Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 45763
Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0 0 = (0g𝑆)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincvalsc0.f 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑆)
41, 2, 3lmod0cl 20149 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 0𝑅)
54ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → 0𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
75, 6fmptd 6988 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉𝑅)
82fvexi 6788 . . . . 5 𝑅 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
10 elmapg 8628 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉𝑅))
119, 10sylan 580 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉𝑅))
127, 11mpbird 256 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅m 𝑉))
13 eqidd 2739 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑣0 = 0 )
1413cbvmptv 5187 . . . . . 6 (𝑥𝑉0 ) = (𝑣𝑉0 )
156, 14eqtri 2766 . . . . 5 𝐹 = (𝑣𝑉0 )
16 simpr 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
173fvexi 6788 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
1917a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 0 ∈ V)
2015, 16, 18, 19mptsuppd 8003 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣𝑉00 })
21 neirr 2952 . . . . . . . 8 ¬ 00
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 00 )
2322ralrimivw 3104 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣𝑉 ¬ 00 )
24 rabeq0 4318 . . . . . 6 ({𝑣𝑉00 } = ∅ ↔ ∀𝑣𝑉 ¬ 00 )
2523, 24sylibr 233 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣𝑉00 } = ∅)
26 0fin 8954 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
2825, 27eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣𝑉00 } ∈ Fin)
2920, 28eqeltrd 2839 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
306funmpt2 6473 . . . . 5 Fun 𝐹
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
32 funisfsupp 9133 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3331, 12, 18, 32syl3anc 1370 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3429, 33mpbird 256 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
35 lincvalsc0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
36 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0g𝑀)
3735, 1, 3, 36, 6lincvalsc0 45762 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
3812, 34, 373jca 1127 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432  c0 4256  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  cmpt 5157  Fun wfun 6427  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  0gc0g 17150  LModclmod 20123   linC clinc 45745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-map 8617  df-en 8734  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-seq 13722  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-linc 45747
This theorem is referenced by:  lcoel0  45769
  Copyright terms: Public domain W3C validator