MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptsuppd 7950
Description: The support of a function in maps-to notation. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptsuppdifd.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
mptsuppdifd.a (𝜑𝐴𝑉)
mptsuppdifd.z (𝜑𝑍𝑊)
mptsuppd.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑈)
Assertion
Ref Expression
mptsuppd (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥𝐴𝐵𝑍})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptsuppd
StepHypRef Expression
1 mptsuppdifd.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
2 mptsuppdifd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 mptsuppdifd.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
41, 2, 3mptsuppdifd 7949 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
5 eldifsn 4715 . . . 4 (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝑍))
6 mptsuppd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑈)
76elexd 3441 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
87biantrurd 536 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑍 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵𝑍)))
95, 8bitr4id 293 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝐵𝑍))
109rabbidva 3401 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} = {𝑥𝐴𝐵𝑍})
114, 10eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥𝐴𝐵𝑍})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  {crab 3066  Vcvv 3421  cdif 3878  {csn 4556  cmpt 5150  (class class class)co 7232   supp csupp 7924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pr 5337  ax-un 7542
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4253  df-if 4455  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-id 5470  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-supp 7925
This theorem is referenced by:  rmsupp0  45408  domnmsuppn0  45409  rmsuppss  45410  suppmptcfin  45419  lcoc0  45467  linc1  45470
  Copyright terms: Public domain W3C validator