Theorem smfsupxr 44236

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupxr.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfsupxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupxr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupxr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupxr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3		smfsupxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
7		nfii1 4956	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
8	6, 7	nfel 2920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
9	5, 8	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
10		smfsupxr.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		smfsupxr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	10, 11	uzn0d 42855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14		smfsupxr.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfsupxr.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
17	16	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
19	15, 17, 18	smff 44155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
20	19	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
21		eliinid 42550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
22	21	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
23	20, 22	ffvelrnd 6944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	9, 13, 23	supxrre3rnmpt 42859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
25	24	rabbidva 3402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
26	4, 25	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
28	27	nfrn 5850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
29		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ*
30		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
31	28, 29, 30	nfsup 9140	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
33	31, 32	nfel 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
34	33, 7	nfrabw 3311	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
35	3, 34	nfcxfr 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
36	6, 35	nfel 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐷
37	5, 36	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
38	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
39	19	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
40		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
41		smfsupxr.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
42		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
43	41, 42	nffv 6766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
44	43	nfdm 5849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑛)
45	40, 44	nfiin 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
46	45	ssrab2f 42555	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
47	3, 46	eqsstri 3951	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
49	47, 48	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
50	49, 21	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
51	50	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
52	39, 51	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
53	48, 3	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54		rabidim2 42541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
56	55	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
57	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
58	57, 24	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
59	56, 58	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
60	37, 38, 52, 59	supxrrernmpt 42851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
61	26, 60	mpteq12dva 5159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
62	2, 61	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63		smfsupxr.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
64		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
66	63, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65	smfsup 44234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
67	62, 66	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  ∅c0 4253  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  supcsup 9129  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fl 13440  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004  df-salg 43740  df-salgen 43744  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  44242