Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc1 44831
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc1.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc1.0 0 = (0g𝑆)
linc1.1 1 = (1r𝑆)
linc1.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc1
Dummy variables 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 19639 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6652 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc1.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 19318 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc1.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 19319 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 515 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
12113ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1312adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14 ifcl 4472 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
16 linc1.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
1715, 16fmptd 6859 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
18 fvex 6662 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
19 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
20 elmapg 8406 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2118, 19, 20sylancr 590 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2217, 21mpbird 260 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
23 linc1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2423pweqi 4518 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2524eleq2i 2884 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625biimpi 219 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27263ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
28 lincval 44815 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))))
291, 22, 27, 28syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))))
30 eqid 2801 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
31 lmodgrp 19638 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
32 grpmnd 18106 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
34333ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
35 simp3 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
361adantr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
37 eqeq1 2805 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑋))
3837ifbid 4450 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
39 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
40 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
412, 40, 6lmod1cl 19658 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
42413ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4342adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
442, 40, 8lmod0cl 19657 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑆))
45443ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
4645adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
4743, 46ifcld 4473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑆))
4816, 38, 39, 47fvmptd3 6772 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
4948, 47eqeltrd 2893 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
50 elelpwi 4512 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑦𝐵)
5150expcom 417 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑦𝑉𝑦𝐵))
52513ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑦𝑉𝑦𝐵))
5352imp 410 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝐵)
54 eqid 2801 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5523, 2, 54, 40lmodvscl 19648 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
5636, 49, 53, 55syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
57 eqid 2801 . . . 4 (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))
5856, 57fmptd 6859 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)):𝑉𝐵)
59 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣))
60 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣𝑦 = 𝑣)
6159, 60oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) = ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
6261cbvmptv 5136 . . . . 5 (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
63 fvexd 6664 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (0g𝑀) ∈ V)
64 ovexd 7174 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ V)
6562, 19, 63, 64mptsuppd 7840 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) supp (0g𝑀)) = {𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)})
66 2a1 28 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)))
67 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑣𝑉)
686fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
698fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
7068, 69ifex 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V
71 eqeq1 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑋𝑣 = 𝑋))
7271ifbid 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
7372, 16fvmptg 6747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
7467, 70, 73sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
75 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑣 = 𝑋 → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
7675adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
7774, 76eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (𝐹𝑣) = 0 )
7877oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
791adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
81 elelpwi 4512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
8281expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
83823ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
8483imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
8584adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑣𝐵)
8623, 2, 54, 8, 30lmod0vs 19664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
8780, 85, 86syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
8878, 87eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
8988neeq1d 3049 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) ↔ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)))
90 eqneqall 3001 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑀) = (0g𝑀) → ((0g𝑀) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9130, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((0g𝑀) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)
9289, 91syl6bi 256 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9392ex 416 . . . . . . 7 𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)))
9466, 93pm2.61i 185 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9594ralrimiva 3152 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ∀𝑣𝑉 (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
96 rabsssn 4570 . . . . 5 ({𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑋} ↔ ∀𝑣𝑉 (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9795, 96sylibr 237 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → {𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑋})
9865, 97eqsstrd 3956 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) supp (0g𝑀)) ⊆ {𝑋})
9923, 30, 34, 19, 35, 58, 98gsumpt 19079 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))) = ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋))
100 ovex 7172 . . . 4 ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ V
101 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑋))
102 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
103101, 102oveq12d 7157 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
104103, 57fvmptg 6747 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
10535, 100, 104sylancl 589 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
106 iftrue 4434 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = 1 )
107106, 16fvmptg 6747 . . . . 5 ((𝑋𝑉1 ∈ V) → (𝐹𝑋) = 1 )
10835, 68, 107sylancl 589 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) = 1 )
109108oveq1d 7154 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋))
110 elelpwi 4512 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
111110ancoms 462 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
1121113adant1 1127 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
11323, 2, 54, 6lmodvs1 19659 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋) = 𝑋)
1141, 112, 113syl2anc 587 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋) = 𝑋)
115105, 109, 1143eqtrd 2840 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = 𝑋)
11629, 99, 1153eqtrd 2840 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444  wss 3884  ifcif 4428  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817  m cmap 8393  Basecbs 16479  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  Mndcmnd 17907  Grpcgrp 18099  1rcur 19248  Ringcrg 19294  LModclmod 19631   linC clinc 44810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-linc 44812
This theorem is referenced by:  lcoss  44842
  Copyright terms: Public domain W3C validator