Theorem cusgrfi 29542

Description: If the size of a complete simple graph is finite, then its order is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgrfi	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Proof of Theorem cusgrfi

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfielex 9177	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → ∃𝑛 𝑛 ∈ 𝑉)
2		cusgrfi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (𝑒 = {𝑣, 𝑛} ↔ 𝑝 = {𝑣, 𝑛}))
4	3	anbi2d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → ((𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
5	4	rexbidv 3162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑝 → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
6	5	cbvrabv 3400	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑝 = {𝑣, 𝑛})}
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛}) = (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛})
8	2, 6, 7	cusgrfilem3 29541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
9	8	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
10	9	biimpac 478	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
11	2, 6	cusgrfilem1 29539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺))
12		cusgrfi.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eleq1i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Fin ↔ (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
14		ssfi 9100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Edg‘𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺)) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
15	14	expcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
16	13, 15	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
17	16	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
19	18	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
20	19	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑣 ≠ 𝑛 ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
22	10, 21	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
23	1, 22	exlimddv 1937	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
24	23	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
25	24	con4d 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐸 ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
26	25	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  {cpr 4570   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130  ComplUSGraphccusgr 29493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29131  df-upgr 29165  df-umgr 29166  df-usgr 29234  df-nbgr 29416  df-uvtx 29469  df-cplgr 29494  df-cusgr 29495

This theorem is referenced by:  sizusglecusglem2  29546