Theorem cusgrfi 29395

Description: If the size of a complete simple graph is finite, then its order is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Proof of Theorem cusgrfi

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfielex 9307	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → ∃𝑛 𝑛 ∈ 𝑉)
2		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqeq1 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (𝑒 = {𝑣, 𝑛} ↔ 𝑝 = {𝑣, 𝑛}))
4	3	anbi2d 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → ((𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
5	4	rexbidv 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
6	5	cbvrabv 3430	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})}
7		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛}) = (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛})
8	2, 6, 7	cusgrfilem3 29394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
9	8	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
10	9	biimpac 477	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
11	2, 6	cusgrfilem1 29392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺))
12		cusgrfi.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eleq1i 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Fin ↔ (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
14		ssfi 9211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Edg‘𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺)) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
15	14	expcom 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
16	13, 15	biimtrid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
17	16	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
19	18	expcom 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
20	19	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
21	20	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
22	10, 21	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
23	1, 22	exlimddv 1931	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
24	23	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
25	24	con4d 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐸 ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
26	25	imp 405	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  {crab 3419   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4607  {csn 4633  {cpr 4635   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  Fincfn 8974  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983  ComplUSGraphccusgr 29346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348  df-edg 28984  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-usgr 29087  df-nbgr 29269  df-uvtx 29322  df-cplgr 29347  df-cusgr 29348

This theorem is referenced by:  sizusglecusglem2  29399