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Theorem binomcxplemnotnn0 40556
Description: Lemma for binomcxp 40557. When 𝐶 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 40549 —which we will call 𝑃 —is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 24936 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 24927 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐶 · 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ((1 + 0)↑𝑐𝐶) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = (𝑃𝑏).

Finally, let 𝑏 be (𝐵 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) and the sum (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) by (𝐴𝑐𝐶) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnotnn0 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝑟,𝐴   𝐵,𝑏,𝑘,𝑟   𝑗,𝑏,𝜑,𝑘   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘,𝑟   𝑆,𝑘,𝑟   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑟)   𝐷(𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
2 binomcxplem.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
3 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑏abs
4 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑏0
5 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑏[,)
6 binomcxplem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 +
8 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9 nfmpt1 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
108, 9nfcxfr 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝑆
11 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝑟
1210, 11nffv 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏(𝑆𝑟)
134, 7, 12nfseq 13369 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1413nfel1 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏
1614, 15nfrab 3392 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏*
18 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 8904 . . . . . . . . . . . 12 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
206, 19nfcxfr 2980 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑅
214, 5, 20nfov 7178 . . . . . . . . . 10 𝑏(0[,)𝑅)
223, 21nfima 5935 . . . . . . . . 9 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
232, 22nfcxfr 2980 . . . . . . . 8 𝑏𝐷
24 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑥𝐷
25 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)
26 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑏0
27 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑥
2810, 27nffv 6677 . . . . . . . . . 10 𝑏(𝑆𝑥)
29 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑘
3028, 29nffv 6677 . . . . . . . . 9 𝑏((𝑆𝑥)‘𝑘)
3126, 30nfsumw 15037 . . . . . . . 8 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)
32 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
3332fveq2d 6671 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑏) = (𝑆𝑥))
3433fveq1d 6669 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3534sumeq2dv 15050 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3623, 24, 25, 31, 35cbvmptf 5162 . . . . . . 7 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
371, 36eqtri 2849 . . . . . 6 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘))
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)))
39 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
4039fveq2d 6671 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)))
4140fveq1d 6669 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
4241sumeq2dv 15050 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
43 binomcxp.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46 binomcxp.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4746rpcnd 12423 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4847adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 0red 10633 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
5045abscld 14786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5148abscld 14786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5245absge0d 14794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53 binomcxp.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
5549, 50, 51, 52, 54lelttrd 10787 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
5655gt0ne0d 11193 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
5748abs00ad 14640 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5857necon3bid 3065 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
5956, 58mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
6045, 48, 59divcld 11405 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
6160abscld 14786 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
6260absge0d 14794 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
6351recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
6463mulid1d 10647 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
6554, 64breqtrrd 5091 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1))
66 1red 10631 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
6751, 55elrpd 12418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6850, 66, 67ltdivmuld 12472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘𝐵) < ((abs‘𝐴) · 1)))
6965, 68mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
7045, 48, 59absdivd 14805 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
71 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
72 binomcxplem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7346, 43, 53, 71, 72, 8, 6binomcxplemradcnv 40552 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
7469, 70, 733brtr4d 5095 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)
75 0re 10632 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
76 ssrab2 4060 . . . . . . . . . . 11 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
77 ressxr 10674 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
7876, 77sstri 3980 . . . . . . . . . 10 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
79 supxrcl 12698 . . . . . . . . . 10 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
816, 80eqeltri 2914 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ*
82 elico2 12790 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)))
8375, 81, 82mp2an 688 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))
8461, 62, 74, 83syl3anbrc 1337 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
852eleq2i 2909 . . . . . . 7 ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
86 absf 14687 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
87 ffn 6511 . . . . . . . 8 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
88 elpreima 6824 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . 7 ((𝐵 / 𝐴) ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9085, 89bitri 276 . . . . . 6 ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9160, 84, 90sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92 sumex 15034 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V)
9438, 42, 91, 93fvmptd 6771 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘))
95 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9695cnbl0 23300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
9781, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
982, 97eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
99 0cnd 10623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
10081a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ*)
101 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
102101adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
103 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0)
10423nfcri 2976 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 𝑥𝐷
105103, 104nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷)
10631nfel1 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ
107105, 106nfim 1890 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
108 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏𝐷𝑥𝐷))
109108anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷)))
11035eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))
111109, 110imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)))
112 nn0uz 12269 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
113 0zd 11982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 0 ∈ ℤ)
114 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑏)‘𝑘))
115 cnvimass 5947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
1162, 115eqsstri 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 ⊆ dom abs
11786fdmi 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom abs = ℂ
118116, 117sseqtri 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ℂ
