MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfielex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfielex 9305
Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfielex 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex
StepHypRef Expression
1 0fi 9081 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2827 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
43con3i 154 . 2 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5 neq0 4358 . 2 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
64, 5sylib 218 1 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  c0 4339  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-om 7888  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  cusgrfi  29491  esumcst  34044  topdifinffinlem  37330
  Copyright terms: Public domain W3C validator