Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupxr 46104
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupxr.n Ⅎ𝑛𝐹
smfsupxr.x β„²π‘₯𝐹
smfsupxr.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfsupxr.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfsupxr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfsupxr.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupxr (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsupxr.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < )))
3 smfsupxr.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘›πœ‘
6 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛π‘₯
7 nfii1 5025 . . . . . . . . 9 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
86, 7nfel 2911 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
95, 8nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
10 smfsupxr.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
11 smfsupxr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
1210, 11uzn0d 44707 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
14 smfsupxr.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfsupxr.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
1716ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
18 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘›)
1915, 17, 18smff 46020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
2019adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
21 eliinid 44375 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2221adantll 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
2320, 22ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
249, 13, 23supxrre3rnmpt 44711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
2524rabbidva 3433 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦})
264, 25eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦})
27 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
2827nfrn 5945 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
29 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛ℝ*
30 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 <
3128, 29, 30nfsup 9448 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < )
32 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛ℝ
3331, 32nfel 2911 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
3433, 7nfrabw 3462 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛{π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
353, 34nfcxfr 2895 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛𝐷
366, 35nfel 2911 . . . . . 6 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ 𝐷
375, 36nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
3812adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
3919adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„)
40 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝑍
41 smfsupxr.x . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐹
42 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝑛
4341, 42nffv 6895 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘›)
4443nfdm 5944 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘›)
4540, 44nfiin 5021 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
4645ssrab2f 44381 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
473, 46eqsstri 4011 . . . . . . . . 9 𝐷 βŠ† ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
48 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
4947, 48sselid 3975 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
5049, 21sylan 579 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
5150adantll 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
5239, 51ffvelcdmd 7081 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5348, 3eleqtrdi 2837 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54 rabidim2 44366 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5655adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5749adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
5857, 24syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
5956, 58mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
6037, 38, 52, 59supxrrernmpt 44703 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6126, 60mpteq12dva 5230 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ*, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
622, 61eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
63 smfsupxr.n . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
64 eqid 2726 . . 3 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
65 eqid 2726 . . 3 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
6663, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65smfsup 46102 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
6762, 66eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  βˆ…c0 4317  βˆ© ciin 4991   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  supcsup 9437  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  SAlgcsalg 45596  SMblFncsmblfn 45983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-fl 13763  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-salg 45597  df-salgen 45601  df-smblfn 45984
This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  46110
  Copyright terms: Public domain W3C validator