Theorem lcoc0 48664

Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsc0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lincvalsc0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincvalsc0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcoc0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincvalsc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2		lcoc0.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
3		lincvalsc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod0cl 20839	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑅)
5	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑅)
6		lincvalsc0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
7	5, 6	fmptd 7059	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶𝑅)
8	2	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
10		elmapg 8776	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
11	9, 10	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 0 = 0 )
14	13	cbvmptv 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
15	6, 14	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
17	3	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
19	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
20	15, 16, 18, 19	mptsuppd 8129	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 })
21		neirr 2941	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 0 ≠ 0 )
23	22	ralrimivw 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
24		rabeq0 4340	. . . . . 6 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
25	23, 24	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅)
26		0fi 8979	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
28	25, 27	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } ∈ Fin)
29	20, 28	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
30	6	funmpt2 6531	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
32		funisfsupp 9270	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
33	31, 12, 18, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
34	29, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
35		lincvalsc0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
36		lincvalsc0.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	35, 1, 3, 36, 6	lincvalsc0 48663	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
38	12, 34, 37	3jca 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180  0_gc0g 17359  LModclmod 20811   linC clinc 48646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-map 8765  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-seq 13925  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-linc 48648

This theorem is referenced by:  lcoel0  48670