Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvbinom 42623
Description: Lemma for binomcxp 42627. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 42625 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) (with a nonnegated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvbinom ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.d . . . . 5 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑏abs
3 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑏0
4 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑏[,)
5 binomcxplem.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 +
7 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
8 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
97, 8nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏𝑆
10 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏𝑟
119, 10nffv 6852 . . . . . . . . . . . 12 𝑏(𝑆𝑟)
123, 6, 11nfseq 13916 . . . . . . . . . . 11 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1312nfel1 2923 . . . . . . . . . 10 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
14 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑏
1513, 14nfrabw 3440 . . . . . . . . 9 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑏*
17 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑏 <
1815, 16, 17nfsup 9387 . . . . . . . 8 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
195, 18nfcxfr 2905 . . . . . . 7 𝑏𝑅
203, 4, 19nfov 7387 . . . . . 6 𝑏(0[,)𝑅)
212, 20nfima 6021 . . . . 5 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
221, 21nfcxfr 2905 . . . 4 𝑏𝐷
23 nfcv 2907 . . . 4 𝑦𝐷
24 nfcv 2907 . . . 4 𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25 nfcv 2907 . . . 4 𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
2726oveq1d 7372 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
2822, 23, 24, 25, 27cbvmptf 5214 . . 3 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
2928oveq2i 7368 . 2 (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30 cnelprrecn 11144 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3130a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32 1cnd 11150 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33 cnvimass 6033 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
341, 33eqsstri 3978 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ dom abs
35 absf 15222 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
3635fdmi 6680 . . . . . . . . 9 dom abs = ℂ
3734, 36sseqtri 3980 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ℂ
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
3938sselda 3944 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
4032, 39addcld 11174 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4339adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43pncan2d 11514 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45 1red 11156 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4641, 45resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
4744, 46eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48 1pneg1e0 12272 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
49 1red 11156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5049renegcld 11582 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
5435, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
5554simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
5655, 1eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
58 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ ⊆ ℝ*
6058, 59sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61 supxrcl 13234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
635, 62eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 ∈ ℝ*
64 elico2 13328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
6557, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
6656, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
6766simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69 binomcxp.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
70 binomcxp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
71 binomcxp.lt . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72 binomcxp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73 binomcxplem.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7469, 70, 71, 72, 73, 7, 5binomcxplemradcnv 42622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑅 = 1)
7668, 75breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
7851, 49absltd 15314 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦𝑦 < 1)))
7977, 78mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦𝑦 < 1))
8079simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
8150, 51, 49, 80ltadd2dd 11314 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
8248, 81eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
8347, 82syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
8441, 83elrpd 12954 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
8584ex 413 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86 eqid 2736 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8786ellogdm 25994 . . . . 5 ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
8840, 85, 87sylanbrc 583 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89 eldifi 4086 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9089adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
9172adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
9291negcld 11499 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
9392adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
9490, 93cxpcld 26063 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95 ovexd 7392 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96 1cnd 11150 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9896, 97addcld 11174 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99 c0ex 11149 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
10231, 101dvmptc 25322 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
10331dvmptid 25321 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
10431, 96, 100, 102, 97, 96, 103dvmptadd 25324 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105 0p1e1 12275 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
106105mpteq2i 5210 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107104, 106eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108 fvex 6855 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109 cnfldtps 24141 . . . . . . . . . 10 fld ∈ TopSp
110 cnfldbas 20800 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
111 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112110, 111tpsuni 22285 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = (TopOpen‘ℂfld))
113109, 112ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
114113restid 17315 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115108, 114ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116115eqcomi 2745 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117111cnfldtop 24147 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119118cnbl0 24137 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
12063, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
1211, 120eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122 cnxmet 24136 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123 0cn 11147 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
124111cnfldtopn 24145 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125124blopn 23856 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126122, 123, 63, 125mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127121, 126eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128 isopn3i 22433 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129117, 127, 128mp2an 690 . . . . . . 7 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130129a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
13131, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130dvmptres2 25326 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ 1))
132 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133132cbvmptv 5218 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134133oveq2i 7368 . . . . 5 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136135cbvmptv 5218 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ 1) = (𝑦𝐷 ↦ 1)
137131, 134, 1363eqtr3g 2799 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ 1))
13886dvcncxp1 26096 . . . . 5 (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)))))
13992, 138syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)))))
140 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142141oveq2d 7373 . . . 4 (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
14331, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142dvmptco 25336 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
14491adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145144negcld 11499 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146145, 32subcld 11512 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
14740, 146cxpcld 26063 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148145, 147mulcld 11175 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149148mulid1d 11172 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150149mpteq2dva 5205 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151 nfcv 2907 . . . . 5 𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152 nfcv 2907 . . . . 5 𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154153oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155154oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
15623, 22, 151, 152, 155cbvmptf 5214 . . . 4 (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157156a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158143, 150, 1573eqtrd 2780 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
15929, 158eqtrid 2788 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {cpr 4588   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  0cn0 12413  +crp 12915  (,]cioc 13265  [,)cico 13266  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopSpctps 22281  intcnt 22368   D cdv 25227  𝑐ccxp 25911  C𝑐cbcc 42606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-fallfac 15890  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-bcc 42607
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  42626
  Copyright terms: Public domain W3C validator