119118sseli 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐷𝑏 ∈ ℂ)
1208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))))
121 nn0ex 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ V
122121mptex 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V)
124120, 123fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
125 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
126124, 125fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
12772a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
128 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
129128oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
130 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
131 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
132127, 129, 130, 131fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
133132oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
134133adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
135126, 134eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
136119, 135sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
13771ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
138 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139137, 138bcccl 40539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
140119ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
141140, 138expcld 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
142139, 141mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
143136, 142eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
144143adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
145 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝐷𝑏𝐷))
146145anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑𝑥𝐷) ↔ (𝜑𝑏𝐷)))
147 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑏))
148147seqeq3d 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆𝑥)) = seq0( + , (𝑆𝑏)))
149148eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
150 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑏 → (𝐸𝑥) = (𝐸𝑏))
151150seqeq3d 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸𝑥)) = seq1( + , (𝐸𝑏)))
152151eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
153149, 152anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )))
154146, 153imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))))
155 binomcxplem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
15646, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemcvg 40554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
157154, 156chvarv 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
158157simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
159158adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
160112, 113, 114, 144, 159isumcl 15106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
161107, 111, 160chvar 2409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)
162161, 37fmptd 6874 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ)
163 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
164118sseli 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
165164adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
166163, 165addcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ)
16771ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
168167negcld 10973 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
169166, 168cxpcld 25207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
170 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)
171 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)
172 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥))
173172oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
17423, 24, 170, 171, 173cbvmptf 5162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))
175169, 174fmptd 6874 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ)
176 cnex 10607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ V
177 fex 6984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
17886, 176, 177mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
179178cnvex 7618 . . . . . . . . . . . . . 14 abs ∈ V
180 imaexg 7608 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∈ V → (abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V)
181179, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V
1822, 181eqeltri 2914 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V)
184 inidm 4199 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝐷) = 𝐷
185102, 162, 175, 183, 183, 184off 7414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
186 1ex 10626 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
187186fconst 6562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1}
188 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 × {1}) = (𝑥𝐷 ↦ 1)
189 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏1
190 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥1
191 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1)
19224, 23, 189, 190, 191cbvmptf 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐷 ↦ 1) = (𝑏𝐷 ↦ 1)
193188, 192eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 × {1}) = (𝑏𝐷 ↦ 1)
194193feq1i 6502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1})
195187, 194mpbi 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}
196 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
197 snssi 4740 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
198196, 197ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {1} ⊆ ℂ
199 fss 6524 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
200195, 198, 199mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ
201200a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ)
202 cnelprrecn 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
20446, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2, 1binomcxplemdvsum 40555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
205204adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
206 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
207 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑏
208 nfmpt1 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
209155, 208nfcxfr 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑏𝐸
210209, 27nffv 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑏(𝐸𝑥)
211210, 29nffv 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑏((𝐸𝑥)‘𝑘)
212207, 211nfsumw 15037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘)
213 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥)
214213fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸𝑏) = (𝐸𝑥))
215214fveq1d 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑥)‘𝑘))
216215sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘))
21723, 24, 206, 212, 216cbvmptf 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘))
218205, 217syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘)))
219 sumex 15034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘) ∈ V
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑥)‘𝑘) ∈ V)
221218, 220fmpt3d 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃):𝐷⟶V)
222221fdmd 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷)
22346, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemdvbinom 40553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
224 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
225 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
226172oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
227226oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
22823, 24, 224, 225, 227cbvmptf 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
229223, 228syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
230168, 163subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
231166, 230cxpcld 25207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
232168, 231mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
233229, 232fmpt3d 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ)
234233fdmd 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷)
235203, 162, 175, 222, 234dvmulf 24458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f · 𝑃)))
23671ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
237236mulid1d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
238237oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
239 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℂ)
240 nnuz 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℕ = (ℤ‘1)
241 1zzd 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℤ)
242 nnnn0 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
243242, 136sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
