MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfielex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfielex 9224
Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfielex 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex
StepHypRef Expression
1 0fin 9122 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2826 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
43con3i 154 . 2 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5 neq0 4310 . 2 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
64, 5sylib 217 1 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  c0 4287  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-om 7808  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  cusgrfi  28448  esumcst  32702  topdifinffinlem  35847
  Copyright terms: Public domain W3C validator