Theorem mhmfmhm 19004

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 19003 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmgrp.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmgrp.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
mhmmnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		ghmgrp.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
3		ghmgrp.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ghmgrp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
5		ghmgrp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		ghmgrp.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
7		ghmgrp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 19003	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
9		fof 6775	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝑌 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
11	2	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
12	11	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 19002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
15	10, 12, 14	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻)))
16		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 18719	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))))
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟶wf 6510  –onto→wfo 6512  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668   MndHom cmhm 18715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fo 6520  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717

This theorem is referenced by: (None)