Theorem nfielex 9307

Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nfielex	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9082	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
4	3	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5		neq0 4352	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  cusgrfi  29476  esumcst  34064  topdifinffinlem  37348