Theorem binomcxplemnotnn0 44893

Description: Lemma for binomcxp 44894. When 𝐶 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 44886 —which we will call 𝑃 —is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 26481 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 26472 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐶 · 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑_𝑐𝐶)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ((1 + 0)↑_𝑐𝐶) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑_𝑐𝐶) = (𝑃‘𝑏).

Finally, let 𝑏 be (𝐵 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑_𝑐𝐶) and the sum (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) by (𝐴↑_𝑐𝐶) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnotnn0	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝑟,𝐴   𝐵,𝑏,𝑘,𝑟   𝑗,𝑏,𝜑,𝑘   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘,𝑟   𝑆,𝑘,𝑟   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
2		binomcxplem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
3		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
4		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏0
5		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
6		binomcxplem.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏 +
8		binomcxplem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
9		nfmpt1 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	8, 9	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	4, 7, 12	nfseq 14018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrabw 3450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 9391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	6, 19	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	4, 5, 20	nfov 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	3, 21	nfima 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	2, 22	nfcxfr 2921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
25		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝑥
28	10, 27	nffv 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑥)
29		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏𝑘
30	28, 29	nffv 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑥)‘𝑘)
31	26, 30	nfsum 15709	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)
32		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
33	32	fveq2d 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑥))
34	33	fveq1d 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 15720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
36	23, 24, 25, 31, 35	cbvmptf 5197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
37	1, 36	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)))
39		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
40	39	fveq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)))
41	40	fveq1d 6864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
42	41	sumeq2dv 15720	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
43		binomcxp.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46		binomcxp.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	rpcnd 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
48	47	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
49		0red 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
50	45	abscld 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	48	abscld 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
52	45	absge0d 15465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53		binomcxp.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
54	53	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
55	49, 50, 51, 52, 54	lelttrd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
56	55	gt0ne0d 11745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
57	48	abs00ad 15308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
58	57	necon3bid 3000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
59	56, 58	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
60	45, 48, 59	divcld 11961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
61	60	abscld 15457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
62	60	absge0d 15465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
63	51	recnd 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
64	63	mulridd 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
65	54, 64	breqtrrd 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1))
66		1red 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
67	51, 55	elrpd 13028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
68	50, 66, 67	ltdivmuld 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1)))
69	65, 68	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
70	45, 48, 59	absdivd 15476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
71		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
72		binomcxplem.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
73	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6	binomcxplemradcnv 44889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
74	69, 70, 73	3brtr4d 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)
75		0re 11177	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
76		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
77		ressxr 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
78	76, 77	sstri 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
79		supxrcl 13312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
80	78, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
81	6, 80	eqeltri 2857	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
82		elico2 13408	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)))
83	75, 81, 82	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))
84	61, 62, 74, 83	syl3anbrc 1356	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
85	2	eleq2i 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
86		absf 15356	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
87		ffn 6686	. . . . . . . 8 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
88		elpreima 7034	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
89	86, 87, 88	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
90	85, 89	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
91	60, 84, 90	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92		sumex 15706	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V)
94	38, 42, 91, 93	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
95		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
96	95	cnbl0 24821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
97	81, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
98	2, 97	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
99		0cnd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
100	81	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ*)
101		mulcl 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
102	101	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
103		nfv 1933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0)
104	23	nfcri 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑥 ∈ 𝐷
105	103, 104	nfan 1918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)
106	31	nfel1 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ
107	105, 106	nfim 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
108		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ 𝐷))
109	108	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)))
110	35	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))
111	109, 110	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)))
112		nn0uz 12871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
113		0zd 12574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℤ)
114		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
115		cnvimass 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
116	2, 115	eqsstri 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
117	86	fdmi 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom abs = ℂ
118	116, 117	sseqtri 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
119	118	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
120	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
121		nn0ex 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ0 ∈ V
122	121	mptex 7202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V)
124	120, 123	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
125		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
126	124, 125	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
127	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
128		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
129	128	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
130		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
131		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
132	127, 129, 130, 131	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
133	132	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
134	133	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
135	126, 134	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
136	119, 135	sylanl2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
137	71	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
138		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139	137, 138	bcccl 44876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
140	119	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
