Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvbinom 42721
Description: Lemma for binomcxp 42725. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 42723 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢) (with a nonnegated 𝐢) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvbinom ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,πœ‘   π‘˜,𝑏,𝐢   𝐢,𝑗   𝐹,𝑏,π‘˜   𝑆,π‘Ÿ   π‘Ÿ,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ,𝑏)   𝐴(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐢(π‘Ÿ)   𝐷(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,π‘˜,𝑏)   𝐸(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ÿ)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.d . . . . 5 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
2 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑏◑abs
3 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏0
4 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏[,)
5 binomcxplem.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏 +
7 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
8 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
97, 8nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏𝑆
10 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘π‘Ÿ
119, 10nffv 6853 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘Ÿ)
123, 6, 11nfseq 13922 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ))
1312nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
14 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏ℝ
1513, 14nfrabw 3439 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }
16 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏ℝ*
17 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏 <
1815, 16, 17nfsup 9392 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
195, 18nfcxfr 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏𝑅
203, 4, 19nfov 7388 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
212, 20nfima 6022 . . . . 5 Ⅎ𝑏(β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
221, 21nfcxfr 2902 . . . 4 Ⅎ𝑏𝐷
23 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦𝐷
24 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)
25 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢)
26 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
2726oveq1d 7373 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))
2822, 23, 24, 25, 27cbvmptf 5215 . . 3 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))
2928oveq2i 7369 . 2 (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢)))
30 cnelprrecn 11149 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
3130a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
32 1cnd 11155 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„‚)
33 cnvimass 6034 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
341, 33eqsstri 3979 . . . . . . . . 9 𝐷 βŠ† dom abs
35 absf 15228 . . . . . . . . . 10 abs:β„‚βŸΆβ„
3635fdmi 6681 . . . . . . . . 9 dom abs = β„‚
3734, 36sseqtri 3981 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† β„‚
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
3938sselda 3945 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4032, 39addcld 11179 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑦) ∈ β„‚)
41 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42 1cnd 11155 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
4339adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
4442, 43pncan2d 11519 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((1 + 𝑦) βˆ’ 1) = 𝑦)
45 1red 11161 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
4641, 45resubcld 11588 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ ((1 + 𝑦) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4744, 46eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
48 1pneg1e0 12277 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
49 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
5049renegcld 11587 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -1 ∈ ℝ)
51 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
52 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
53 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs Fn β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅))))
5435, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅)))
5554simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅))
5655, 1eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅))
57 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
58 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
59 ressxr 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ βŠ† ℝ*
6058, 59sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
61 supxrcl 13240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
635, 62eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 ∈ ℝ*
64 elico2 13334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)))
6557, 63, 64mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absβ€˜π‘¦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅))
6656, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘¦) ∧ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅))
6766simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 𝑅)
69 binomcxp.a . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
70 binomcxp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
71 binomcxp.lt . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
72 binomcxp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
73 binomcxplem.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
7469, 70, 71, 72, 73, 7, 5binomcxplemradcnv 42720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = 1)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = 1)
7668, 75breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 1)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘¦) < 1)
7851, 49absltd 15320 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘¦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1)))
7977, 78mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
8079simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -1 < 𝑦)
8150, 51, 49, 80ltadd2dd 11319 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (1 + -1) < (1 + 𝑦))
8248, 81eqbrtrrid 5142 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 < (1 + 𝑦))
8347, 82syldan 592 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ 0 < (1 + 𝑦))
8441, 83elrpd 12959 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
8584ex 414 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86 eqid 2733 . . . . . 6 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
8786ellogdm 26010 . . . . 5 ((1 + 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ β„‚ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ β†’ (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
8840, 85, 87sylanbrc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑦) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
89 eldifi 4087 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9089adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9172adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
9291negcld 11504 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
9392adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
9490, 93cxpcld 26079 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ (π‘₯↑𝑐-𝐢) ∈ β„‚)
95 ovexd 7393 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ V)
96 1cnd 11155 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
97 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9896, 97addcld 11179 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 + π‘₯) ∈ β„‚)
99 c0ex 11154 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ V)
101 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
10231, 101dvmptc 25338 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
10331dvmptid 25337 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
10431, 96, 100, 102, 97, 96, 103dvmptadd 25340 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 + 1)))
105 0p1e1 12280 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
106105mpteq2i 5211 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 + 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)
107104, 106eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
108 fvex 6856 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ V
109 cnfldtps 24157 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ TopSp
110 cnfldbas 20816 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
111 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
112110, 111tpsuni 22301 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld ∈ TopSp β†’ β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
113109, 112ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
114113restid 17320 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ V β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
115108, 114ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
116115eqcomi 2742 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
117111cnfldtop 24163 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
118 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
119118cnbl0 24153 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
12063, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
1211, 120eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐷 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
122 cnxmet 24152 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
123 0cn 11152 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
124111cnfldtopn 24161 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
125124blopn 23872 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
126122, 123, 63, 125mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
127121, 126eqeltri 2830 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
128 isopn3i 22449 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷)
129117, 127, 128mp2an 691 . . . . . . 7 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷
130129a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷)
13131, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130dvmptres2 25342 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1))
132 oveq2 7366 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (1 + π‘₯) = (1 + 𝑦))
133132cbvmptv 5219 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 + π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134133oveq2i 7369 . . . . 5 (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 + π‘₯))) = (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135 eqidd 2734 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 1 = 1)
136135cbvmptv 5219 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1)
137131, 134, 1363eqtr3g 2796 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1))
13886dvcncxp1 26112 . . . . 5 (-𝐢 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (π‘₯↑𝑐-𝐢))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
13992, 138syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (π‘₯↑𝑐-𝐢))) = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ↦ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
140 oveq1 7365 . . . 4 (π‘₯ = (1 + 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐-𝐢) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))
141 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘₯ = (1 + 𝑦) β†’ (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
142141oveq2d 7374 . . . 4 (π‘₯ = (1 + 𝑦) β†’ (-𝐢 Β· (π‘₯↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) = (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
14331, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142dvmptco 25352 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· 1)))
14491adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
145144negcld 11504 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
146145, 32subcld 11517 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
14740, 146cxpcld 26079 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
148145, 147mulcld 11180 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
149148mulid1d 11177 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· 1) = (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
150149mpteq2dva 5206 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· 1)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
151 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑏(-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
152 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑦(-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
153 oveq2 7366 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑏 β†’ (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154153oveq1d 7373 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
155154oveq2d 7374 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) = (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
15623, 22, 151, 152, 155cbvmptf 5215 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
157156a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
158143, 150, 1573eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
15929, 158eqtrid 2785 1 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {cpr 4589  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„+crp 12920  (,]cioc 13271  [,)cico 13272  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973  abscabs 15125   ⇝ cli 15372   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  β„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258  TopSpctps 22297  intcnt 22384   D cdv 25243  β†‘𝑐ccxp 25927  C𝑐cbcc 42704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-fallfac 15895  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-bcc 42705
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  42724
  Copyright terms: Public domain W3C validator