Theorem mptsuppd 8228

Description: The support of a function in maps-to notation. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptsuppdifd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
mptsuppdifd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
mptsuppdifd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
mptsuppd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mptsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptsuppdifd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mptsuppdifd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		mptsuppdifd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	mptsuppdifd 8227	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
5		eldifsn 4811	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝑍))
6		mptsuppd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)
7	6	elexd 3512	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
8	7	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝑍)))
9	5, 8	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝐵 ≠ 𝑍))
10	9	rabbidva 3450	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})
11	4, 10	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  (class class class)co 7448   supp csupp 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-supp 8202

This theorem is referenced by:  rmsupp0  48093  domnmsuppn0  48094  rmsuppss  48095  suppmptcfin  48104  lcoc0  48151  linc1  48154