141	140, 138	expcld 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
142	139, 141	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
143	136, 142	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
144	143	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
145		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷))
146	145	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)))
147		fveq2 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑏))
148	147	seqeq3d 14016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆‘𝑥)) = seq0( + , (𝑆‘𝑏)))
149	148	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
150		fveq2 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑏))
151	150	seqeq3d 14016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸‘𝑥)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)))
152	151	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
153	149, 152	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )))
154	146, 153	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))))
155		binomcxplem.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2	binomcxplemcvg 44891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
157	154, 156	chvarvv 2008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
158	157	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
159	158	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
160	112, 113, 114, 144, 159	isumcl 15779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
161	107, 111, 160	chvarfv 2274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
162	161, 37	fmptd 7090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ)
163		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
164	118	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
165	164	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
166	163, 165	addcld 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
167	71	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
168	167	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
169	166, 168	cxpcld 26761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
170		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
171		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)
172		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥))
173	172	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
174	23, 24, 170, 171, 173	cbvmptf 5197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
175	169, 174	fmptd 7090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ)
176		cnex 11148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ V
177		fex 7205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
178	86, 176, 177	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ abs ∈ V
179	178	cnvex 7901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ◡abs ∈ V
180		imaexg 7889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡abs ∈ V → (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V)
181	179, 180	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V
182	2, 181	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 ∈ V
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V)
184		inidm 4176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
185	102, 162, 175, 183, 183, 184	off 7673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
186		1ex 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
187	186	fconst 6745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1}
188		fconstmpt 5705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)
189		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏1
190		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥1
191		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1)
192	24, 23, 189, 190, 191	cbvmptf 5197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
193	188, 192	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
194	193	feq1i 6677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1})
195	187, 194	mpbi 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}
196		ax-1cn 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
197		snssi 4741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
198	196, 197	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1} ⊆ ℂ
199		fss 6703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
200	195, 198, 199	mp2an 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
202		cnelprrecn 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
204	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2, 1	binomcxplemdvsum 44892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
205	204	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
206		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
207		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
208		nfmpt1 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
209	155, 208	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
210	209, 27	nffv 6872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑥)
211	210, 29	nffv 6872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑥)‘𝑘)
212	207, 211	nfsum 15709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)
213		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥)
214	213	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑏) = (𝐸‘𝑥))
215	214	fveq1d 6864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
216	215	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
217	23, 24, 206, 212, 216	cbvmptf 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))
218	205, 217	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)))
219		sumex 15706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V)
221	218, 220	fmpt3d 7092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃):𝐷⟶V)
222	221	fdmd 6697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
223	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2	binomcxplemdvbinom 44890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
224		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
225		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
226	172	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
227	226	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
228	23, 24, 224, 225, 227	cbvmptf 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
229	223, 228	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
230	168, 163	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
231	166, 230	cxpcld 26761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
232	168, 231	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
233	229, 232	fmpt3d 7092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
234	233	fdmd 6697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
235	203, 162, 175, 222, 234	dvmulf 25993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f · 𝑃)))
236	71	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
237	236	mulridd 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
238	237	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
239		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
240		nnuz 12872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
241		1zzd 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℤ)
242		nnnn0 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
243	242, 136	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
244	243	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
245	71	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
246		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
247	245, 246	bcccl 44876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
248	242, 247	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
249	119	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ)
250	249	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
251	250, 246	expcld 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
252	242, 251	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ)
253	248, 252	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
254		1nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℕ0
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
256	112, 255, 143	iserex 15675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
257	158, 256	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
258	257	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
259	240, 241, 244, 253, 258	isumcl 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
260	236, 239, 259	adddid 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
261	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
262		nnex 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ℕ ∈ V
263	262	mptex 7202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
264	263	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
265	261, 264	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
266	119, 265	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
267	266	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
268		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
269	267, 268	fmpt3d 7092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏):ℕ⟶V)
270	269	feqmptd 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
271		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
272	265, 271	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
273	242, 132	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
274	273	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)))
275	274	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
276	275	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
277	272, 276	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
278	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
279		nnm1nn0 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
280	279	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
281	278, 280	bccp1k 44878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))))
282	242	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
283	282	nn0cnd 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
284		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
285	283, 284	npcand 11540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
286	285	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
287	285	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))
288	287	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
289	281, 286, 288	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
290	289	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
291	278, 280	bcccl 44876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
292	283, 284	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
293	278, 292	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
294		nnne0 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
295	294	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
296	291, 293, 283, 295	divassd 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
297	296	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
298	291, 293	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
299	298, 283, 295	divcan2d 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
300	290, 297, 299	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
301	300	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
302	301	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
303	291	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
304	293	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
305	303, 304	mulcomd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))))
306	305	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
307	277, 302, 306	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
308	119, 307	sylanl2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
309	308	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
310	309	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
311	270, 310	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
312	311	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1))
313		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
314		ovex 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
315		oveq1 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1))
316	315	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)))
317	315	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
318	316, 317	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))))
319	315	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))
320	318, 319	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))
321		1pneg1e0 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (1 + -1) = 0
322	321	fveq2i 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
323	112, 322	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
324	241	znegcld 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -1 ∈ ℤ)
325	313, 314, 320, 240, 323, 241, 324	uzmptshftfval 44883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))))
326		oveq1 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1))
327	326	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) − 1))
328	327	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)))
329	327	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
330	328, 329	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) = ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))))
331	327	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))
332	330, 331	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) = (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
333	332	cbvmptv 5201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
334	333	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
335	312, 325, 334	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
336		nn0cn 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
337		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
338	336, 337	subnegd 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − -1) = (𝑘 + 1))
339	338	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
340	336, 337	pncand 11537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
341	339, 340	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
342	341	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
343	342	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶 − 𝑘))
344	342	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
345	343, 344	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
346	342	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏↑𝑘))
347	345, 346	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
348	347	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
349	335, 348	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
350		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
351	349, 350	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
352	242, 351	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
353	336	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
354	245, 353	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
355	354, 247	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
356	355, 251	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
357	242, 356	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
358		fveq2 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))
359	358	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))
360	359	cbvmptv 5201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))
361	309	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
362	249	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
363	71	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
364		nncn 12212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
365	364	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
366		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
367	365, 366	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
368	363, 367	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
369	279	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
370	363, 369	bcccl 44876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
371	368, 370	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
372	362, 369	expcld 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
373	362, 371, 372	mul12d 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
374	362, 372	mulcomd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
375	362, 369	expp1d 14154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
376	285	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
377	376	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
378	377	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏↑𝑘))
379	374, 375, 378	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏↑𝑘))
380	379	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
381	373, 380	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
382	361, 381	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
383	382	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
384	360, 383	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
385		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
386	384, 385	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
387	371, 252	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
388		climrel 15510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Rel ⇝
389	157	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
390	389	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )
391		climdm 15572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
392	390, 391	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
393		0z 12573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ∈ ℤ
394		neg1z 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ -1 ∈ ℤ
395		fvex 6875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐸‘𝑏) ∈ V
396	395	seqshft 15092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1))
397	393, 394, 396	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
398		0cn 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ∈ ℂ
399	398, 196	subnegi 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
400		0p1e1 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0 + 1) = 1
401	399, 400	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0 − -1) = 1
402		seqeq1 14011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)))
403	401, 402	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))
404	403	oveq1i 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
405	397, 404	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)
406	405	breq1i 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
407		seqex 14010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V
408		climshft 15594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))))
409	394, 407, 408	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
410	406, 409	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
411	392, 410	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))
