Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupxr 42967
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupxr.n 𝑛𝐹
smfsupxr.x 𝑥𝐹
smfsupxr.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsupxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupxr (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsupxr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3 smfsupxr.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
6 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
7 nfii1 4945 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
86, 7nfel 2989 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
95, 8nfan 1891 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
10 smfsupxr.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 smfsupxr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11uzn0d 41575 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14 smfsupxr.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfsupxr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1716ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
1915, 17, 18smff 42886 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2019adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
21 eliinid 41254 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2221adantll 710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2320, 22ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
249, 13, 23supxrre3rnmpt 41579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
2524rabbidva 3476 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
264, 25eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27 nfmpt1 5155 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
2827nfrn 5817 . . . . . . . . . . 11 𝑛ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
29 nfcv 2974 . . . . . . . . . . 11 𝑛*
30 nfcv 2974 . . . . . . . . . . 11 𝑛 <
3128, 29, 30nfsup 8903 . . . . . . . . . 10 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑛
3331, 32nfel 2989 . . . . . . . . 9 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
3433, 7nfrab 3384 . . . . . . . 8 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
353, 34nfcxfr 2972 . . . . . . 7 𝑛𝐷
366, 35nfel 2989 . . . . . 6 𝑛 𝑥𝐷
375, 36nfan 1891 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
3812adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
3919adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
40 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
41 smfsupxr.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
42 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑛
4341, 42nffv 6673 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑛)
4443nfdm 5816 . . . . . . . . . . . 12 𝑥dom (𝐹𝑛)
4540, 44nfiin 4941 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
4645ssrab2f 41260 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
473, 46eqsstri 3998 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
4947, 48sseldi 3962 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5049, 21sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5150adantll 710 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5239, 51ffvelrnd 6844 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 3eleqtrdi 2920 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54 rabidim2 41245 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5655adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5749adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5857, 24syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
5956, 58mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6037, 38, 52, 59supxrrernmpt 41571 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6126, 60mpteq12dva 5141 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
622, 61eqtrd 2853 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63 smfsupxr.n . . 3 𝑛𝐹
64 eqid 2818 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65 eqid 2818 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6663, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65smfsup 42965 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6762, 66eqeltrd 2910 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  c0 4288   ciin 4911   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  supcsup 8892  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cz 11969  cuz 12231  SAlgcsalg 42470  SMblFncsmblfn 42854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-13 2381  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-fl 13150  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-top 21430  df-bases 21482  df-salg 42471  df-salgen 42475  df-smblfn 42855
This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  42973
  Copyright terms: Public domain W3C validator