244243adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
24571ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
246 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
247245, 246bcccl 40539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
248242, 247sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
249119adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ)
250249adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℂ)
251250, 246expcld 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
252242, 251sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏𝑘) ∈ ℂ)
253248, 252mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
254 1nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℕ0
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑏𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
256112, 255, 143iserex 15003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑏𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ))
257158, 256mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
258257adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ )
259240, 241, 244, 253, 258isumcl 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
260236, 239, 259adddid 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
261155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜑𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
262 nnex 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ℕ ∈ V
263262mptex 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
264263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
265261, 264fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
266119, 265sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
267266adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
268 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
269267, 268fmpt3d 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏):ℕ⟶V)
270269feqmptd 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
271 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V)
272265, 271fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
273242, 132sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
274273oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)))
275274oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
276275adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
277272, 276eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
27871adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
279 nnm1nn0 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
280279adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
281278, 280bccp1k 40541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))))
282242adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
283282nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
284 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
285283, 284npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
286285oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
287285oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))
288287oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
289281, 286, 2883eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
290289oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
291278, 280bcccl 40539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
292283, 284subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
293278, 292subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
294 nnne0 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
295294adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
296291, 293, 283, 295divassd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))
297296oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))))
298291, 293mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
299298, 283, 295divcan2d 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
300290, 297, 2993eqtr2d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))))
301300oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
302301adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
303291adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
304293adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
305303, 304mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))))
306305oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
307277, 302, 3063eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
308119, 307sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
309308adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
310309mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
311270, 310eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐸𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
312311oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1))
313 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
314 ovex 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V
315 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1))
316315oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)))
317315oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
318316, 317oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))))
319315oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))
320318, 319oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))
321 1pneg1e0 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (1 + -1) = 0
322321fveq2i 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ℤ‘(1 + -1)) = (ℤ‘0)
323112, 322eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 = (ℤ‘(1 + -1))
324241znegcld 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -1 ∈ ℤ)
325313, 314, 320, 240, 323, 241, 324uzmptshftfval 40546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))))
326 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1))
327326oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) − 1))
328327oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)))
329327oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
330328, 329oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) = ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))))
331327oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))
332330, 331oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) = (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
333332cbvmptv 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))))
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
335312, 325, 3343eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))))
336 nn0cn 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
337 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
338336, 337subnegd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 − -1) = (𝑘 + 1))
339338oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
340336, 337pncand 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
341339, 340eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
342341adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘)
343342oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶𝑘))
344342oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
345343, 344oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
346342oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏𝑘))
347345, 346oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
348347mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
349335, 348eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐸𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
350 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
351349, 350fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
352242, 351sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
353336adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
354245, 353subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
355354, 247mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
356355, 251mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
357242, 356sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
358 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑏)‘𝑗))
359358oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))
360359cbvmptv 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))
361309oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
362249adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
36371ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
364 nncn 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
365364adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
366 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
367365, 366subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
