Theorem smfsupxr 47266

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupxr.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfsupxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupxr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupxr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupxr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3		smfsupxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
7		nfii1 4965	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
8	6, 7	nfel 2916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
9	5, 8	nfan 1906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
10		smfsupxr.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		smfsupxr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	10, 11	uzn0d 45875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14		smfsupxr.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfsupxr.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
17	16	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
19	15, 17, 18	smff 47182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
20	19	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
21		eliinid 45565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
22	21	adantll 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
23	20, 22	ffvelcdmd 7033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	9, 13, 23	supxrre3rnmpt 45879	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
25	24	rabbidva 3398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
26	4, 25	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
28	27	nfrn 5901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
29		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ*
30		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
31	28, 29, 30	nfsup 9361	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
33	31, 32	nfel 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
34	33, 7	nfrabw 3429	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
35	3, 34	nfcxfr 2900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
36	6, 35	nfel 2916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐷
37	5, 36	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
38	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
39	19	adantlr 721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
40		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
41		smfsupxr.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
42		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
43	41, 42	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
44	43	nfdm 5900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑛)
45	40, 44	nfiin 4961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
46	45	ssrab2f 45571	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
47	3, 46	eqsstri 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
49	47, 48	sselid 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
50	49, 21	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
51	50	adantll 720	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
52	39, 51	ffvelcdmd 7033	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
53	48, 3	eleqtrdi 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54		rabidim2 45556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
56	55	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
57	49	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
58	57, 24	syldan 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
59	56, 58	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
60	37, 38, 52, 59	supxrrernmpt 45871	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
61	26, 60	mpteq12dva 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
62	2, 61	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63		smfsupxr.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
64		eqid 2740	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
66	63, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65	smfsup 47264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
67	62, 66	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392  ∅c0 4268  ∩ ciin 4929   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  ran crn 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  supcsup 9350  ℝcr 11035  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  SAlgcsalg 46758  SMblFncsmblfn 47145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-fl 13749  df-rest 17383  df-topgen 17404  df-top 22884  df-bases 22936  df-salg 46759  df-salgen 46763  df-smblfn 47146

This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  47272