Theorem smfsup 46843

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsup.n	⊢ Ⅎ𝑛𝐹
smfsup.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsup.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsup.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsup.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsup	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsup

Dummy variables 𝑚 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsup.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		smfsup.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsup.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsup.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		smfsup.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
6		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛)
7		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
8		smfsup.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6886	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 5000	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
13		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
14		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
15		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
16	10, 15	nffv 6886	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
17		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
18		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
19	16, 17, 18	nfbr 5166	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
20	7, 19	nfralw 3291	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
21	14, 20	nfrexw 3293	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧
22		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚dom (𝐹‘𝑛)
23		smfsup.n	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
24		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
25	23, 24	nffv 6886	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
26	25	nfdm 5931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛dom (𝐹‘𝑚)
27		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
28	27	dmeqd 5885	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
29	22, 26, 28	cbviin 5013	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
31		fveq2 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
32	31	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
33	32	ralbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
34		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦
35		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑤
36	25, 35	nffv 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤)
37		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ≤
38		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑦
39	36, 37, 38	nfbr 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦
40	27	fveq1d 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
41	40	breq1d 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
42	34, 39, 41	cbvralw 3286	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
44	33, 43	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
45	44	rexbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
46		breq2 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
47	46	ralbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
48	47	cbvrexvw 3221	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
50	45, 49	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧))
51	6, 12, 13, 21, 30, 50	cbvrabcsfw 3915	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
52	5, 51	eqtri 2758	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑧}
53		smfsup.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
54		nfrab1 3436	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
55	5, 54	nfcxfr 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
56		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
57		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )
58	7, 16	nfmpt 5219	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
59	58	nfrn 5932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
60		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
61	59, 14, 60	nfsup 9463	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < )
62	31	mpteq2dv 5215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
63		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑛)‘𝑤)
64	63, 36, 40	cbvmpt 5223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
66	62, 65	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
67	66	rneqd 5918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
68	67	supeq1d 9458	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
69	55, 56, 57, 61, 68	cbvmptf 5221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
70	53, 69	eqtri 2758	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
71	1, 2, 3, 4, 52, 70	smfsuplem3 46842	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  ∩ ciin 4968   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  supcsup 9452  ℝcr 11128   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  SAlgcsalg 46337  SMblFncsmblfn 46724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-fl 13809  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-top 22832  df-bases 22884  df-salg 46338  df-salgen 46342  df-smblfn 46725

This theorem is referenced by:  smfsupmpt  46844  smfsupxr  46845