Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmsupp0 44813
 Description: The support of a mapping of a multiplication of zero with a function into a ring is empty. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmsupp0 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmsupp0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
21oveq2d 7152 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
32cbvmptv 5134 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
4 simpl2 1189 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉𝑋)
5 fvexd 6661 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
6 ovexd 7171 . . 3 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
73, 4, 5, 6mptsuppd 7839 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
8 simpll3 1211 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝐶 = (0g𝑀))
98oveq1d 7151 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = ((0g𝑀)(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
10 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Ring)
11 elmapi 8414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
12 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
13 rmsuppss.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Base‘𝑀)
1412, 13eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀))
1514ex 416 . . . . . . . . 9 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)))
1716adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)))
1817imp 410 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀))
19 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
20 eqid 2798 . . . . . . 7 (.r𝑀) = (.r𝑀)
21 eqid 2798 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2219, 20, 21ringlz 19337 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g𝑀)(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
2310, 18, 22syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((0g𝑀)(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
249, 23eqtrd 2833 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
2524neeq1d 3046 . . 3 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) ↔ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)))
2625rabbidva 3425 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤𝑉 ∣ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)})
27 neirr 2996 . . . . 5 ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)
2827a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀))
2928ralrimivw 3150 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ∀𝑤𝑉 ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀))
30 rabeq0 4292 . . 3 ({𝑤𝑉 ∣ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)} = ∅ ↔ ∀𝑤𝑉 ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀))
3129, 30sylibr 237 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)} = ∅)
327, 26, 313eqtrd 2837 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441  ∅c0 4243   ↦ cmpt 5111  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   supp csupp 7816   ↑m cmap 8392  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Ringcrg 19294 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19237  df-ring 19296 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator