Theorem mptsuppd 8137

Description: The support of a function in maps-to notation. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptsuppdifd.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
mptsuppdifd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
mptsuppdifd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
mptsuppd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mptsuppd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptsuppdifd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mptsuppdifd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		mptsuppdifd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	mptsuppdifd 8136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
5		eldifsn 4731	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝑍))
6		mptsuppd.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)
7	6	elexd 3453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
8	7	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝑍)))
9	5, 8	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝐵 ≠ 𝑍))
10	9	rabbidva 3395	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})
11	4, 10	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  (class class class)co 7367   supp csupp 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-supp 8111

This theorem is referenced by:  rmsupp0  48844  domnmsuppn0  48845  rmsuppss  48846  suppmptcfin  48852  lcoc0  48898  linc1  48901