Theorem nfielex 9176

Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nfielex	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8981	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2823	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
4	3	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5		neq0 4303	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∅c0 4284  Fincfn 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2538  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-om 7809  df-en 8886  df-fin 8889

This theorem is referenced by:  cusgrfi  29513  esumcst  34199  topdifinffinlem  37521