Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsup 41660
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsup.n 𝑛𝐹
smfsup.x 𝑥𝐹
smfsup.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsup.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsup.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsup.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsup.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsup.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfsup (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsup
Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfsup.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfsup.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfsup.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsup.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfsup.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
6 nfcv 2907 . . . 4 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
7 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥𝑍
8 smfsup.x . . . . . . 7 𝑥𝐹
9 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑚
108, 9nffv 6385 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5536 . . . . 5 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4705 . . . 4 𝑥 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
13 nfv 2009 . . . 4 𝑤𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
14 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥
15 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥𝑤
1610, 15nffv 6385 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑤)
17 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥
18 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑧
1916, 17, 18nfbr 4856 . . . . . 6 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
207, 19nfral 3092 . . . . 5 𝑥𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
2114, 20nfrex 3153 . . . 4 𝑥𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
22 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑚dom (𝐹𝑛)
23 smfsup.n . . . . . . . 8 𝑛𝐹
24 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛𝑚
2523, 24nffv 6385 . . . . . . 7 𝑛(𝐹𝑚)
2625nfdm 5536 . . . . . 6 𝑛dom (𝐹𝑚)
27 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
2827dmeqd 5494 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
2922, 26, 28cbviin 4714 . . . . 5 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
3029a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
31 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
3231breq1d 4819 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
3332ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
34 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦
35 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑤
3625, 35nffv 6385 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝐹𝑚)‘𝑤)
37 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛
38 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
3936, 37, 38nfbr 4856 . . . . . . . . 9 𝑛((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦
4027fveq1d 6377 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
4140breq1d 4819 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
4234, 39, 41cbvral 3315 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
4433, 43bitrd 270 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
4544rexbidv 3199 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
46 breq2 4813 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
4746ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
4847cbvrexv 3320 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧)
4948a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
5045, 49bitrd 270 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
516, 12, 13, 21, 30, 50cbvrabcsf 3726 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
525, 51eqtri 2787 . 2 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
53 smfsup.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54 nfrab1 3270 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
555, 54nfcxfr 2905 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2907 . . . 4 𝑤𝐷
57 nfcv 2907 . . . 4 𝑤sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
587, 16nfmpt 4905 . . . . . 6 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
5958nfrn 5537 . . . . 5 𝑥ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
60 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥 <
6159, 14, 60nfsup 8564 . . . 4 𝑥sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
6231mpteq2dv 4904 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
63 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑛)‘𝑤)
6463, 36, 40cbvmpt 4908 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6662, 65eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6766rneqd 5521 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
6867supeq1d 8559 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
6955, 56, 57, 61, 68cbvmptf 4907 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
7053, 69eqtri 2787 . 2 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
711, 2, 3, 4, 52, 70smfsuplem3 41659 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059   ciin 4677   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  supcsup 8553  cr 10188   < clt 10328  cle 10329  cz 11624  cuz 11886  SAlgcsalg 41165  SMblFncsmblfn 41549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-fl 12801  df-rest 16349  df-topgen 16370  df-top 20978  df-bases 21030  df-salg 41166  df-salgen 41170  df-smblfn 41550
This theorem is referenced by:  smfsupmpt  41661  smfsupxr  41662
  Copyright terms: Public domain W3C validator