Theorem binomcxplemdvbinom 44456

Description: Lemma for binomcxp 44460. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑_𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 44458 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) (with a nonnegated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvbinom	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
3		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏0
4		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
5		binomcxplem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 +
7		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
8		nfmpt1 5188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9	7, 8	nfcxfr 2892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
10		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
11	9, 10	nffv 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
12	3, 6, 11	nfseq 13918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
13	12	nfel1 2911	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
14		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
15	13, 14	nfrabw 3432	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
17		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 <
18	15, 16, 17	nfsup 9335	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
19	5, 18	nfcxfr 2892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
20	3, 4, 19	nfov 7376	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
21	2, 20	nfima 6016	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
22	1, 21	nfcxfr 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
23		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
24		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
27	26	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
28	22, 23, 24, 25, 27	cbvmptf 5189	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
29	28	oveq2i 7357	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30		cnelprrecn 11099	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32		1cnd 11107	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33		cnvimass 6030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
34	1, 33	eqsstri 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
35		absf 15245	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36	35	fdmi 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ dom abs = ℂ
37	34, 36	sseqtri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3929	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	32, 39	addcld 11131	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42		1cnd 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
43	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45		1red 11113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
46	41, 45	resubcld 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
47	44, 46	eqeltrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1pneg1e0 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
49		1red 11113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		ffn 6651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53		elpreima 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
54	35, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
55	54	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
56	55, 1	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57		0re 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59		ressxr 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61		supxrcl 13214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
63	5, 62	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
64		elico2 13310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
65	57, 63, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
66	56, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
67	66	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69		binomcxp.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
70		binomcxp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
71		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72		binomcxp.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
73		binomcxplem.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
74	69, 70, 71, 72, 73, 7, 5	binomcxplemradcnv 44455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
76	68, 75	breqtrd 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
78	51, 49	absltd 15339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1)))
79	77, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
80	79	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
81	50, 51, 49, 80	ltadd2dd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
82	48, 81	eqbrtrrid 5125	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
83	47, 82	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
84	41, 83	elrpd 12931	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
85	84	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
87	86	ellogdm 26575	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
88	40, 85, 87	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
91	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	91	negcld 11459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
94	90, 93	cxpcld 26644	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96		1cnd 11107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 11131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99		c0ex 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101		1cnd 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
102	31, 101	dvmptc 25889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
103	31	dvmptid 25888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
104	31, 96, 100, 102, 97, 96, 103	dvmptadd 25891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105		0p1e1 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
106	105	mpteq2i 5185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107	104, 106	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108		fvex 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109		cnfldtps 24692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
110		cnfldbas 21295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
111		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112	110, 111	tpsuni 22851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
113	109, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
114	113	restid 17337	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115	108, 114	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116	115	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117	111	cnfldtop 24698	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119	118	cnbl0 24688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
120	63, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
121	1, 120	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122		cnxmet 24687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123		0cn 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
124	111	cnfldtopn 24696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125	124	blopn 24415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126	122, 123, 63, 125	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127	121, 126	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128		isopn3i 22997	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129	117, 127, 128	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130	129	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
131	31, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130	dvmptres2 25893	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1))
132		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133	132	cbvmptv 5193	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134	133	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136	135	cbvmptv 5193	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1)
137	131, 134, 136	3eqtr3g 2789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1))
138	86	dvcncxp1 26679	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
139	92, 138	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
140		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142	141	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
143	31, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142	dvmptco 25903	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
144	91	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145	144	negcld 11459	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146	145, 32	subcld 11472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
147	40, 146	cxpcld 26644	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148	145, 147	mulcld 11132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149	148	mulridd 11129	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150	149	mpteq2dva 5182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154	153	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155	154	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
156	23, 22, 151, 152, 155	cbvmptf 5189	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157	156	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158	143, 150, 157	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
159	29, 158	eqtrid 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {cpr 4575  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℝ⁺crp 12890  (,]cioc 13246  [,)cico 13247  seqcseq 13908  ↑cexp 13968  abscabs 15141   ⇝ cli 15391   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ∞Metcxmet 21276  ballcbl 21278  ℂ_fldccnfld 21291  Topctop 22808  TopSpctps 22847  intcnt 22932   D cdv 25791  ↑_𝑐ccxp 26491  C_𝑐cbcc 44439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-fallfac 15914  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-cxp 26493  df-bcc 44440

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44459