Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvbinom 43112
Description: Lemma for binomcxp 43116. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 43114 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢) (with a nonnegated 𝐢) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvbinom ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,πœ‘   π‘˜,𝑏,𝐢   𝐢,𝑗   𝐹,𝑏,π‘˜   𝑆,π‘Ÿ   π‘Ÿ,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ,𝑏)   𝐴(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐢(π‘Ÿ)   𝐷(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,π‘˜,𝑏)   𝐸(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ÿ)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.d . . . . 5 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
2 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑏◑abs
3 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏0
4 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏[,)
5 binomcxplem.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏 +
7 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
8 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
97, 8nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏𝑆
10 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘π‘Ÿ
119, 10nffv 6902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘Ÿ)
123, 6, 11nfseq 13976 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ))
1312nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
14 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏ℝ
1513, 14nfrabw 3469 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }
16 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏ℝ*
17 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏 <
1815, 16, 17nfsup 9446 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
195, 18nfcxfr 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏𝑅
203, 4, 19nfov 7439 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
212, 20nfima 6068 . . . . 5 Ⅎ𝑏(β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
221, 21nfcxfr 2902 . . . 4 Ⅎ𝑏𝐷
23 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦𝐷
24 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)
25 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢)
26 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
2726oveq1d 7424 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))
2822, 23, 24, 25, 27cbvmptf 5258 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))
2928oveq2i 7420 . 2 (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢)))
30 cnelprrecn 11203 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
3130a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
32 1cnd 11209 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„‚)
33 cnvimass 6081 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
341, 33eqsstri 4017 . . . . . . . . 9 𝐷 βŠ† dom abs
35 absf 15284 . . . . . . . . . 10 abs:β„‚βŸΆβ„
3635fdmi 6730 . . . . . . . . 9 dom abs = β„‚
3734, 36sseqtri 4019 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† β„‚
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
3938sselda 3983 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4032, 39addcld 11233 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑦) ∈ β„‚)
41 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
4339adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4442, 43pncan2d 11573 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((1 + 𝑦) βˆ’ 1) = 𝑦)
45 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
4641, 45resubcld 11642 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((1 + 𝑦) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4744, 46eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
48 1pneg1e0 12331 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
49 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
5049renegcld 11641 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -1 ∈ ℝ)
51 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
52 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
53 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅))))
5435, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅)))
5554simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅))
5655, 1eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅))
57 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
58 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
59 ressxr 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ βŠ† ℝ*
6058, 59sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
61 supxrcl 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
635, 62eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 ∈ ℝ*
64 elico2 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)))
6557, 63, 64mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅))
6656, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅))
6766simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)
69 binomcxp.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
70 binomcxp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
71 binomcxp.lt . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
72 binomcxp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
73 binomcxplem.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
7469, 70, 71, 72, 73, 7, 5binomcxplemradcnv 43111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = 1)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = 1)
7668, 75breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 1)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 1)
7851, 49absltd 15376 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘¦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1)))
7977, 78mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
8079simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -1 < 𝑦)
8150, 51, 49, 80ltadd2dd 11373 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 + -1) < (1 + 𝑦))
8248, 81eqbrtrrid 5185 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 < (1 + 𝑦))
8347, 82syldan 592 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 0 < (1 + 𝑦))
8441, 83elrpd 13013 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
8584ex 414 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86 eqid 2733 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8786ellogdm 26147 . . . . 5 ((1 + 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ β„‚ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
8840, 85, 87sylanbrc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
89 eldifi 4127 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9089adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9172adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9291negcld 11558 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
9392adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
9490, 93cxpcld 26216 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ (π‘₯↑𝑐-𝐢) ∈ β„‚)
95 ovexd 7444 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ V)
96 1cnd 11209 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
97 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9896, 97addcld 11233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 + π‘₯) ∈ β„‚)
99 c0ex 11208 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ V)
101 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
10231, 101dvmptc 25475 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
10331dvmptid 25474 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
10431, 96, 100, 102, 97, 96, 103dvmptadd 25477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 + 1)))
105 0p1e1 12334 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
106105mpteq2i 5254 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 + 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)
107104, 106eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
108 fvex 6905 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ V
109 cnfldtps 24294 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ TopSp
110 cnfldbas 20948 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
111 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
112110, 111tpsuni 22438 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld ∈ TopSp β†’ β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
113109, 112ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
114113restid 17379 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ V β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
115108, 114ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
116115eqcomi 2742 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
117111cnfldtop 24300 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
118 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
119118cnbl0 24290 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
12063, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
1211, 120eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐷 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
122 cnxmet 24289 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
123 0cn 11206 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
124111cnfldtopn 24298 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
125124blopn 24009 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
126122, 123, 63, 125mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
127121, 126eqeltri 2830 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
128 isopn3i 22586 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷)
129117, 127, 128mp2an 691 . . . . . . 7 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷
130129a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷)
13131, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130dvmptres2 25479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1))
132 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (1 + π‘₯) = (1 + 𝑦))
133132cbvmptv 5262 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 + π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134133oveq2i 7420 . . . . 5 (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 + π‘₯))) = (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135 eqidd 2734 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 1 = 1)
136135cbvmptv 5262 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1)
137131, 134, 1363eqtr3g 2796 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1))
13886dvcncxp1 26251 . . . . 5 (-𝐢 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (π‘₯↑𝑐-𝐢))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
13992, 138syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (π‘₯↑𝑐-𝐢))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
140 oveq1 7416 . . . 4 (π‘₯ = (1 + 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐-𝐢) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))
141 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = (1 + 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
142141oveq2d 7425 . . . 4 (π‘₯ = (1 + 𝑦) β†’ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) = (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
14331, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142dvmptco 25489 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· 1)))
14491adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
145144negcld 11558 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
146145, 32subcld 11571 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
14740, 146cxpcld 26216 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
148145, 147mulcld 11234 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
149148mulridd 11231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· 1) = (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
150149mpteq2dva 5249 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· 1)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
151 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑏(-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
152 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑦(-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
153 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 β†’ (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154153oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
155154oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) = (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
15623, 22, 151, 152, 155cbvmptf 5258 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
157156a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
158143, 150, 1573eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
15929, 158eqtrid 2785 1 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  (,]cioc 13325  [,)cico 13326  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopSpctps 22434  intcnt 22521   D cdv 25380  β†‘𝑐ccxp 26064  C𝑐cbcc 43095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-fallfac 15951  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-bcc 43096
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43115
  Copyright terms: Public domain W3C validator