Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc1 47008
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc1.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc1.0 0 = (0g𝑆)
linc1.1 1 = (1r𝑆)
linc1.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc1
Dummy variables 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 20467 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6891 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc1.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 20073 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc1.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 20074 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 513 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
12113ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1312adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14 ifcl 4572 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
16 linc1.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
1715, 16fmptd 7109 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
18 fvex 6901 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
19 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
20 elmapg 8829 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2118, 19, 20sylancr 588 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2217, 21mpbird 257 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
23 linc1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2423pweqi 4617 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2524eleq2i 2826 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625biimpi 215 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27263ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
28 lincval 46992 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))))
291, 22, 27, 28syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))))
30 eqid 2733 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
31 lmodgrp 20466 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
3231grpmndd 18828 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
33323ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
34 simp3 1139 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
351adantr 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
36 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑋))
3736ifbid 4550 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
38 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
402, 39, 6lmod1cl 20487 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
41403ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4241adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
432, 39, 8lmod0cl 20486 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑆))
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
4544adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
4642, 45ifcld 4573 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑆))
4716, 37, 38, 46fvmptd3 7017 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
4847, 46eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
49 elelpwi 4611 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑦𝐵)
5049expcom 415 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑦𝑉𝑦𝐵))
51503ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑦𝑉𝑦𝐵))
5251imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝐵)
53 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5423, 2, 53, 39lmodvscl 20477 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
5535, 48, 52, 54syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
56 eqid 2733 . . . 4 (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))
5755, 56fmptd 7109 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)):𝑉𝐵)
58 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣))
59 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣𝑦 = 𝑣)
6058, 59oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) = ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
6160cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
62 fvexd 6903 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (0g𝑀) ∈ V)
63 ovexd 7439 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ V)
6461, 19, 62, 63mptsuppd 8167 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) supp (0g𝑀)) = {𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)})
65 2a1 28 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)))
66 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑣𝑉)
676fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
688fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
6967, 68ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V
70 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑋𝑣 = 𝑋))
7170ifbid 4550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
7271, 16fvmptg 6992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
7366, 69, 72sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
74 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑣 = 𝑋 → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
7673, 75eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (𝐹𝑣) = 0 )
7776oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
781adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
80 elelpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
8180expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
82813ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
8382imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
8483adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑣𝐵)
8523, 2, 53, 8, 30lmod0vs 20493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
8679, 84, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
8777, 86eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
8887neeq1d 3001 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) ↔ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)))
89 eqneqall 2952 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑀) = (0g𝑀) → ((0g𝑀) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9030, 89ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((0g𝑀) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)
9188, 90syl6bi 253 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9291ex 414 . . . . . . 7 𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)))
9365, 92pm2.61i 182 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9493ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ∀𝑣𝑉 (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
95 rabsssn 4669 . . . . 5 ({𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑋} ↔ ∀𝑣𝑉 (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9694, 95sylibr 233 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → {𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑋})
9764, 96eqsstrd 4019 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) supp (0g𝑀)) ⊆ {𝑋})
9823, 30, 33, 19, 34, 57, 97gsumpt 19822 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))) = ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋))
99 ovex 7437 . . . 4 ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ V
100 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑋))
101 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
102100, 101oveq12d 7422 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
103102, 56fvmptg 6992 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
10434, 99, 103sylancl 587 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
105 iftrue 4533 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = 1 )
106105, 16fvmptg 6992 . . . . 5 ((𝑋𝑉1 ∈ V) → (𝐹𝑋) = 1 )
10734, 67, 106sylancl 587 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) = 1 )
108107oveq1d 7419 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋))
109 elelpwi 4611 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
110109ancoms 460 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
1111103adant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
11223, 2, 53, 6lmodvs1 20488 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋) = 𝑋)
1131, 111, 112syl2anc 585 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋) = 𝑋)
114104, 108, 1133eqtrd 2777 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = 𝑋)
11529, 98, 1143eqtrd 2777 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3947  ifcif 4527  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404   supp csupp 8141  m cmap 8816  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382  Mndcmnd 18621  1rcur 19996  Ringcrg 20047  LModclmod 20459   linC clinc 46987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-lmod 20461  df-linc 46989
This theorem is referenced by:  lcoss  47019
  Copyright terms: Public domain W3C validator