Theorem lcoc0 42739

Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsc0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lincvalsc0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincvalsc0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcoc0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincvalsc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2		lcoc0.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
3		lincvalsc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod0cl 19099	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑅)
5	4	ad2antrr 705	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑅)
6		lincvalsc0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
7	5, 6	fmptd 6527	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶𝑅)
8		fvex 6342	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
9	2, 8	eqeltri 2846	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
11		elmapg 8022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
12	10, 11	sylan 569	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
13	7, 12	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉))
14		eqidd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 0 = 0 )
15	14	cbvmptv 4884	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16	6, 15	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
17		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
18		fvex 6342	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) ∈ V
19	3, 18	eqeltri 2846	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
21	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
22	16, 17, 20, 21	mptsuppd 7469	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 })
23		neirr 2952	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 0 ≠ 0 )
25	24	ralrimivw 3116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
26		rabeq0 4103	. . . . . 6 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
27	25, 26	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅)
28		0fin 8344	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
30	27, 29	eqeltrd 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } ∈ Fin)
31	22, 30	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
32	6	funmpt2 6070	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
34		funisfsupp 8436	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
35	33, 13, 20, 34	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
36	31, 35	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
37		lincvalsc0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
38		lincvalsc0.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
39	37, 1, 3, 38, 6	lincvalsc0 42738	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
40	13, 36, 39	3jca 1122	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  Fun wfun 6025  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   supp csupp 7446   ↑_𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  0_gc0g 16308  LModclmod 19073   linC clinc 42721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-map 8011  df-en 8110  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-seq 13009  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-linc 42723

This theorem is referenced by:  lcoel0  42745