368363, 367subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
369279adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
370363, 369bcccl 40539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
371368, 370mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
372362, 369expcld 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
373362, 371, 372mul12d 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
374362, 372mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
375362, 369expp1d 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏))
376285adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
377376adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
378377oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏𝑘))
379374, 375, 3783eqtr2d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏𝑘))
380379oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
381373, 380eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
382361, 381eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
383382mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
384360, 383syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
385 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
386384, 385fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
387371, 252mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
388 climrel 14839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Rel ⇝
389157simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )
390389adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ )
391 climdm 14901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
392390, 391sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
393 0z 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ ℤ
394 neg1z 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 ∈ ℤ
395 fvex 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐸𝑏) ∈ V
396395seqshft 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1))
397393, 394, 396mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
398 0cn 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ℂ
399398, 196subnegi 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 − -1) = (0 + 1)
400 0p1e1 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 + 1) = 1
401399, 400eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 − -1) = 1
402 seqeq1 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) = seq1( + , (𝐸𝑏)))
403401, 402ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) = seq1( + , (𝐸𝑏))
404403oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (seq(0 − -1)( + , (𝐸𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
405397, 404eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1)
406405breq1i 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
407 seqex 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ V
408 climshft 14923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((-1 ∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))))
409394, 407, 408mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((seq1( + , (𝐸𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
410406, 409bitri 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
411392, 410sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))
412 releldm 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
413388, 411, 412sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
414254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 1 ∈ ℕ0)
415351, 356eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
416112, 414, 415iserex 15003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (seq0( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
417413, 416mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , ((𝐸𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
418371, 372mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
419309, 418eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
420386, 382eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
421240, 241, 249, 392, 419, 420isermulc2 15004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏)))))
422 releldm 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
423388, 421, 422sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ )
424240, 241, 352, 357, 386, 387, 417, 423isumadd 15112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
425424oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
426363, 365subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
427426, 248mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
428427, 371, 252adddird 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
429428sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
430429oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
431307sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
432431oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
433119, 432sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
434433adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
435240, 241, 309, 418, 390isumcl 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
436239, 249, 435adddird 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
437435mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
438240, 241, 309, 418, 390, 249isummulc2 15107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
439381sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
440438, 439eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))
441437, 440oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
442434, 436, 4413eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
443400fveq2i 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
444240, 443eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
445 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1))
446445oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)))
447445oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))
448446, 447oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))))
449445oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))
450448, 449oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
451112, 444, 450, 241, 113, 418isumshft 15184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))))
452 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘))
453452oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1))
454453oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)))
455453oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))
456454, 455oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))))
457453oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
458456, 457oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
459458cbvsumv 15043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))))
461 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
462461, 353pncan2d 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑘) − 1) = 𝑘)
463462oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶𝑘))
464462oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘))
465463, 464oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)))
466462oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏𝑘))
467465, 466oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
468467sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
469451, 460, 4683eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
470112, 113, 351, 356, 413isum1p 15186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = ((((𝐸𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
471 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
472471oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶𝑘) = (𝐶 − 0))
473471oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
474472, 473oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)))
475471oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏𝑘) = (𝑏↑0))
476474, 475oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
477 0nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 ∈ ℕ0
478477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
479 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈ V)
480349, 476, 478, 479fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)))
481236subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶)
482236bccn0 40543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶C𝑐0) = 1)
483481, 482oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1))
484483, 237eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶)
485249exp0d 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏↑0) = 1)
486484, 485oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1))
487480, 486, 2373eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐸𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶)
