgrp.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ghmgrp.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
5 ghmgrp.p . . 3 + = (+g𝐺)
6 ghmgrp.q . . 3 = (+g𝐻)
7 ghmgrp.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1mhmmnd 18212 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
9 fof 6572 . . . 4 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1123expb 1117 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1211ralrimivva 3181 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
13 eqid 2822 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13mhmid 18211 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))
1510, 12, 143jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻)))
16 eqid 2822 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
173, 4, 5, 6, 13, 16ismhm 17949 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))))
181, 8, 15, 17syl21anbrc 1341 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ⟶wf 6330  –onto→wfo 6332  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902   MndHom cmhm 17945 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-fo 6340  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-map 8395  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator