Theorem mpocnfldadd 21695

Description: The addition operation of the field of complex numbers. Version of cnfldadd 21696 using maps-to notation, which does not require ax-addf 11289. (Contributed by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpocnfldadd	⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpocnfldadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoaddex 13126	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
2		cnfldstr 21692	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		plusgid 17467	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		snsstp2 4775	. . . 4 ⊢ {⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩}
5		ssun1 4178	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4178	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21691	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3961	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3921	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3921	. . 3 ⊢ {⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17393	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∪ cun 4151  {csn 4587  {ctp 4591  ⟨cop 4837   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∈ cmpo 7429  ℂcc 11208  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   ≤ cle 11354   − cmin 11551  3c3 12408  ;cdc 12824  ∗ccj 15275  abscabs 15413  ndxcnx 17383  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  ._rcmulr 17441  *_𝑟cstv 17442  TopSetcts 17446  lecple 17447  distcds 17449  UnifSetcunif 17450  MetOpencmopn 21680  metUnifcmetu 21681  ℂ_fldccnfld 21690

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-cnfld 21691

This theorem is used by:  cnfldadd  21696