488444eqcomi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
489488sumeq1i 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))
490489a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
491487, 490oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐸𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))(((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
492469, 470, 4913eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
493492oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))))
494240, 241, 352, 357, 417isumcl 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
495249, 435mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
496440, 495eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
497236, 494, 496addassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
498442, 493, 4973eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏𝑘)))))
499425, 430, 4983eqtr4rd 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))))
500 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
501278, 500binomcxplemwb 40548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)))
502501oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
503502sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)))
504503oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
505504ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))))
506363, 248, 252mulassd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
507506sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
508240, 241, 244, 253, 258, 236isummulc2 15107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
509507, 508eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
510509oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
511499, 505, 5103eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
512238, 260, 5113eqtr4rd 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))))
5138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))))
514122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) ∈ V)
515513, 514fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
516119, 515sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑆𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
517 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ V)
518516, 517fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
519518sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
52071adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
521520, 130bcccl 40539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
522132, 521eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
523522adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
524523adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
525524, 251mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) ∈ ℂ)
526112, 113, 518, 525, 159isum1p 15186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = (((𝑆𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
527471fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
528527, 475oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
529 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V)
530516, 528, 478, 529fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑆𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)))
53172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
532 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
533532oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0))
534477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
535 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈ V)
536531, 533, 534, 535fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
537536ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0))
538537, 482eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘0) = 1)
539538, 485oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1))
540239mulid1d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 · 1) = 1)
541530, 539, 5403eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑆𝑏)‘0) = 1)
542488sumeq1i 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))
543133adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
544242, 543sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
545544adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
546545sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
547542, 546syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))
548541, 547oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝑆𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))))
549519, 526, 5483eqtrrd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
550549oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
551512, 550eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
552236, 160mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
553239, 249addcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ)
554 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐸𝑏)‘𝑘))
555240, 241, 554, 419, 390isumcl 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ)
556239, 249subnegd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏))
557249negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ)
558 elpreima 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (abs Fn ℂ → (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))))
55986, 87, 558mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))
560559simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
561560, 2eleq2s 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))
562 elico2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)))
56375, 81, 562mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅))
564563simp3bi 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
565561, 564syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅)
566565adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅)
567249absnegd 14799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏))
568567eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏))
56973adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑅 = 1)
570566, 568, 5693brtr3d 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1)
571 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
572 abssubne0 14666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
573571, 572mp3an2 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
574557, 570, 573syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0)
575556, 574eqnetrrd 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0)
576552, 553, 555, 575divmuld 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
577551, 576mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
578236, 160, 553, 575div23d 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
579577, 578eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
580579mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
581 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
582 sumex 15034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ V
583582a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ V)
584 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))))
5851a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
586103, 23, 183, 581, 583, 584, 585offval2f 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
587580, 205, 5863eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D 𝑃) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃))
588587oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
589223oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f · 𝑃) = ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃))
590588, 589oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((ℂ D 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((ℂ D (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f · 𝑃)) = ((((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃)))
591 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V)
592 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
593 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ V)
594 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
595 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
596103, 23, 183, 593, 594, 586, 595offval2f 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
597 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ V)
598 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))))
599103, 23, 183, 597, 583, 598, 585offval2f 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
