Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 47103
Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincvalsc0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincvalsc0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯, 0   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘†)
41, 2, 3lmod0cl 20498 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑅)
54ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ 𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
75, 6fmptd 7114 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…)
82fvexi 6906 . . . . 5 𝑅 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ V)
10 elmapg 8833 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
119, 10sylan 581 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
127, 11mpbird 257 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑣 β†’ 0 = 0 )
1413cbvmptv 5262 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
156, 14eqtri 2761 . . . . 5 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16 simpr 486 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡)
173fvexi 6906 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 0 ∈ V)
1917a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ V)
2015, 16, 18, 19mptsuppd 8172 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 })
21 neirr 2950 . . . . . . . 8 Β¬ 0 β‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Β¬ 0 β‰  0 )
2322ralrimivw 3151 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
24 rabeq0 4385 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
2523, 24sylibr 233 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ…)
26 0fin 9171 . . . . . 6 βˆ… ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ… ∈ Fin)
2825, 27eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } ∈ Fin)
2920, 28eqeltrd 2834 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
306funmpt2 6588 . . . . 5 Fun 𝐹
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Fun 𝐹)
32 funisfsupp 9367 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3331, 12, 18, 32syl3anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3429, 33mpbird 257 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
35 lincvalsc0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
36 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3735, 1, 3, 36, 6lincvalsc0 47102 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
3812, 34, 373jca 1129 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  LModclmod 20471   linC clinc 47085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-seq 13967  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-linc 47087
This theorem is referenced by:  lcoel0  47109
  Copyright terms: Public domain W3C validator