Theorem suppmptcfin 49314

Description: The support of a mapping with value 0 except of one is finite. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppmptcfin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
suppmptcfin.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
suppmptcfin.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))

Assertion

Ref	Expression
suppmptcfin	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem suppmptcfin

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppmptcfin.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
2		eqeq1 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑋 ↔ 𝑣 = 𝑋))
3	2	ifbid 4509	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
4	3	cbvmptv 5213	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
5	1, 4	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
6		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
7		suppmptcfin.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	7	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
10		suppmptcfin.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11	10	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 1 ∈ V)
13	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
14	12, 13	ifcld 4532	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V)
15	5, 6, 9, 14	mptsuppd 8189	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 })
16		snfi 9054	. . 3 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
17		2a1 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋)))
18		iffalse 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑋 → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
20	19	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 ↔ 0 ≠ 0 ))
21		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
22		eqneqall 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 = 0 → ( 0 ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋)
24	20, 23	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋))
25	24	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋)))
26	17, 25	pm2.61i 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋))
27	26	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋))
28		rabsssn 4632	. . . 4 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ⊆ {𝑋} ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 → 𝑣 = 𝑋))
29	27, 28	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ⊆ {𝑋})
30		ssfi 9171	. . 3 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ⊆ {𝑋}) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ∈ Fin)
31	16, 29, 30	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ≠ 0 } ∈ Fin)
32	15, 31	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   supp csupp 8162  Fincfn 8956  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351  0_gc0g 17530  1_rcur 20326  LModclmod 21050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-supp 8163  df-1o 8459  df-en 8957  df-fin 8960

This theorem is used by:  mptcfsupp  49315