600103, 23, 183, 591, 592, 596, 599offval2f 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((((𝑏𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘f · 𝑃) ∘f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f + ((𝑏𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) ∘f · 𝑃)) = (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))))
601235, 590, 6003eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))))
602236, 553, 575divcld 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ)
603236negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
604553, 603cxpcld 25207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ)
605602, 160, 604mul32d 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
606236, 553, 604, 575div32d 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))))
607553, 575, 603, 239cxpsubd 25217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
608553cxp1d 25205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
609608oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))
610607, 609eqtr2d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))
611610oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
612606, 611eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
613612oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
614605, 613eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
615603, 239subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ)
616553, 615cxpcld 25207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈ ℂ)
617236, 616mulneg1d 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
618617oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
619236, 616mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈ ℂ)
620619, 160mulneg1d 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
621618, 620eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))
622614, 621oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))))
623619, 160mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ)
624623negidd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = 0)
625622, 624eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))) = 0)
626625mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
627601, 626eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
628 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0
629 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0)
63024, 23, 4, 628, 629cbvmptf 5162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 ↦ 0) = (𝑏𝐷 ↦ 0)
631627, 630syl6eqr 2879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
632 c0ex 10624 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
633632snid 4598 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0}
634633a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ {0})
635631, 634fmpt3d 6876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0})
636635fdmd 6520 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷)
637 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
638 0cnd 10623 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
639 dvconst 24432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
640196, 639ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
641 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
642641oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
643 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
644640, 642, 6433eqtr3i 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
645644a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
646118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆ ℂ)
647 fvex 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
648 cnfldtps 23304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld ∈ TopSp
649 cnfldbas 20468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ = (Base‘ℂfld)
650 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
651649, 650tpsuni 21463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂfld ∈ TopSp → ℂ = (TopOpen‘ℂfld))
652648, 651ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
653652restid 16697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
654647, 653ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
655654eqcomi 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
656650cnfldtop 23310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
657 cnxmet 23299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
658650cnfldtopn 23308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
659658blopn 23028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
660657, 398, 81, 659mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
66198, 660eqeltri 2914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
662 isopn3i 21609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
663656, 661, 662mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷
664663a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷)
665203, 637, 638, 645, 646, 655, 650, 664dvmptres2 24477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ 1)) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
666192oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1))
667665, 666, 6303eqtr3g 2884 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1)) = (𝑏𝐷 ↦ 0))
668626, 601, 6673eqtr4d 2871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏𝐷 ↦ 1)))
669 1rp 12383 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
67073, 669syl6eqel 2926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℝ+)
671 blcntr 22941 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
672657, 398, 671mp3an12 1444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
673670, 672syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
674673, 98syl6eleqr 2929 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝐷)
675 0zd 11982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
676 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
677 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏𝜑
67823nfel2 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏0 ∈ 𝐷
679677, 678nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)
680 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
681679, 680nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
68210, 4nffv 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏(𝑆‘0)
683682, 29nffv 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏((𝑆‘0)‘𝑘)
684683nfel1 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ
685681, 684nfim 1890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
686 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 → (𝑏𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
687686anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → ((𝜑𝑏𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷)))
688687anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
689 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 → (𝑆𝑏) = (𝑆‘0))
690689fveq1d 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
691690eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ))
692688, 691imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)))
693685, 632, 692, 143vtoclf 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
694674, 693syldanl 601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)
6954, 7, 682nfseq 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑏seq0( + , (𝑆‘0))
696695nfel1 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
697679, 696nfim 1890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
698689seqeq3d 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0)))
699698eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ ))
700687, 699imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 → (((𝜑𝑏𝐷) → seq0( + , (𝑆𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )))
701697, 632, 700, 158vtoclf 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
702674, 701syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝ )
703112, 675, 676, 694, 702isum1p 15186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)))
704132adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
705704adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
706 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0)
707706oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (0↑𝑘))
708705, 707oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
709708mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
710121mptex 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V
711710a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V)
712513, 709, 99, 711fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))))
713 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
714713oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0))
715713oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0))
