MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfielex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfielex 9272
Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfielex 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex
StepHypRef Expression
1 0fin 9170 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2815 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
43con3i 154 . 2 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5 neq0 4340 . 2 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
64, 5sylib 217 1 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  c0 4317  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-om 7852  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  cusgrfi  29219  esumcst  33590  topdifinffinlem  36734
  Copyright terms: Public domain W3C validator