Theorem nfielex 9234

Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nfielex	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9039	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
3	1, 2	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
4	3	con3i 155	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5		neq0 4312	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∅c0 4292  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-mo 2573  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-om 7863  df-en 8944  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  cusgrfi  29749  esumcst  34398  topdifinffinlem  37916