716714, 715oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
717477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
718 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) ∈ V)
719712, 716, 717, 718fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)))
72071adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
721720bccn0 40543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) = 1)
72299exp0d 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (0↑0) = 1)
723721, 722oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) · (0↑0)) = (1 · 1))
724 1t1e1 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 1) = 1
725724a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 1) = 1)
726719, 723, 7253eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = 1)
727 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V)
728712, 727fvmpt2d 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
729242, 728sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))
730 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7317300expd 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
732731oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0))
733521adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
734242, 733sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
735734mul01d 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) = 0)
736729, 732, 7353eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
737736sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0)
738444sumeq1i 15045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)
739240eqimssi 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
740739orci 861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
741 sumz 15069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0)
742740, 741ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
743737, 738, 7423eqtr3g 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0)
744726, 743oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0))
745703, 744eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0))
746 1p0e1 11750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 0) = 1
747746oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶)
748720negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈ ℂ)
7497481cxpd 25206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1↑𝑐-𝐶) = 1)
750747, 749syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) = 1)
751745, 750oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1))
752746oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 0) · 1) = (1 · 1)
753752, 724eqtri 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 0) · 1) = 1
754751, 753syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) = 1)
755162ffnd 6512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷)
756175ffnd 6512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷)
75737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘)))
758 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0)
759758fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘0))
760759fveq1d 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘))
761760sumeq2dv 15050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
762 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐷)
763 sumex 15034 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V
764763a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V)
765757, 761, 762, 764fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘))
766174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)))
767 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
768767oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0))
769768oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
770 ovexd 7183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((1 + 0)↑𝑐-𝐶) ∈ V)
771766, 769, 762, 770fvmptd 6771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶))
772755, 756, 183, 183, 184, 765, 771ofval 7408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) → ((𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
773674, 772mpdan 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)))
774193fveq1i 6668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0)
775186fvconst2 6962 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ 𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
776674, 775syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) = 1)
777774, 776syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0) = 1)
778754, 773, 7773eqtr4d 2871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏𝐷 ↦ 1)‘0))
77998, 99, 100, 185, 201, 636, 668, 674, 778dv11cn 24516 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ 1))
780779oveq1d 7163 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏𝐷 ↦ 1) ∘f / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
781 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0
782105, 781nfim 1890 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
783172neeq1d 3080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0))
784109, 783imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)))
785782, 784, 575chvar 2409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0)
786166, 785, 168cxpne0d 25212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)
787 eldifsn 4718 . . . . . . . . . . 11 (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0))
788169, 786, 787sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
789788, 174fmptd 6874 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0}))
790 ofdivcan4 40527 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
791183, 162, 789, 790syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃f · (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘f / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃)
792 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ 1) = (𝑏𝐷 ↦ 1))
793103, 23, 183, 239, 604, 792, 595offval2f 7411 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏𝐷 ↦ 1) ∘f / (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
794780, 791, 7933eqtr3d 2869 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))))
795553, 575, 603cxpnegd 25214 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))
796236negnegd 10977 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → --𝐶 = 𝐶)
797796oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
798795, 797eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))
799798mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
800794, 799eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)))
801 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑥((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)
802 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑏((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)
803172oveq1d 7163 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
80423, 24, 801, 802, 803cbvmptf 5162 . . . . . 6 (𝑏𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))
805800, 804syl6eq 2877 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)))
806 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
807806oveq2d 7164 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴)))
808807oveq1d 7163 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
809 1cnd 10625 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
810809, 60addcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
811810, 720cxpcld 25207 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
812805, 808, 91, 811fvmptd 6771 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶))
813704adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
814 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴))
815814oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))
816813, 815oveq12d 7166 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
817816mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
818121mptex 6981 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V
819818a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V)
820513, 817, 60, 819fvmptd 6771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))))
821 ovexd 7183 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V)
822820, 821fvmpt2d 6777 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
823822sumeq2dv 15050 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
82494, 812, 8233eqtr3d 2869 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))
825824oveq1d 7163 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
82643, 46rerpdivcld 12452 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
827826adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
