Theorem lcoc0 48268

Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsc0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lincvalsc0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincvalsc0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcoc0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincvalsc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2		lcoc0.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
3		lincvalsc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod0cl 20903	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑅)
5	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑅)
6		lincvalsc0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
7	5, 6	fmptd 7134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶𝑅)
8	2	fvexi 6921	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
10		elmapg 8878	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
11	9, 10	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 0 = 0 )
14	13	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
15	6, 14	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
17	3	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
19	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
20	15, 16, 18, 19	mptsuppd 8211	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 })
21		neirr 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 0 ≠ 0 )
23	22	ralrimivw 3148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
24		rabeq0 4394	. . . . . 6 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
25	23, 24	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅)
26		0fi 9081	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
28	25, 27	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } ∈ Fin)
29	20, 28	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
30	6	funmpt2 6607	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
32		funisfsupp 9405	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
33	31, 12, 18, 32	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
34	29, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
35		lincvalsc0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
36		lincvalsc0.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	35, 1, 3, 36, 6	lincvalsc0 48267	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
38	12, 34, 37	3jca 1127	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0_gc0g 17486  LModclmod 20875   linC clinc 48250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-seq 14040  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-linc 48252

This theorem is referenced by:  lcoel0  48274