Theorem smfsupxr 46831

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupxr.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfsupxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupxr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupxr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupxr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3		smfsupxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
7		nfii1 5029	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
8	6, 7	nfel 2920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
9	5, 8	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
10		smfsupxr.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		smfsupxr.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
12	10, 11	uzn0d 45436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14		smfsupxr.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfsupxr.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
17	16	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑛)
19	15, 17, 18	smff 46747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
20	19	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
21		eliinid 45116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
22	21	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
23	20, 22	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	9, 13, 23	supxrre3rnmpt 45440	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
25	24	rabbidva 3443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
26	4, 25	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
28	27	nfrn 5963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
29		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ*
30		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 <
31	28, 29, 30	nfsup 9491	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛ℝ
33	31, 32	nfel 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
34	33, 7	nfrabw 3475	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
35	3, 34	nfcxfr 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝐷
36	6, 35	nfel 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ 𝐷
37	5, 36	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
38	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
39	19	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):dom (𝐹‘𝑛)⟶ℝ)
40		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
41		smfsupxr.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
42		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑛
43	41, 42	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑛)
44	43	nfdm 5962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑛)
45	40, 44	nfiin 5024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
46	45	ssrab2f 45122	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
47	3, 46	eqsstri 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
48		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
49	47, 48	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
50	49, 21	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
51	50	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛))
52	39, 51	ffvelcdmd 7105	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
53	48, 3	eleqtrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54		rabidim2 45107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
56	55	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
57	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛))
58	57, 24	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
59	56, 58	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
60	37, 38, 52, 59	supxrrernmpt 45432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
61	26, 60	mpteq12dva 5231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
62	2, 61	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63		smfsupxr.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
64		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
66	63, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65	smfsup 46829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
67	62, 66	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  ∅c0 4333  ∩ ciin 4992   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  supcsup 9480  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  46837