MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfielex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfielex 9304
Description: If a class is not finite, then it contains at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfielex 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nfielex
StepHypRef Expression
1 0fin 9202 . . . 4 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2817 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 257 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
43con3i 154 . 2 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
5 neq0 4349 . 2 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
64, 5sylib 217 1 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  c0 4326  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-om 7877  df-en 8971  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  cusgrfi  29292  esumcst  33715  topdifinffinlem  36859
  Copyright terms: Public domain W3C validator