Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 47602
Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincvalsc0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincvalsc0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯, 0   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘†)
41, 2, 3lmod0cl 20775 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑅)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ 𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
75, 6fmptd 7121 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…)
82fvexi 6908 . . . . 5 𝑅 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ V)
10 elmapg 8856 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
119, 10sylan 578 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
127, 11mpbird 256 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13 eqidd 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑣 β†’ 0 = 0 )
1413cbvmptv 5261 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
156, 14eqtri 2753 . . . . 5 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16 simpr 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡)
173fvexi 6908 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 0 ∈ V)
1917a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ V)
2015, 16, 18, 19mptsuppd 8190 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 })
21 neirr 2939 . . . . . . . 8 Β¬ 0 β‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Β¬ 0 β‰  0 )
2322ralrimivw 3140 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
24 rabeq0 4385 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
2523, 24sylibr 233 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ…)
26 0fin 9194 . . . . . 6 βˆ… ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ… ∈ Fin)
2825, 27eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } ∈ Fin)
2920, 28eqeltrd 2825 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
306funmpt2 6591 . . . . 5 Fun 𝐹
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Fun 𝐹)
32 funisfsupp 9391 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3331, 12, 18, 32syl3anc 1368 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3429, 33mpbird 256 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
35 lincvalsc0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
36 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3735, 1, 3, 36, 6lincvalsc0 47601 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
3812, 34, 373jca 1125 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  Fun wfun 6541  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   supp csupp 8163   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  0gc0g 17420  LModclmod 20747   linC clinc 47584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-map 8845  df-en 8963  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-seq 13999  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-linc 47586
This theorem is referenced by:  lcoel0  47608
  Copyright terms: Public domain W3C validator