Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmsuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmsuppss 46436
Description: The support of a mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is a subset of the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmsuppss (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmsuppss
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . 7 ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)))
2 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Ring)
3 simpll3 1214 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝐶𝑅)
4 rmsuppss.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Base‘𝑀)
5 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (.r𝑀)
6 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑀) = (0g𝑀)
74, 5, 6ringrz 20012 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
91, 8sylan9eqr 2798 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) = (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
109ex 413 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀)))
1110necon3d 2964 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
1211ss2rabdv 4033 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑤𝑉 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
13 elmapi 8787 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
1413fdmd 6679 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → dom 𝐴 = 𝑉)
1514adantl 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → dom 𝐴 = 𝑉)
16 rabeq 3421 . . . 4 (dom 𝐴 = 𝑉 → {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤𝑉 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
1715, 16syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤𝑉 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
1812, 17sseqtrrd 3985 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
19 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
2019oveq2d 7373 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
2120cbvmptv 5218 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
22 simpl2 1192 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉𝑋)
23 fvexd 6857 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
24 ovexd 7392 . . 3 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
2521, 22, 23, 24mptsuppd 8118 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
26 elmapfun 8804 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → Fun 𝐴)
2726adantl 482 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → Fun 𝐴)
28 simpr 485 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉))
29 suppval1 8098 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
3027, 28, 23, 29syl3anc 1371 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
3118, 25, 303sstr4d 3991 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  cmpt 5188  dom cdm 5633  Fun wfun 6490  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  m cmap 8765  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Ringcrg 19964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-mgp 19897  df-ring 19966
This theorem is referenced by:  rmsuppfi  46439
  Copyright terms: Public domain W3C validator