Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 47093
Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincvalsc0.0 0 = (0gβ€˜π‘†)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincvalsc0.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑉   π‘₯, 0   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘†)
41, 2, 3lmod0cl 20497 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑅)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ 𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
75, 6fmptd 7113 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…)
82fvexi 6905 . . . . 5 𝑅 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ V)
10 elmapg 8832 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
119, 10sylan 580 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘…))
127, 11mpbird 256 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
13 eqidd 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑣 β†’ 0 = 0 )
1413cbvmptv 5261 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
156, 14eqtri 2760 . . . . 5 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
16 simpr 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡)
173fvexi 6905 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 0 ∈ V)
1917a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ V)
2015, 16, 18, 19mptsuppd 8171 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 })
21 neirr 2949 . . . . . . . 8 Β¬ 0 β‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Β¬ 0 β‰  0 )
2322ralrimivw 3150 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
24 rabeq0 4384 . . . . . 6 ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ… ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 Β¬ 0 β‰  0 )
2523, 24sylibr 233 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } = βˆ…)
26 0fin 9170 . . . . . 6 βˆ… ∈ Fin
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ… ∈ Fin)
2825, 27eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ 0 β‰  0 } ∈ Fin)
2920, 28eqeltrd 2833 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
306funmpt2 6587 . . . . 5 Fun 𝐹
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ Fun 𝐹)
32 funisfsupp 9366 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3331, 12, 18, 32syl3anc 1371 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3429, 33mpbird 256 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
35 lincvalsc0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
36 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3735, 1, 3, 36, 6lincvalsc0 47092 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍)
3812, 34, 373jca 1128 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  LModclmod 20470   linC clinc 47075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-seq 13966  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-linc 47077
This theorem is referenced by:  lcoel0  47099
  Copyright terms: Public domain W3C validator