Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupxr 45143
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupxr.n Ⅎ𝑛𝐹
smfsupxr.x β„²π‘₯𝐹
smfsupxr.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfsupxr.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfsupxr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfsupxr.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupxr (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsupxr.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < )))
3 smfsupxr.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘›πœ‘
6 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛π‘₯
7 nfii1 4990 . . . . . . . . 9 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
86, 7nfel 2918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
95, 8nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
10 smfsupxr.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11 smfsupxr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1210, 11uzn0d 43746 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
14 smfsupxr.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfsupxr.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1716ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘›)
1915, 17, 18smff 45059 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
2019adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
21 eliinid 43409 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2221adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2320, 22ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
249, 13, 23supxrre3rnmpt 43750 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
2524rabbidva 3413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦})
264, 25eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦})
27 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2827nfrn 5908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
29 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛ℝ*
30 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 <
3128, 29, 30nfsup 9392 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < )
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛ℝ
3331, 32nfel 2918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
3433, 7nfrabw 3439 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛{π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
353, 34nfcxfr 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛𝐷
366, 35nfel 2918 . . . . . 6 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ 𝐷
375, 36nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
3812adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
3919adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
40 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑍
41 smfsupxr.x . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐹
42 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝑛
4341, 42nffv 6853 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘›)
4443nfdm 5907 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘›)
4540, 44nfiin 4986 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
4645ssrab2f 43415 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
473, 46eqsstri 3979 . . . . . . . . 9 𝐷 βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
48 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
4947, 48sselid 3943 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
5049, 21sylan 581 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
5150adantll 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
5239, 51ffvelcdmd 7037 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5348, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54 rabidim2 43400 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5655adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5749adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
5857, 24syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
5956, 58mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
6037, 38, 52, 59supxrrernmpt 43742 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6126, 60mpteq12dva 5195 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
622, 61eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
63 smfsupxr.n . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
64 eqid 2733 . . 3 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
65 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6663, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65smfsup 45141 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
6762, 66eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  βˆ…c0 4283  βˆ© ciin 4956   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  supcsup 9381  β„cr 11055  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  SAlgcsalg 44635  SMblFncsmblfn 45022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-fl 13703  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-top 22259  df-bases 22312  df-salg 44636  df-salgen 44640  df-smblfn 45023
This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  45149
  Copyright terms: Public domain W3C validator