Theorem lcoc0 42998

Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsc0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lincvalsc0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincvalsc0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcoc0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincvalsc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2		lcoc0.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
3		lincvalsc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod0cl 19204	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑅)
5	4	ad2antrr 718	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑅)
6		lincvalsc0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
7	5, 6	fmptd 6608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶𝑅)
8	2	fvexi 6423	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
10		elmapg 8106	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
11	9, 10	sylan 576	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))
13		eqidd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 0 = 0 )
14	13	cbvmptv 4941	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
15	6, 14	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16		simpr 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
17	3	fvexi 6423	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
19	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
20	15, 16, 18, 19	mptsuppd 7553	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 })
21		neirr 2978	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 0 ≠ 0 )
23	22	ralrimivw 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
24		rabeq0 4155	. . . . . 6 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
25	23, 24	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅)
26		0fin 8428	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
28	25, 27	eqeltrd 2876	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } ∈ Fin)
29	20, 28	eqeltrd 2876	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
30	6	funmpt2 6138	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
32		funisfsupp 8520	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
33	31, 12, 18, 32	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
34	29, 33	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
35		lincvalsc0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
36		lincvalsc0.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	35, 1, 3, 36, 6	lincvalsc0 42997	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
38	12, 34, 37	3jca 1159	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969  ∀wral 3087  {crab 3091  Vcvv 3383  ∅c0 4113  𝒫 cpw 4347   class class class wbr 4841   ↦ cmpt 4920  Fun wfun 6093  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876   supp csupp 7530   ↑_𝑚 cmap 8093  Fincfn 8193   finSupp cfsupp 8515  Basecbs 16181  Scalarcsca 16267  0_gc0g 16412  LModclmod 19178   linC clinc 42980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-map 8095  df-en 8194  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-seq 13052  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-ring 18862  df-lmod 19180  df-linc 42982

This theorem is referenced by:  lcoel0  43004