Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupxr 41665
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupxr.n 𝑛𝐹
smfsupxr.x 𝑥𝐹
smfsupxr.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsupxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupxr (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsupxr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3 smfsupxr.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
6 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
7 nfii1 4709 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
86, 7nfel 2920 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
95, 8nfan 1998 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
10 smfsupxr.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 smfsupxr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11uzn0d 40292 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
1312adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14 smfsupxr.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfsupxr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1716ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
1915, 17, 18smff 41584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2019adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
21 eliinid 39947 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2221adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2320, 22ffvelrnd 6552 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
249, 13, 23supxrre3rnmpt 40296 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
2524rabbidva 3337 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
264, 25eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27 nfmpt1 4908 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
2827nfrn 5539 . . . . . . . . . . 11 𝑛ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
29 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛*
30 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛 <
3128, 29, 30nfsup 8566 . . . . . . . . . 10 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛
3331, 32nfel 2920 . . . . . . . . 9 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
3433, 7nfrab 3271 . . . . . . . 8 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
353, 34nfcxfr 2905 . . . . . . 7 𝑛𝐷
366, 35nfel 2920 . . . . . 6 𝑛 𝑥𝐷
375, 36nfan 1998 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
3812adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
3919adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
40 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
41 smfsupxr.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
42 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑛
4341, 42nffv 6387 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑛)
4443nfdm 5538 . . . . . . . . . . . 12 𝑥dom (𝐹𝑛)
4540, 44nfiin 4707 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
4645ssrab2f 39953 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
473, 46eqsstri 3797 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
4947, 48sseldi 3761 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5049, 21sylan 575 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5150adantll 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5239, 51ffvelrnd 6552 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 3syl6eleq 2854 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54 rabidim2 39937 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5655adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5749adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5857, 24syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
5956, 58mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6037, 38, 52, 59supxrrernmpt 40288 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6126, 60mpteq12dva 4893 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
622, 61eqtrd 2799 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63 smfsupxr.n . . 3 𝑛𝐹
64 eqid 2765 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65 eqid 2765 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6663, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65smfsup 41663 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6762, 66eqeltrd 2844 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  c0 4081   ciin 4679   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  wf 6066  cfv 6070  supcsup 8555  cr 10190  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  cz 11626  cuz 11889  SAlgcsalg 41168  SMblFncsmblfn 41552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-ac2 9540  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-ac 9192  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-fl 12804  df-rest 16352  df-topgen 16373  df-top 20981  df-bases 21033  df-salg 41169  df-salgen 41173  df-smblfn 41553
This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  41671
  Copyright terms: Public domain W3C validator