412		releldm 5916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
413	388, 411, 412	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
414	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
415	351, 356	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
416	112, 414, 415	iserex 15675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
417	413, 416	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
418	371, 372	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
419	309, 418	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
420	386, 382	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))
421	240, 241, 249, 392, 419, 420	isermulc2 15676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))))
422		releldm 5916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
423	388, 421, 422	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
424	240, 241, 352, 357, 386, 387, 417, 423	isumadd 15785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
425	424	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
426	363, 365	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
427	426, 248	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
428	427, 371, 252	adddird 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
429	428	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
430	429	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
431	307	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
432	431	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
433	119, 432	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
434	433	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
435	240, 241, 309, 418, 390	isumcl 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
436	239, 249, 435	adddird 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
437	435	mullidd 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
438	240, 241, 309, 418, 390, 249	isummulc2 15780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
439	381	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
440	438, 439	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))
441	437, 440	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
442	434, 436, 441	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
443	400	fveq2i 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1)
444	240, 443	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
445		oveq1 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1))
446	445	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)))
447	445	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))
448	446, 447	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))))
449	445	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))
450	448, 449	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
451	112, 444, 450, 241, 113, 418	isumshft 15860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
452		oveq2 7399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘))
453	452	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1))
454	453	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)))
455	453	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))
456	454, 455	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))))
457	453	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
458	456, 457	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
459	458	cbvsumv 15714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
460	459	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
461		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
462	461, 353	pncan2d 11538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑘) − 1) = 𝑘)
463	462	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶 − 𝑘))
464	462	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
465	463, 464	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
466	462	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏↑𝑘))
467	465, 466	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
468	467	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
469	451, 460, 468	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
470	112, 113, 351, 356, 413	isum1p 15862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
471		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
472	471	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 0))
473	471	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
474	472, 473	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)))
475	471	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑏↑0))
476	474, 475	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
477		0nn0 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 ∈ ℕ0
478	477	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
479		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V)
480	349, 476, 478, 479	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
481	236	subid1d 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶)
482	236	bccn0 44880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶C𝑐0) = 1)
483	481, 482	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1))
484	483, 237	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶)
485	249	exp0d 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏↑0) = 1)
486	484, 485	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1))
487	480, 486, 237	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶)
488	444	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ
489	488	sumeq1i 15715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))
490	489	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
491	487, 490	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
492	469, 470, 491	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
493	492	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))
494	240, 241, 352, 357, 417	isumcl 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
495	249, 435	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
496	440, 495	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
497	236, 494, 496	addassd 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
498	442, 493, 497	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))))
499	425, 430, 498	3eqtr4rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))))
500		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
501	278, 500	binomcxplemwb 44885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)))
502	501	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
503	502	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))
504	503	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
505	504	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))))
506	363, 248, 252	mulassd 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
507	506	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
508	240, 241, 244, 253, 258, 236	isummulc2 15780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
509	507, 508	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
510	509	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
511	499, 505, 510	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
512	238, 260, 511	3eqtr4rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
513	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))))
514	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V)
515	513, 514	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
516	119, 515	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
517		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V)
518	516, 517	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
519	518	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
520	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
521	520, 130	bcccl 44876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
522	132, 521	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
523	522	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
524	523	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
525	524, 251	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ)
526	112, 113, 518, 525, 159	isum1p 15862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
527	471	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
528	527, 475	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
529		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V)
530	516, 528, 478, 529	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
531	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
532		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
533	532	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0))
534	477	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
535		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈ V)
536	531, 533, 534, 535	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
537	536	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
538	537, 482	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = 1)
539	538, 485	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1))
540	239	mulridd 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · 1) = 1)
541	530, 539, 540	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = 1)
542	488	sumeq1i 15715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))
543	133	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
544	242, 543	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
545	544	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
