Theorem lcoc0 48453

Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsc0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lincvalsc0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincvalsc0.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lcoc0	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincvalsc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2		lcoc0.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
3		lincvalsc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
4	1, 2, 3	lmod0cl 20819	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑅)
5	4	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝑅)
6		lincvalsc0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
7	5, 6	fmptd 7047	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉⟶𝑅)
8	2	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
10		elmapg 8763	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
11	9, 10	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶𝑅))
12	7, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 0 = 0 )
14	13	cbvmptv 5195	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
15	6, 14	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
17	3	fvexi 6836	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
19	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
20	15, 16, 18, 19	mptsuppd 8117	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 })
21		neirr 2937	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 0 ≠ 0 )
23	22	ralrimivw 3128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
24		rabeq0 4338	. . . . . 6 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ¬ 0 ≠ 0 )
25	23, 24	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } = ∅)
26		0fi 8964	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Fin
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
28	25, 27	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 ≠ 0 } ∈ Fin)
29	20, 28	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
30	6	funmpt2 6520	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
32		funisfsupp 9251	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
33	31, 12, 18, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
34	29, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
35		lincvalsc0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
36		lincvalsc0.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	35, 1, 3, 36, 6	lincvalsc0 48452	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
38	12, 34, 37	3jca 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  Basecbs 17117  Scalarcsca 17161  0_gc0g 17340  LModclmod 20791   linC clinc 48435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-map 8752  df-en 8870  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-seq 13906  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-ring 20151  df-lmod 20793  df-linc 48437

This theorem is referenced by:  lcoel0  48459