Theorem binomcxplemdvbinom 45123

Description: Lemma for binomcxp 45127. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑_𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 45125 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) (with a nonnegated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvbinom	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟, 𝑏)   𝐴(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐵(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑅(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑆(𝑗, 𝑘, 𝑏)   𝐸(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐹(𝑗, 𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
3		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏0
4		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
5		binomcxplem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 +
7		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
8		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9	7, 8	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
10		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
11	9, 10	nffv 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
12	3, 6, 11	nfseq 14067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
13	12	nfel1 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
14		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
15	13, 14	nfrabw 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
17		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 <
18	15, 16, 17	nfsup 9418	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
19	5, 18	nfcxfr 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
20	3, 4, 19	nfov 7449	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
21	2, 20	nfima 6072	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
22	1, 21	nfcxfr 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
23		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
24		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
27	26	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
28	22, 23, 24, 25, 27	cbvmptf 5213	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
29	28	oveq2i 7430	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30		cnelprrecn 11210	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32		1cnd 11219	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33		cnvimass 6086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
34	1, 33	eqsstri 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
35		absf 15415	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36	35	fdmi 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ dom abs = ℂ
37	34, 36	sseqtri 3986	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3938	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	32, 39	addcld 11245	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42		1cnd 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
43	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45		1red 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
46	41, 45	resubcld 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
47	44, 46	eqeltrrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1pneg1e0 12375	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
49		1red 11226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
54	35, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
55	54	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
56	55, 1	eleq2s 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57		0re 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ssrab2 4035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59		ressxr 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61		supxrcl 13359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
63	5, 62	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
64		elico2 13455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
65	57, 63, 64	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
66	56, 65	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
67	66	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69		binomcxp.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
70		binomcxp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
71		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72		binomcxp.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
73		binomcxplem.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
74	69, 70, 71, 72, 73, 7, 5	binomcxplemradcnv 45122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
76	68, 75	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
78	51, 49	absltd 15509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1)))
79	77, 78	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
80	79	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
81	50, 51, 49, 80	ltadd2dd 11386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
82	48, 81	eqbrtrrid 5149	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
83	47, 82	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
84	41, 83	elrpd 13075	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
85	84	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
87	86	ellogdm 26857	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
88	40, 85, 87	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
90	89	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
91	72	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	91	negcld 11573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
94	90, 93	cxpcld 26926	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95		ovexd 7454	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96		1cnd 11219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 11245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99		c0ex 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101		1cnd 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
102	31, 101	dvmptc 26170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
103	31	dvmptid 26169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
104	31, 96, 100, 102, 97, 96, 103	dvmptadd 26172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105		0p1e1 12378	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
106	105	mpteq2i 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107	104, 106	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109		cnfldtps 24987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
110		cnfldbas 21578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
111		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112	110, 111	tpsuni 23145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
113	109, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
114	113	restid 17510	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115	108, 114	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116	115	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117	111	cnfldtop 24993	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119	118	cnbl0 24983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
120	63, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
121	1, 120	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122		cnxmet 24982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123		0cn 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
124	111	cnfldtopn 24991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125	124	blopn 24710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126	122, 123, 63, 125	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127	121, 126	eqeltri 2861	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128		isopn3i 23291	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129	117, 127, 128	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130	129	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
131	31, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130	dvmptres2 26174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1))
132		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133	132	cbvmptv 5217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134	133	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136	135	cbvmptv 5217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1)
137	131, 134, 136	3eqtr3g 2823	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1))
138	86	dvcncxp1 26961	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
139	92, 138	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
140		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142	141	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
143	31, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142	dvmptco 26184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
144	91	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145	144	negcld 11573	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146	145, 32	subcld 11586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
147	40, 146	cxpcld 26926	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148	145, 147	mulcld 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149	148	mulridd 11243	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150	149	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154	153	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155	154	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
156	23, 22, 151, 152, 155	cbvmptf 5213	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157	156	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158	143, 150, 157	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
159	29, 158	eqtrid 2812	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {cpr 4593  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  supcsup 9407  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122  -∞cmnf 11258  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  -cneg 11459  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℝ⁺crp 13034  (,]cioc 13391  [,)cico 13392  seqcseq 14057  ↑cexp 14117  abscabs 15311   ⇝ cli 15561   ↾_t crest 17497  TopOpenctopn 17498  ∞Metcxmet 21559  ballcbl 21561  ℂ_fldccnfld 21574  Topctop 23102  TopSpctps 23141  intcnt 23226   D cdv 26075  ↑_𝑐ccxp 26773  C_𝑐cbcc 45106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15983  df-fallfac 16086  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-limc 26078  df-dv 26079  df-log 26774  df-cxp 26775  df-bcc 45107

This theorem is used by:  binomcxplemnotnn0  45126