Theorem binomcxplemdvbinom 44709

Description: Lemma for binomcxp 44713. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑_𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 44711 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) (with a nonnegated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvbinom	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
3		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏0
4		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
5		binomcxplem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 +
7		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
8		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9	7, 8	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
10		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
11	9, 10	nffv 6852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
12	3, 6, 11	nfseq 13946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
13	12	nfel1 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
14		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
15	13, 14	nfrabw 3438	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
17		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 <
18	15, 16, 17	nfsup 9366	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
19	5, 18	nfcxfr 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
20	3, 4, 19	nfov 7398	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
21	2, 20	nfima 6035	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
22	1, 21	nfcxfr 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
23		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
24		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
27	26	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
28	22, 23, 24, 25, 27	cbvmptf 5200	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
29	28	oveq2i 7379	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30		cnelprrecn 11131	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33		cnvimass 6049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
34	1, 33	eqsstri 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
35		absf 15273	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36	35	fdmi 6681	. . . . . . . . 9 ⊢ dom abs = ℂ
37	34, 36	sseqtri 3984	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	32, 39	addcld 11163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42		1cnd 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
43	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
46	41, 45	resubcld 11577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
47	44, 46	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1pneg1e0 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
49		1red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		ffn 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53		elpreima 7012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
54	35, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
55	54	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
56	55, 1	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59		ressxr 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61		supxrcl 13242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
63	5, 62	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
64		elico2 13338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
65	57, 63, 64	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
66	56, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
67	66	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69		binomcxp.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
70		binomcxp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
71		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72		binomcxp.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
73		binomcxplem.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
74	69, 70, 71, 72, 73, 7, 5	binomcxplemradcnv 44708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
76	68, 75	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
78	51, 49	absltd 15367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1)))
79	77, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
80	79	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
81	50, 51, 49, 80	ltadd2dd 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
82	48, 81	eqbrtrrid 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
83	47, 82	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
84	41, 83	elrpd 12958	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
85	84	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
87	86	ellogdm 26616	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
88	40, 85, 87	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
91	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	91	negcld 11491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
94	90, 93	cxpcld 26685	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95		ovexd 7403	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99		c0ex 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
102	31, 101	dvmptc 25930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
103	31	dvmptid 25929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
104	31, 96, 100, 102, 97, 96, 103	dvmptadd 25932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105		0p1e1 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
106	105	mpteq2i 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107	104, 106	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109		cnfldtps 24733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
110		cnfldbas 21325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
111		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112	110, 111	tpsuni 22892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
113	109, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
114	113	restid 17365	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115	108, 114	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116	115	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117	111	cnfldtop 24739	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119	118	cnbl0 24729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
120	63, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
121	1, 120	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122		cnxmet 24728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123		0cn 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
124	111	cnfldtopn 24737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125	124	blopn 24456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126	122, 123, 63, 125	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127	121, 126	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128		isopn3i 23038	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129	117, 127, 128	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130	129	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
131	31, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130	dvmptres2 25934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1))
132		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133	132	cbvmptv 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134	133	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136	135	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1)
137	131, 134, 136	3eqtr3g 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1))
138	86	dvcncxp1 26720	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
139	92, 138	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
140		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142	141	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
143	31, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142	dvmptco 25944	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
144	91	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145	144	negcld 11491	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146	145, 32	subcld 11504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
147	40, 146	cxpcld 26685	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148	145, 147	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149	148	mulridd 11161	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150	149	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154	153	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155	154	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
156	23, 22, 151, 152, 155	cbvmptf 5200	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157	156	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158	143, 150, 157	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
159	29, 158	eqtrid 2784	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {cpr 4584  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632   “ cima 5635   ∘ ccom 5636   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  supcsup 9355  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℝ⁺crp 12917  (,]cioc 13274  [,)cico 13275  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  abscabs 15169   ⇝ cli 15419   ↾_t crest 17352  TopOpenctopn 17353  ∞Metcxmet 21306  ballcbl 21308  ℂ_fldccnfld 21321  Topctop 22849  TopSpctps 22888  intcnt 22973   D cdv 25832  ↑_𝑐ccxp 26532  C_𝑐cbcc 44692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-prod 15839  df-fallfac 15942  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-tan 16006  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-cxp 26534  df-bcc 44693

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44712