MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfi 27813
Description: If the size of a complete simple graph is finite, then its order is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrfi ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Proof of Theorem cusgrfi
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfielex 9035 . . . . 5 𝑉 ∈ Fin → ∃𝑛 𝑛𝑉)
2 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑝 → (𝑒 = {𝑣, 𝑛} ↔ 𝑝 = {𝑣, 𝑛}))
43anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑝 → ((𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
54rexbidv 3224 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → (∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
65cbvrabv 3424 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})}
7 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛}) = (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛})
82, 6, 7cusgrfilem3 27812 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
98notbid 318 . . . . . . 7 (𝑛𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
109biimpac 479 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
112, 6cusgrfilem1 27810 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺))
12 cusgrfi.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1312eleq1i 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Fin ↔ (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
14 ssfi 8944 . . . . . . . . . . . . 13 (((Edg‘𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺)) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
1514expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
1613, 15syl5bi 241 . . . . . . . . . . 11 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
1716con3d 152 . . . . . . . . . 10 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
1918expcom 414 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2019com23 86 . . . . . . 7 (𝑛𝑉 → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
231, 22exlimddv 1938 . . . 4 𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
2423com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
2524con4d 115 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐸 ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
2625imp 407 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  {crab 3068  cdif 3884  wss 3887  𝒫 cpw 4534  {csn 4562  {cpr 4564  cmpt 5157  cfv 6427  Fincfn 8721  Vtxcvtx 27354  Edgcedg 27405  ComplUSGraphccusgr 27765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-oadd 8289  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-dju 9647  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-xnn0 12294  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-hash 14033  df-edg 27406  df-upgr 27440  df-umgr 27441  df-usgr 27509  df-nbgr 27688  df-uvtx 27741  df-cplgr 27766  df-cusgr 27767
This theorem is referenced by:  sizusglecusglem2  27817
  Copyright terms: Public domain W3C validator