Theorem mpoaddex 13119

Description: The addition operation is a set. Version of addex 13120 using maps-to notation , which does not require ax-addf 11282. (Contributed by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpoaddex	⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpoaddex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoaddf 11297	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		cnex 11284	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3	2, 2	xpex 7767	. 2 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
4		fex2 7948	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)):(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
5	1, 3, 2, 4	mp3an 1490	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   × cxp 5648  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11201   + caddc 11206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-addcl 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002

This theorem is used by:  mpocnfldadd  21688  cnfldfun  21697  cnfldfunALT  21698