82866, 827readdcld 10659 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 + (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
829 df-neg 10862 . . . . . . 7 -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴))
830826recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
831830negcld 10973 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
832831abscld 14786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
833 1red 10631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
834830absnegd 14799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴)))
83546rpne0d 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≠ 0)
83644, 47, 835absdivd 14805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
837834, 836eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
83844abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
839669a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
84047, 835absrpcld 14798 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
841838recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
842841div1d 11397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵))
843842, 53eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴))
844838, 839, 840, 843ltdiv23d 12488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1)
845837, 844eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1)
846832, 833, 845ltled 10777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
847826renegcld 11056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
848847, 833absled 14780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)))
849846, 848mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))
850849simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)
851829, 850eqbrtrrid 5099 . . . . . 6 (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1)
852 0red 10633 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
853852, 826, 833lesubaddd 11226 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))))
854851, 853mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
855854adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))
85646adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
857856rpred 12421 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
858856rpge0d 12425 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
859828, 855, 857, 858, 720mulcxpd 25227 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)))
860809, 60, 48adddird 10655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)))
86148mulid2d 10648 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
86245, 48, 59divcan1d 11406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵)
863861, 862oveq12d 7166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵))
864860, 863eqtrd 2861 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
865864oveq1d 7163 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
866859, 865eqtr3d 2863 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶))
86760adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
868 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
869867, 868expcld 13500 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
870733, 869mulcld 10650 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ)
87146, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemcvg 40554 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
872871simpld 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
87391, 872syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
87448, 720cxpcld 25207 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
875112, 675, 822, 870, 873, 874isummulc1 15108 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
87644ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
87747ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
878835ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0)
879876, 877, 878divrecd 11408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴)))
880879oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘))
881877, 878reccld 11398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
882876, 881, 868mulexpd 13515 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘) = ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
883880, 882eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
884883oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
885876, 868expcld 13500 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
886881, 868expcld 13500 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
887733, 885, 886mulassd 10653 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
888884, 887eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
889888oveq1d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)))
890733, 885mulcld 10650 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
891874adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
892890, 886, 891mul32d 10839 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))
893890, 891, 886mulassd 10653 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
894889, 892, 8933eqtrd 2865 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))))
895868nn0cnd 11946 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
896877, 895cxpcld 25207 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) ∈ ℂ)
897877, 878, 895cxpne0d 25212 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) ≠ 0)
898891, 896, 897divrecd 11408 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐴𝑐𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐴𝑐𝑘))))
89971ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
900877, 878, 899, 895cxpsubd 25217 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) / (𝐴𝑐𝑘)))
901868nn0zd 12074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
902877, 878, 901exprecd 13508 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴𝑘)))
903 cxpexp 25167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑘))
904877, 868, 903syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑘))
905904oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴𝑘)))
906902, 905eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴𝑐𝑘)))
907906oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐶) · (1 / (𝐴𝑐𝑘))))
908898, 900, 9073eqtr4rd 2872 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴𝑐(𝐶𝑘)))
909908oveq2d 7164 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · ((𝐴𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))))
910899, 895subcld 10986 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
911877, 910cxpcld 25207 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐶𝑘)) ∈ ℂ)
912733, 885, 911mul32d 10839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)))
913894, 909, 9123eqtrd 2865 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)))
914733, 911, 885mulassd 10653 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴𝑐(𝐶𝑘))) · (𝐵𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
915913, 914eqtrd 2861 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
916915sumeq2dv 15050 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
917875, 916eqtrd 2861 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
918825, 866, 9173eqtr3d 2869 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  {crab 3147  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  {csn 4564  {cpr 4566   cuni 4837   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  ccnv 5553  dom cdm 5554  cima 5557  ccom 5558  Rel wrel 5559   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  f cof 7397  Fincfn 8498  supcsup 8893  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  +crp 12379  [,)cico 12730  seqcseq 13359  cexp 13419   shift cshi 14415  abscabs 14583  cli 14831  Σcsu 15032  t crest 16684  TopOpenctopn 16685  ∞Metcxmet 20449  ballcbl 20451  fldccnfld 20464  Topctop 21420  TopSpctps 21459  intcnt 21544   D cdv 24379  𝑐ccxp 25055  C𝑐cbcc 40536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-prod 15250  df-risefac 15350  df-fallfac 15351  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-tan 15415  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-fbas 20461  df-fg 20462  df-cnfld 20465  df-top 21421  df-topon 21438  df-topsp 21460  df-bases 21473  df-cld 21546  df-ntr 21547  df-cls 21548  df-nei 21625  df-lp 21663  df-perf 21664  df-cn 21754  df-cnp 21755  df-haus 21842  df-cmp 21914  df-tx 22089  df-hmeo 22282  df-fil 22373  df-fm 22465  df-flim 22466  df-flf 22467  df-xms 22848  df-ms 22849  df-tms 22850  df-cncf 23404  df-limc 24382  df-dv 24383  df-ulm 24883  df-log 25056  df-cxp 25057  df-bcc 40537
This theorem is referenced by:  binomcxp  40557
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