Theorem smfsupxr 47259

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupxr.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfsupxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupxr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupxr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupxr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3		smfsupxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
7		nfii1 4972	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
8	6, 7	nfel 2914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
9	5, 8	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
10		smfsupxr.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		smfsupxr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	10, 11	uzn0d 45868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14		smfsupxr.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfsupxr.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
17	16	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
19	15, 17, 18	smff 47175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
20	19	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
21		eliinid 45556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
22	21	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
23	20, 22	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	9, 13, 23	supxrre3rnmpt 45872	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
25	24	rabbidva 3396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
26	4, 25	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27		nfmpt1 5185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
28	27	nfrn 5899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
29		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ*
30		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
31	28, 29, 30	nfsup 9355	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
33	31, 32	nfel 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
34	33, 7	nfrabw 3427	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
35	3, 34	nfcxfr 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
36	6, 35	nfel 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐷
37	5, 36	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
38	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
39	19	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
40		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
41		smfsupxr.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
42		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
43	41, 42	nffv 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
44	43	nfdm 5898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑛)
45	40, 44	nfiin 4967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
46	45	ssrab2f 45562	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
47	3, 46	eqsstri 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
49	47, 48	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
50	49, 21	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
51	50	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
52	39, 51	ffvelcdmd 7029	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
53	48, 3	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54		rabidim2 45547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
56	55	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
57	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
58	57, 24	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
59	56, 58	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
60	37, 38, 52, 59	supxrrernmpt 45864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
61	26, 60	mpteq12dva 5172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
62	2, 61	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63		smfsupxr.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
64		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
66	63, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65	smfsup 47257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
67	62, 66	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  ∅c0 4274  ∩ ciin 4935   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ran crn 5623  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  supcsup 9344  ℝcr 11026  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  SAlgcsalg 46751  SMblFncsmblfn 47138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-acn 9855  df-ac 10027  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-fl 13740  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-top 22868  df-bases 22920  df-salg 46752  df-salgen 46756  df-smblfn 47139

This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  47265