Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suppmptcfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppmptcfin 46445
Description: The support of a mapping with value 0 except of one is finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppmptcfin.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0 0 = (0g𝑅)
suppmptcfin.1 1 = (1r𝑅)
suppmptcfin.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
suppmptcfin ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem suppmptcfin
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppmptcfin.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
2 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑋𝑣 = 𝑋))
32ifbid 4509 . . . . 5 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
43cbvmptv 5218 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) = (𝑣𝑉 ↦ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
51, 4eqtri 2764 . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉 ↦ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
6 simp2 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
7 suppmptcfin.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
87fvexi 6856 . . . 4 0 ∈ V
98a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 0 ∈ V)
10 suppmptcfin.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
1110fvexi 6856 . . . . 5 1 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 1 ∈ V)
138a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 0 ∈ V)
1412, 13ifcld 4532 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V)
155, 6, 9, 14mptsuppd 8118 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 })
16 snfi 8988 . . 3 {𝑋} ∈ Fin
17 2a1 28 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0𝑣 = 𝑋)))
18 iffalse 4495 . . . . . . . . . 10 𝑣 = 𝑋 → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
2019neeq1d 3003 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 000 ))
21 eqid 2736 . . . . . . . . 9 0 = 0
22 eqneqall 2954 . . . . . . . . 9 ( 0 = 0 → ( 00𝑣 = 𝑋))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( 00𝑣 = 𝑋)
2420, 23syl6bi 252 . . . . . . 7 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0𝑣 = 𝑋))
2524ex 413 . . . . . 6 𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0𝑣 = 𝑋)))
2617, 25pm2.61i 182 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0𝑣 = 𝑋))
2726ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ∀𝑣𝑉 (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0𝑣 = 𝑋))
28 rabsssn 4628 . . . 4 ({𝑣𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ⊆ {𝑋} ↔ ∀𝑣𝑉 (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0𝑣 = 𝑋))
2927, 28sylibr 233 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → {𝑣𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ⊆ {𝑋})
30 ssfi 9117 . . 3 (({𝑋} ∈ Fin ∧ {𝑣𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ⊆ {𝑋}) → {𝑣𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ∈ Fin)
3116, 29, 30sylancr 587 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → {𝑣𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ∈ Fin)
3215, 31eqeltrd 2838 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Fincfn 8883  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321  1rcur 19913  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-supp 8093  df-1o 8412  df-en 8884  df-fin 8887
This theorem is referenced by:  mptcfsupp  46446
  Copyright terms: Public domain W3C validator