Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupxr 46831
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupxr.n 𝑛𝐹
smfsupxr.x 𝑥𝐹
smfsupxr.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsupxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupxr (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsupxr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3 smfsupxr.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
6 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
7 nfii1 5029 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
86, 7nfel 2920 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
95, 8nfan 1899 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
10 smfsupxr.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 smfsupxr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11uzn0d 45436 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14 smfsupxr.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfsupxr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1716ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
1915, 17, 18smff 46747 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2019adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
21 eliinid 45116 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2221adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2320, 22ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
249, 13, 23supxrre3rnmpt 45440 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
2524rabbidva 3443 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
264, 25eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
2827nfrn 5963 . . . . . . . . . . 11 𝑛ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
29 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑛*
30 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑛 <
3128, 29, 30nfsup 9491 . . . . . . . . . 10 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑛
3331, 32nfel 2920 . . . . . . . . 9 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
3433, 7nfrabw 3475 . . . . . . . 8 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
353, 34nfcxfr 2903 . . . . . . 7 𝑛𝐷
366, 35nfel 2920 . . . . . 6 𝑛 𝑥𝐷
375, 36nfan 1899 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
3812adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
3919adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
40 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
41 smfsupxr.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
42 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑛
4341, 42nffv 6916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑛)
4443nfdm 5962 . . . . . . . . . . . 12 𝑥dom (𝐹𝑛)
4540, 44nfiin 5024 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
4645ssrab2f 45122 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
473, 46eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
4947, 48sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5049, 21sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5150adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5239, 51ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 3eleqtrdi 2851 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54 rabidim2 45107 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5655adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5749adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5857, 24syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
5956, 58mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6037, 38, 52, 59supxrrernmpt 45432 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6126, 60mpteq12dva 5231 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
622, 61eqtrd 2777 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63 smfsupxr.n . . 3 𝑛𝐹
64 eqid 2737 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6663, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65smfsup 46829 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6762, 66eqeltrd 2841 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  c0 4333   ciin 4992   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  supcsup 9480  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  46837
  Copyright terms: Public domain W3C validator