Theorem binomcxplemdvbinom 44342

Description: Lemma for binomcxp 44346. By the power and chain rules, calculate the derivative of ((1 + 𝑏)↑_𝑐-𝐶), with respect to 𝑏 in the disk of convergence 𝐷. We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 44344 by this derivative to show that ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) (with a nonnegated 𝐶) and the later sum, since both at 𝑏 = 0 equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvbinom	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑘,𝑏,𝐶   𝐶,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑆,𝑟   𝑟,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
3		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏0
4		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
5		binomcxplem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
6		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏 +
7		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
8		nfmpt1 5206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9	7, 8	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
10		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
11	9, 10	nffv 6868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
12	3, 6, 11	nfseq 13976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
13	12	nfel1 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
14		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
15	13, 14	nfrabw 3443	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
16		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
17		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 <
18	15, 16, 17	nfsup 9402	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
19	5, 18	nfcxfr 2889	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
20	3, 4, 19	nfov 7417	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
21	2, 20	nfima 6039	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
22	1, 21	nfcxfr 2889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
23		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
24		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
25		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)
26		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑦))
27	26	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
28	22, 23, 24, 25, 27	cbvmptf 5207	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
29	28	oveq2i 7398	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶)))
30		cnelprrecn 11161	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
32		1cnd 11169	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
33		cnvimass 6053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
34	1, 33	eqsstri 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
35		absf 15304	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36	35	fdmi 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ dom abs = ℂ
37	34, 36	sseqtri 3995	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	38	sselda 3946	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
40	32, 39	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ)
42		1cnd 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
43	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) = 𝑦)
45		1red 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
46	41, 45	resubcld 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((1 + 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
47	44, 46	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1pneg1e0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
49		1red 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
50	49	renegcld 11605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
51		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
52		ffn 6688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
53		elpreima 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))))
54	35, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅)))
55	54	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
56	55, 1	eleq2s 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅))
57		0re 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ssrab2 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
59		ressxr 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
61		supxrcl 13275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
63	5, 62	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
64		elico2 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅)))
65	57, 63, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((abs‘𝑦) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
66	56, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) < 𝑅))
67	66	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑦) < 𝑅)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
69		binomcxp.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
70		binomcxp.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
71		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
72		binomcxp.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
73		binomcxplem.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
74	69, 70, 71, 72, 73, 7, 5	binomcxplemradcnv 44341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
76	68, 75	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑦) < 1)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝑦) < 1)
78	51, 49	absltd 15398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) < 1 ↔ (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1)))
79	77, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 1))
80	79	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -1 < 𝑦)
81	50, 51, 49, 80	ltadd2dd 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 + -1) < (1 + 𝑦))
82	48, 81	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
83	47, 82	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → 0 < (1 + 𝑦))
84	41, 83	elrpd 12992	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (1 + 𝑦) ∈ ℝ) → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)
85	84	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+))
86		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
87	86	ellogdm 26548	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((1 + 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑦) ∈ ℝ → (1 + 𝑦) ∈ ℝ+)))
88	40, 85, 87	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑦) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
89		eldifi 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
91	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	91	negcld 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → -𝐶 ∈ ℂ)
94	90, 93	cxpcld 26617	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (𝑥↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
95		ovexd 7422	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
96		1cnd 11169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
97		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 11193	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
99		c0ex 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
101		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
102	31, 101	dvmptc 25862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
103	31	dvmptid 25861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
104	31, 96, 100, 102, 97, 96, 103	dvmptadd 25864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)))
105		0p1e1 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
106	105	mpteq2i 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
107	104, 106	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
108		fvex 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
109		cnfldtps 24665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
110		cnfldbas 21268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
111		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
112	110, 111	tpsuni 22823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
113	109, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
114	113	restid 17396	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
115	108, 114	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
116	115	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
117	111	cnfldtop 24671	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
118		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
119	118	cnbl0 24661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
120	63, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
121	1, 120	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
122		cnxmet 24660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
123		0cn 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
124	111	cnfldtopn 24669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
125	124	blopn 24388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
126	122, 123, 63, 125	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
127	121, 126	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
128		isopn3i 22969	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
129	117, 127, 128	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
130	129	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
131	31, 98, 96, 107, 38, 116, 111, 130	dvmptres2 25866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1))
132		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 + 𝑥) = (1 + 𝑦))
133	132	cbvmptv 5211	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))
134	133	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑥))) = (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦)))
135		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 1 = 1)
136	135	cbvmptv 5211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1)
137	131, 134, 136	3eqtr3g 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 + 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 1))
138	86	dvcncxp1 26652	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
139	92, 138	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (𝑥↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
140		oveq1 7394	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))
141		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
142	141	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 + 𝑦) → (-𝐶 · (𝑥↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
143	31, 31, 88, 32, 94, 95, 137, 139, 140, 142	dvmptco 25876	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)))
144	91	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
145	144	negcld 11520	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
146	145, 32	subcld 11533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
147	40, 146	cxpcld 26617	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
148	145, 147	mulcld 11194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
149	148	mulridd 11191	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1) = (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
150	149	mpteq2dva 5200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · 1)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
151		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
152		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
153		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (1 + 𝑦) = (1 + 𝑏))
154	153	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
155	154	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
156	23, 22, 151, 152, 155	cbvmptf 5207	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
157	156	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑦)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
158	143, 150, 157	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑦)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
159	29, 158	eqtrid 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {cpr 4591  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   “ cima 5641   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  supcsup 9391  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℝ⁺crp 12951  (,]cioc 13307  [,)cico 13308  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  abscabs 15200   ⇝ cli 15450   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ∞Metcxmet 21249  ballcbl 21251  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  TopSpctps 22819  intcnt 22904   D cdv 25764  ↑_𝑐ccxp 26464  C_𝑐cbcc 44325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-prod 15870  df-fallfac 15973  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-tan 16037  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466  df-bcc 44326

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44345