546	545	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
547	542, 546	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
548	541, 547	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
549	519, 526, 548	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
550	549	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
551	512, 550	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
552	236, 160	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
553	239, 249	addcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ)
554		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
555	240, 241, 554, 419, 390	isumcl 15779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
556	239, 249	subnegd 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏))
557	249	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ)
558		elpreima 7034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))))
559	86, 87, 558	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))
560	559	simprbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
561	560, 2	eleq2s 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
562		elico2 13408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)))
563	75, 81, 562	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅))
564	563	simp3bi 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
565	561, 564	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅)
566	565	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
567	249	absnegd 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏))
568	567	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏))
569	73	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1)
570	566, 568, 569	3brtr3d 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1)
571		1re 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℝ
572		abssubne0 15335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
573	571, 572	mp3an2 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
574	557, 570, 573	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
575	556, 574	eqnetrrd 3024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0)
576	552, 553, 555, 575	divmuld 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
577	551, 576	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
578	236, 160, 553, 575	div23d 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
579	577, 578	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
580	579	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
581		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
582		sumex 15706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V
583	582	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V)
584		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))))
585	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
586	103, 23, 183, 581, 583, 584, 585	offval2f 7670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
587	580, 205, 586	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃))
588	587	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
589	223	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f · 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃))
590	588, 589	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((ℂ D 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f · 𝑃)) = ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃)))
591		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V)
592		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
593		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
594		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
595		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
596	103, 23, 183, 593, 594, 586, 595	offval2f 7670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
597		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
598		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
599	103, 23, 183, 597, 583, 598, 585	offval2f 7670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
600	103, 23, 183, 591, 592, 596, 599	offval2f 7670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))))
601	235, 590, 600	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))))
602	236, 553, 575	divcld 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ)
603	236	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
604	553, 603	cxpcld 26761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
605	602, 160, 604	mul32d 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
606	236, 553, 604, 575	div32d 11984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))))
607	553, 575, 603, 239	cxpsubd 26771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
608	553	cxp1d 26759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
609	608	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))
610	607, 609	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
611	610	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
612	606, 611	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
613	612	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
614	605, 613	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
615	603, 239	subcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
616	553, 615	cxpcld 26761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
617	236, 616	mulneg1d 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
618	617	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
619	236, 616	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
620	619, 160	mulneg1d 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
621	618, 620	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))
622	614, 621	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))
623	619, 160	mulcld 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
624	623	negidd 11526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0)
625	622, 624	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0)
626	625	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
627	601, 626	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
628		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥0
629		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0)
630	24, 23, 4, 628, 629	cbvmptf 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)
631	627, 630	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
632		c0ex 11167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
633	632	snid 4618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ {0}
634	633	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ {0})
635	631, 634	fmpt3d 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0})
636	635	fdmd 6697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
637		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
638		0cnd 11166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
639		dvconst 25967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
640	196, 639	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
641		fconstmpt 5705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
642	641	oveq2i 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
643		fconstmpt 5705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
644	640, 642, 643	3eqtr3i 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
645	644	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
646	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
647		fvex 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
648		cnfldtps 24825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
649		cnfldbas 21416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
650		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
651	649, 650	tpsuni 22984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld))
652	648, 651	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
653	652	restid 17453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
654	647, 653	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
655	654	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
656	650	cnfldtop 24831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
657		cnxmet 24820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
658	650	cnfldtopn 24829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
659	658	blopn 24548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
660	657, 398, 81, 659	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
661	98, 660	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
662		isopn3i 23130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
663	656, 661, 662	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
664	663	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
665	203, 637, 638, 645, 646, 655, 650, 664	dvmptres2 26012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
666	192	oveq2i 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
667	665, 666, 630	3eqtr3g 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
668	626, 601, 667	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)))
669		1rp 12991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
670	73, 669	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
671		blcntr 24461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
672	657, 398, 671	mp3an12 1471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
673	670, 672	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
674	673, 98	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐷)
675		0zd 12574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
