Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzub 44141
Description: A set of reals, indexed by upper integers, is bound if and only if any upper part is bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uzub.1 𝑗𝜑
uzub.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzub.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzub.12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
uzub (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem uzub
Dummy variables 𝑖 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑖))
21raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
32cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥)
43a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥))
5 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝑥𝐵𝑤))
65ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
76rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
84, 7bitrd 279 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
98cbvrexvw 3236 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
11 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝐵𝑤𝐵𝑦))
1211ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
1312rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
1413cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
1514biimpi 215 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
16 uzub.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝜑
17 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
19 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑖𝑍
2018, 19nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍)
21 nfra1 3282 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦
2220, 21nfan 1903 . . . . . . . . . 10 𝑗(((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
23 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵)
2423nfrn 5952 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵)
25 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗
26 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 <
2724, 25, 26nfsup 9446 . . . . . . . . . . . 12 𝑗sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )
28 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑗
29 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑦
3027, 28, 29nfbr 5196 . . . . . . . . . . 11 𝑗sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦
3130, 29, 27nfif 4559 . . . . . . . . . 10 𝑗if(sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
32 uzub.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3332ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → 𝑀 ∈ ℤ)
34 uzub.3 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
35 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )
37 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 if(sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) = if(sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑗 ∈ (𝑀...𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
38 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → 𝑖𝑍)
39 uzub.12 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039ad5ant15 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
4222, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41uzublem 44140 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖𝑍) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4342rexlimdva2 3158 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4443imp 408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4544rexlimdva2 3158 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4645imp 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4715, 46sylan2 594 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤)
4847ex 414 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
4932, 34uzidd2 44126 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑍)
5049ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤) → 𝑀𝑍)
5134raleqi 3324 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤)
5251biimpi 215 . . . . . . 7 (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤)
5352adantl 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤)
54 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑖𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤
55 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑀))
5655raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤))
5754, 56rspce 3602 . . . . . 6 ((𝑀𝑍 ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)𝐵𝑤) → ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤)
5850, 53, 57syl2anc 585 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤) → ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤)
5958ex 414 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 → ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
6059reximdva 3169 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤))
6148, 60impbid 211 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤))
62 breq2 5153 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝐵𝑤𝐵𝑥))
6362ralbidv 3178 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
6463cbvrexvw 3236 . . 3 (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥)
6564a1i 11 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑤 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
6610, 61, 653bitrd 305 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5678  cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  cr 11109   < clt 11248  cle 11249  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628
This theorem is referenced by:  limsupreuz  44453
  Copyright terms: Public domain W3C validator