Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 42998
Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0 0 = (0g𝑆)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincvalsc0.f 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑆)
41, 2, 3lmod0cl 19204 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 0𝑅)
54ad2antrr 718 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → 0𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
75, 6fmptd 6608 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉𝑅)
82fvexi 6423 . . . . 5 𝑅 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
10 elmapg 8106 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉𝑅))
119, 10sylan 576 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉𝑅))
127, 11mpbird 249 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
13 eqidd 2798 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑣0 = 0 )
1413cbvmptv 4941 . . . . . 6 (𝑥𝑉0 ) = (𝑣𝑉0 )
156, 14eqtri 2819 . . . . 5 𝐹 = (𝑣𝑉0 )
16 simpr 478 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
173fvexi 6423 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
1917a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 0 ∈ V)
2015, 16, 18, 19mptsuppd 7553 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣𝑉00 })
21 neirr 2978 . . . . . . . 8 ¬ 00
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 00 )
2322ralrimivw 3146 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣𝑉 ¬ 00 )
24 rabeq0 4155 . . . . . 6 ({𝑣𝑉00 } = ∅ ↔ ∀𝑣𝑉 ¬ 00 )
2523, 24sylibr 226 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣𝑉00 } = ∅)
26 0fin 8428 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
2825, 27eqeltrd 2876 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣𝑉00 } ∈ Fin)
2920, 28eqeltrd 2876 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
306funmpt2 6138 . . . . 5 Fun 𝐹
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
32 funisfsupp 8520 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3331, 12, 18, 32syl3anc 1491 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3429, 33mpbird 249 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
35 lincvalsc0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
36 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0g𝑀)
3735, 1, 3, 36, 6lincvalsc0 42997 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
3812, 34, 373jca 1159 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wral 3087  {crab 3091  Vcvv 3383  c0 4113  𝒫 cpw 4347   class class class wbr 4841  cmpt 4920  Fun wfun 6093  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876   supp csupp 7530  𝑚 cmap 8093  Fincfn 8193   finSupp cfsupp 8515  Basecbs 16181  Scalarcsca 16267  0gc0g 16412  LModclmod 19178   linC clinc 42980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-map 8095  df-en 8194  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-seq 13052  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-ring 18862  df-lmod 19180  df-linc 42982
This theorem is referenced by:  lcoel0  43004
  Copyright terms: Public domain W3C validator