MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptsuppd 8213
Description: The support of a function in maps-to notation. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptsuppdifd.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
mptsuppdifd.a (𝜑𝐴𝑉)
mptsuppdifd.z (𝜑𝑍𝑊)
mptsuppd.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑈)
Assertion
Ref Expression
mptsuppd (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥𝐴𝐵𝑍})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptsuppd
StepHypRef Expression
1 mptsuppdifd.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 mptsuppdifd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 mptsuppdifd.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
41, 2, 3mptsuppdifd 8212 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
5 eldifsn 4785 . . . 4 (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝑍))
6 mptsuppd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑈)
76elexd 3503 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
87biantrurd 532 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑍 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝑍)))
95, 8bitr4id 290 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝐵𝑍))
109rabbidva 3442 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} = {𝑥𝐴𝐵𝑍})
114, 10eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥𝐴𝐵𝑍})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  {csn 4625  cmpt 5224  (class class class)co 7432   supp csupp 8186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-supp 8187
This theorem is referenced by:  rmsupp0  48289  domnmsuppn0  48290  rmsuppss  48291  suppmptcfin  48297  lcoc0  48344  linc1  48347
  Copyright terms: Public domain W3C validator