Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 46593
Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincvalsc0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincvalsc0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯, 0   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘†)
41, 2, 3lmod0cl 20392 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑅)
54ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ 𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
75, 6fmptd 7066 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…)
82fvexi 6860 . . . . 5 𝑅 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ V)
10 elmapg 8784 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
119, 10sylan 581 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
127, 11mpbird 257 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑣 β†’ 0 = 0 )
1413cbvmptv 5222 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
156, 14eqtri 2761 . . . . 5 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16 simpr 486 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡)
173fvexi 6860 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 0 ∈ V)
1917a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ V)
2015, 16, 18, 19mptsuppd 8122 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 })
21 neirr 2949 . . . . . . . 8 Β¬ 0 β‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Β¬ 0 β‰  0 )
2322ralrimivw 3144 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
24 rabeq0 4348 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
2523, 24sylibr 233 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ…)
26 0fin 9121 . . . . . 6 βˆ… ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ… ∈ Fin)
2825, 27eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } ∈ Fin)
2920, 28eqeltrd 2834 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
306funmpt2 6544 . . . . 5 Fun 𝐹
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Fun 𝐹)
32 funisfsupp 9317 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3331, 12, 18, 32syl3anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3429, 33mpbird 257 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
35 lincvalsc0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
36 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3735, 1, 3, 36, 6lincvalsc0 46592 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
3812, 34, 373jca 1129 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329  LModclmod 20365   linC clinc 46575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-seq 13916  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-linc 46577
This theorem is referenced by:  lcoel0  46599
  Copyright terms: Public domain W3C validator