676		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
677		nfv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
678	23	nfel2 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏0 ∈ 𝐷
679	677, 678	nfan 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)
680		nfv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
681	679, 680	nfan 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
682	10, 4	nffv 6872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘0)
683	682, 29	nffv 6872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘)
684	683	nfel1 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ
685	681, 684	nfim 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
686		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
687	686	anbi2d 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)))
688	687	anbi1d 640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
689		fveq2 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘0))
690	689	fveq1d 6864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
691	690	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ))
692	688, 691	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)))
693	685, 632, 692, 143	vtoclf 3529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
694	674, 693	syldanl 611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
695	4, 7, 682	nfseq 14018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘0))
696	695	nfel1 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
697	679, 696	nfim 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
698	689	seqeq3d 14016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0)))
699	698	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ ))
700	687, 699	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )))
701	697, 632, 700, 158	vtoclf 3529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
702	674, 701	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
703	112, 675, 676, 694, 702	isum1p 15862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)))
704	132	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
705	704	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
706		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0)
707	706	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (0↑𝑘))
708	705, 707	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
709	708	mpteq2dva 5190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
710	121	mptex 7202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V
711	710	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V)
712	513, 709, 99, 711	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
713		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
714	713	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
715	713	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0))
716	714, 715	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
717	477	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
718		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V)
719	712, 716, 717, 718	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
720	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
721	720	bccn0 44880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) = 1)
722	99	exp0d 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0↑0) = 1)
723	721, 722	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) = (1 · 1))
724		1t1e1 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 1) = 1
725	724	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 1) = 1)
726	719, 723, 725	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = 1)
727		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V)
728	712, 727	fvmpt2d 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
729	242, 728	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
730		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
731	730	0expd 14146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
732	731	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0))
733	521	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
734	242, 733	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
735	734	mul01d 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) = 0)
736	729, 732, 735	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
737	736	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0)
738	444	sumeq1i 15715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)
739	240	eqimssi 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
740	739	orci 876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
741		sumz 15740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0)
742	740, 741	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
743	737, 738, 742	3eqtr3g 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
744	726, 743	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0))
745	703, 744	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0))
746		1p0e1 12334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 0) = 1
747	746	oveq1i 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶)
748	720	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
749	748	1cxpd 26760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1↑𝑐-𝐶) = 1)
750	747, 749	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = 1)
751	745, 750	oveq12d 7409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1))
752	746	oveq1i 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 0) · 1) = (1 · 1)
753	752, 724	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 0) · 1) = 1
754	751, 753	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = 1)
755	162	ffnd 6687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷)
756	175	ffnd 6687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
757	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)))
758		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0)
759	758	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘0))
760	759	fveq1d 6864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
761	760	sumeq2dv 15720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
762		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐷)
763		sumex 15706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V
764	763	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V)
765	757, 761, 762, 764	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
766	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)))
767		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
768	767	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0))
769	768	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
770		ovexd 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
771	766, 769, 762, 770	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
772	755, 756, 183, 183, 184, 765, 771	ofval 7666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
773	674, 772	mpdan 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
774	193	fveq1i 6863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0)
775	186	fvconst2 7183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ 𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
776	674, 775	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
777	774, 776	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) = 1)
778	754, 773, 777	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0))
779	98, 99, 100, 185, 201, 636, 668, 674, 778	dv11cn 26051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
780	779	oveq1d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
781		nfv 1933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0
782	105, 781	nfim 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
783	172	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0))
784	109, 783	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)))
785	782, 784, 575	chvarfv 2274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
786	166, 785, 168	cxpne0d 26766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)
787		eldifsn 4743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0))
788	169, 786, 787	sylanbrc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
789	788, 174	fmptd 7090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0}))
790		ofdivcan4 44864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
791	183, 162, 789, 790	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘f · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
792		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
793	103, 23, 183, 239, 604, 792, 595	offval2f 7670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
794	780, 791, 793	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
795	553, 575, 603	cxpnegd 26768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
796	236	negnegd 11527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → --𝐶 = 𝐶)
797	796	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
798	795, 797	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
799	798	mpteq2dva 5190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
800	794, 799	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
801		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)
802		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)
803	172	oveq1d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
804	23, 24, 801, 802, 803	cbvmptf 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
