Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsup 46769
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsup.n 𝑛𝐹
smfsup.x 𝑥𝐹
smfsup.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsup.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsup.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsup.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsup.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsup.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsup (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsup
Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsup.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfsup.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfsup.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsup.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfsup.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
6 nfcv 2902 . . . 4 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
7 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥𝑍
8 smfsup.x . . . . . . 7 𝑥𝐹
9 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑚
108, 9nffv 6916 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5964 . . . . 5 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 5028 . . . 4 𝑥 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
13 nfv 1911 . . . 4 𝑤𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
14 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥
15 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑥𝑤
1610, 15nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑤)
17 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥
18 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥𝑧
1916, 17, 18nfbr 5194 . . . . . 6 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
207, 19nfralw 3308 . . . . 5 𝑥𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
2114, 20nfrexw 3310 . . . 4 𝑥𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
22 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑚dom (𝐹𝑛)
23 smfsup.n . . . . . . . 8 𝑛𝐹
24 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑛𝑚
2523, 24nffv 6916 . . . . . . 7 𝑛(𝐹𝑚)
2625nfdm 5964 . . . . . 6 𝑛dom (𝐹𝑚)
27 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
2827dmeqd 5918 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
2922, 26, 28cbviin 5041 . . . . 5 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
3029a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
31 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
3231breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
3332ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
34 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑤
3625, 35nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝐹𝑚)‘𝑤)
37 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛
38 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
3936, 37, 38nfbr 5194 . . . . . . . . 9 𝑛((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦
4027fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4140breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
4234, 39, 41cbvralw 3303 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
4433, 43bitrd 279 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
4544rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
46 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
4746ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
4847cbvrexvw 3235 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧)
4948a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
5045, 49bitrd 279 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
516, 12, 13, 21, 30, 50cbvrabcsfw 3951 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
525, 51eqtri 2762 . 2 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
53 smfsup.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54 nfrab1 3453 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
555, 54nfcxfr 2900 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2902 . . . 4 𝑤𝐷
57 nfcv 2902 . . . 4 𝑤sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
587, 16nfmpt 5254 . . . . . 6 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
5958nfrn 5965 . . . . 5 𝑥ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
60 nfcv 2902 . . . . 5 𝑥 <
6159, 14, 60nfsup 9488 . . . 4 𝑥sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
6231mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
63 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑛)‘𝑤)
6463, 36, 40cbvmpt 5258 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6662, 65eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6766rneqd 5951 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6867supeq1d 9483 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
6955, 56, 57, 61, 68cbvmptf 5256 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
7053, 69eqtri 2762 . 2 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
711, 2, 3, 4, 52, 70smfsuplem3 46768 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  wnfc 2887  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432   ciin 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  supcsup 9477  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  cz 12610  cuz 12875  SAlgcsalg 46263  SMblFncsmblfn 46650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-fl 13828  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968  df-salg 46264  df-salgen 46268  df-smblfn 46651
This theorem is referenced by:  smfsupmpt  46770  smfsupxr  46771
  Copyright terms: Public domain W3C validator