Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsupxr 46176
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsupxr.n 𝑛𝐹
smfsupxr.x 𝑥𝐹
smfsupxr.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsupxr.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsupxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsupxr.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupxr.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
smfsupxr.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsupxr (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfsupxr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsupxr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3 smfsupxr.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
5 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
6 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
7 nfii1 5026 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
86, 7nfel 2912 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
95, 8nfan 1895 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
10 smfsupxr.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 smfsupxr.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11uzn0d 44779 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ≠ ∅)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → 𝑍 ≠ ∅)
14 smfsupxr.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
16 smfsupxr.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1716ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑛)
1915, 17, 18smff 46092 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
2019adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
21 eliinid 44449 . . . . . . . . 9 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2221adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
2320, 22ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
249, 13, 23supxrre3rnmpt 44783 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
2524rabbidva 3434 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
264, 25eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
27 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
2827nfrn 5948 . . . . . . . . . . 11 𝑛ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
29 nfcv 2898 . . . . . . . . . . 11 𝑛*
30 nfcv 2898 . . . . . . . . . . 11 𝑛 <
3128, 29, 30nfsup 9468 . . . . . . . . . 10 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )
32 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 𝑛
3331, 32nfel 2912 . . . . . . . . 9 𝑛sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ
3433, 7nfrabw 3463 . . . . . . . 8 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
353, 34nfcxfr 2896 . . . . . . 7 𝑛𝐷
366, 35nfel 2912 . . . . . 6 𝑛 𝑥𝐷
375, 36nfan 1895 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
3812adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍 ≠ ∅)
3919adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ)
40 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
41 smfsupxr.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
42 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑛
4341, 42nffv 6901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑛)
4443nfdm 5947 . . . . . . . . . . . 12 𝑥dom (𝐹𝑛)
4540, 44nfiin 5022 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
4645ssrab2f 44455 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
473, 46eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
48 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
4947, 48sselid 3976 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5049, 21sylan 579 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5150adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5239, 51ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 3eleqtrdi 2838 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
54 rabidim2 44440 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5655adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
5749adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
5857, 24syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦))
5956, 58mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6037, 38, 52, 59supxrrernmpt 44775 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6126, 60mpteq12dva 5231 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
622, 61eqtrd 2767 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
63 smfsupxr.n . . 3 𝑛𝐹
64 eqid 2727 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
65 eqid 2727 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
6663, 41, 10, 11, 14, 16, 64, 65smfsup 46174 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6762, 66eqeltrd 2828 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wnfc 2878  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  {crab 3427  c0 4318   ciin 4992   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  wf 6538  cfv 6542  supcsup 9457  cr 11131  *cxr 11271   < clt 11272  cle 11273  cz 12582  cuz 12846  SAlgcsalg 45668  SMblFncsmblfn 46055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-ac2 10480  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-fl 13783  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-top 22789  df-bases 22842  df-salg 45669  df-salgen 45673  df-smblfn 46056
This theorem is referenced by:  smflimsuplem3  46182
  Copyright terms: Public domain W3C validator