805	800, 804	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)))
806		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
807	806	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴)))
808	807	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
809		1cnd 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
810	809, 60	addcld 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
811	810, 720	cxpcld 26761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
812	805, 808, 91, 811	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
813	704	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
814		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴))
815	814	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))
816	813, 815	oveq12d 7409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
817	816	mpteq2dva 5190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
818	121	mptex 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V
819	818	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V)
820	513, 817, 60, 819	fvmptd 6978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
821		ovexd 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V)
822	820, 821	fvmpt2d 6984	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
823	822	sumeq2dv 15720	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
824	94, 812, 823	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
825	824	oveq1d 7406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
826	43, 46	rerpdivcld 13062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
827	826	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
828	66, 827	readdcld 11205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
829		df-neg 11411	. . . . . . 7 ⊢ -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴))
830	826	recnd 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
831	830	negcld 11523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
832	831	abscld 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
833		1red 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
834	830	absnegd 15470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
835	46	rpne0d 13036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
836	44, 47, 835	absdivd 15476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
837	834, 836	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
838	44	abscld 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
839	669	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
840	47, 835	absrpcld 15469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
841	838	recnd 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
842	841	div1d 11953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
843	842, 53	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴))
844	838, 839, 840, 843	ltdiv23d 13098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
845	837, 844	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1)
846	832, 833, 845	ltled 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
847	826	renegcld 11608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
848	847, 833	absled 15451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)))
849	846, 848	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))
850	849	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)
851	829, 850	eqbrtrrid 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
852		0red 11178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
853	852, 826, 833	lesubaddd 11778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))))
854	851, 853	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
855	854	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
856	46	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
857	856	rpred 13031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
858	856	rpge0d 13035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
859	828, 855, 857, 858, 720	mulcxpd 26781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
860	809, 60, 48	adddird 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)))
861	48	mullidd 11194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
862	45, 48, 59	divcan1d 11962	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵)
863	861, 862	oveq12d 7409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵))
864	860, 863	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
865	864	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
866	859, 865	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
867	60	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
868		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
869	867, 868	expcld 14153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
870	733, 869	mulcld 11196	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ)
871	46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2	binomcxplemcvg 44891	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
872	871	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
873	91, 872	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
874	48, 720	cxpcld 26761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
875	112, 675, 822, 870, 873, 874	isummulc1 15781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
876	44	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
877	47	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
878	835	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
879	876, 877, 878	divrecd 11964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴)))
880	879	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘))
881	877, 878	reccld 11954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
882	876, 881, 868	mulexpd 14168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
883	880, 882	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
884	883	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
885	876, 868	expcld 14153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
886	881, 868	expcld 14153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
887	733, 885, 886	mulassd 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
888	884, 887	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
889	888	oveq1d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)))
890	733, 885	mulcld 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
891	874	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
892	890, 886, 891	mul32d 11387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
893	890, 891, 886	mulassd 11199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
894	889, 892, 893	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
895	868	nn0cnd 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
896	877, 895	cxpcld 26761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) ∈ ℂ)
897	877, 878, 895	cxpne0d 26766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) ≠ 0)
898	891, 896, 897	divrecd 11964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))))
899	71	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
900	877, 878, 899, 895	cxpsubd 26771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)))
901	868	nn0zd 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
902	877, 878, 901	exprecd 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑘)))
903		cxpexp 26721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘))
904	877, 868, 903	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘))
905	904	oveq2d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴↑𝑘)))
906	902, 905	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))
907	906	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))))
908	898, 900, 907	3eqtr4rd 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))
909	908	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))))
910	899, 895	subcld 11536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
911	877, 910	cxpcld 26761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ)
912	733, 885, 911	mul32d 11387	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)))
913	894, 909, 912	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)))
914	733, 911, 885	mulassd 11199	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
915	913, 914	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
916	915	sumeq2dv 15720	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
917	875, 916	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
918	825, 866, 917	3eqtr3d 2804	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4579  {cpr 4581  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643   “ cima 5646   ∘ ccom 5647  Rel wrel 5648   Fn wfn 6511  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_f cof 7653  Fincfn 8921  supcsup 9380  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ℝ⁺crp 12987  [,)cico 13345  seqcseq 14008  ↑cexp 14068   shift cshi 15073  abscabs 15252   ⇝ cli 15502  Σcsu 15704   ↾_t crest 17440  TopOpenctopn 17441  ∞Metcxmet 21397  ballcbl 21399  ℂ_fldccnfld 21412  Topctop 22941  TopSpctps 22980  intcnt 23065   D cdv 25913  ↑_𝑐ccxp 26608  C_𝑐cbcc 44873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-prod 15925  df-risefac 16027  df-fallfac 16028  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-tan 16092  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-cmp 23435  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-ulm 26428  df-log 26609  df-cxp 26610  df-bcc 44874

This theorem is referenced by:  binomcxp  44894