Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfi 27257
 Description: If the size of a complete simple graph is finite, then its order is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrfi ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)

Proof of Theorem cusgrfi
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfielex 8746 . . . . 5 𝑉 ∈ Fin → ∃𝑛 𝑛𝑉)
2 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑝 → (𝑒 = {𝑣, 𝑛} ↔ 𝑝 = {𝑣, 𝑛}))
43anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑝 → ((𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
54rexbidv 3289 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑝 → (∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛}) ↔ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})))
65cbvrabv 3477 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑝 = {𝑣, 𝑛})}
7 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛}) = (𝑝 ∈ (𝑉 ∖ {𝑛}) ↦ {𝑝, 𝑛})
82, 6, 7cusgrfilem3 27256 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
98notbid 321 . . . . . . 7 (𝑛𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
109biimpac 482 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → ¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
112, 6cusgrfilem1 27254 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺))
12 cusgrfi.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1312eleq1i 2906 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Fin ↔ (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
14 ssfi 8737 . . . . . . . . . . . . 13 (((Edg‘𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺)) → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin)
1514expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
1613, 15syl5bi 245 . . . . . . . . . . 11 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin))
1716con3d 155 . . . . . . . . . 10 ({𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ⊆ (Edg‘𝐺) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑛𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
1918expcom 417 . . . . . . . 8 (𝑛𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2019com23 86 . . . . . . 7 (𝑛𝑉 → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2120adantl 485 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → (¬ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑣𝑉 (𝑣𝑛𝑒 = {𝑣, 𝑛})} ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin)))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑛𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
231, 22exlimddv 1937 . . . 4 𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
2423com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝐸 ∈ Fin))
2524con4d 115 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐸 ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
2625imp 410 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐸 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  {crab 3137   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  {cpr 4552   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6345  Fincfn 8507  Vtxcvtx 26798  Edgcedg 26849  ComplUSGraphccusgr 27209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-hash 13698  df-edg 26850  df-upgr 26884  df-umgr 26885  df-usgr 26953  df-nbgr 27132  df-uvtx 27185  df-cplgr 27210  df-cusgr 27211 This theorem is referenced by:  sizusglecusglem2  27261
 Copyright terms: Public domain W3C validator