Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemnotnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemnotnn0 42710
Description: Lemma for binomcxp 42711. When 𝐢 is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 42703 β€”which we will call 𝑃 β€”is a convergent power series: its base 𝑏 is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 25805 gives the derivative of 𝑃, which by dvradcnv 25796 also converges in that radius. When 𝐴 is fixed at one, (𝐴 + 𝑏) times that derivative equals (𝐢 Β· 𝑃) and fraction (𝑃 / ((𝐴 + 𝑏)↑𝑐𝐢)) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constantβ€”specifically one, because ((1 + 0)↑𝑐𝐢) = 1. Thus ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢) = (π‘ƒβ€˜π‘).

Finally, let 𝑏 be (𝐡 / 𝐴), and multiply both the binomial ((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢) and the sum (π‘ƒβ€˜(𝐡 / 𝐴)) by (𝐴↑𝑐𝐢) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnotnn0 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑏,π‘Ÿ,𝐴   𝐡,𝑏,π‘˜,π‘Ÿ   𝑗,𝑏,πœ‘,π‘˜   𝐢,𝑏,𝑗,π‘˜   𝐹,𝑏,π‘˜,π‘Ÿ   𝑆,π‘˜,π‘Ÿ   𝐷,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐸,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(𝑗)   𝐡(𝑗)   𝐢(π‘Ÿ)   𝐷(π‘Ÿ,𝑏)   𝑃(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑏)   𝐸(π‘Ÿ,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemnotnn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
2 binomcxplem.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
3 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏◑abs
4 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏0
5 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏[,)
6 binomcxplem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
7 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑏 +
8 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
108, 9nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑏𝑆
11 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘π‘Ÿ
1210, 11nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘Ÿ)
134, 7, 12nfseq 13923 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ))
1413nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏ℝ
1614, 15nfrabw 3443 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏ℝ*
18 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 9394 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
206, 19nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏𝑅
214, 5, 20nfov 7392 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
223, 21nfima 6026 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏(β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
232, 22nfcxfr 2906 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏𝐷
24 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐷
25 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)
26 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏ℕ0
27 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏π‘₯
2810, 27nffv 6857 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘₯)
29 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘π‘˜
3028, 29nffv 6857 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜)
3126, 30nfsum 15582 . . . . . . . 8 β„²π‘Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜)
32 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = π‘₯)
3332fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘₯))
3433fveq1d 6849 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
3534sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 (𝑏 = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
3623, 24, 25, 31, 35cbvmptf 5219 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
371, 36eqtri 2765 . . . . . 6 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
3837a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜)))
39 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴))
4039fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴)))
4140fveq1d 6849 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜))
4241sumeq2dv 15595 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜))
43 binomcxp.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4443recnd 11190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
46 binomcxp.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
4746rpcnd 12966 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4847adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
49 0red 11165 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ ℝ)
5045abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
5148abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
5245absge0d 15336 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
53 binomcxp.lt . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
5453adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
5549, 50, 51, 52, 54lelttrd 11320 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 < (absβ€˜π΄))
5655gt0ne0d 11726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΄) β‰  0)
5748abs00ad 15182 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5857necon3bid 2989 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  0))
5956, 58mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 β‰  0)
6045, 48, 59divcld 11938 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
6160abscld 15328 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ ℝ)
6260absge0d 15336 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)))
6351recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6463mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π΄) Β· 1) = (absβ€˜π΄))
6554, 64breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΅) < ((absβ€˜π΄) Β· 1))
66 1red 11163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
6751, 55elrpd 12961 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
6850, 66, 67ltdivmuld 13015 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((absβ€˜π΅) / (absβ€˜π΄)) < 1 ↔ (absβ€˜π΅) < ((absβ€˜π΄) Β· 1)))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜π΅) / (absβ€˜π΄)) < 1)
7045, 48, 59absdivd 15347 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) = ((absβ€˜π΅) / (absβ€˜π΄)))
71 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
72 binomcxplem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
7346, 43, 53, 71, 72, 8, 6binomcxplemradcnv 42706 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = 1)
7469, 70, 733brtr4d 5142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) < 𝑅)
75 0re 11164 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
76 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
77 ressxr 11206 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ*
7876, 77sstri 3958 . . . . . . . . . 10 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
79 supxrcl 13241 . . . . . . . . . 10 ({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* β†’ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
816, 80eqeltri 2834 . . . . . . . 8 𝑅 ∈ ℝ*
82 elico2 13335 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∧ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) < 𝑅)))
8375, 81, 82mp2an 691 . . . . . . 7 ((absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∧ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) < 𝑅))
8461, 62, 74, 83syl3anbrc 1344 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))
852eleq2i 2830 . . . . . . 7 ((𝐡 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐡 / 𝐴) ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
86 absf 15229 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
87 ffn 6673 . . . . . . . 8 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
88 elpreima 7013 . . . . . . . 8 (abs Fn β„‚ β†’ ((𝐡 / 𝐴) ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))))
8986, 87, 88mp2b 10 . . . . . . 7 ((𝐡 / 𝐴) ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9085, 89bitri 275 . . . . . 6 ((𝐡 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))
9160, 84, 90sylanbrc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ 𝐷)
92 sumex 15579 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜) ∈ V)
9438, 42, 91, 93fvmptd 6960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐡 / 𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜))
95 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
9695cnbl0 24153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
9781, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
982, 97eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
99 0cnd 11155 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„‚)
10081a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
101 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
102101adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
103 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0)
10423nfcri 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑏 π‘₯ ∈ 𝐷
105103, 104nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
10631nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ β„‚
107105, 106nfim 1900 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏(((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
108 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = π‘₯ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ π‘₯ ∈ 𝐷))
109108anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)))
11035eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘₯ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ β„‚))
111109, 110imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘₯ β†’ ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)))
112 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . 14 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
113 0zd 12518 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„€)
114 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
115 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
1162, 115eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 βŠ† dom abs
11786fdmi 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom abs = β„‚
118116, 117sseqtri 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 βŠ† β„‚
119118sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
1208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
121 nn0ex 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„•0 ∈ V
122121mptex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) ∈ V)
124120, 123fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
125 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ V)
126124, 125fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
12772a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
128 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ 𝑗 = π‘˜)
129128oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
130 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
131 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ V)
132127, 129, 130, 131fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
133132oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
134133adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
135126, 134eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
136119, 135sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
13771ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
138 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
139137, 138bcccl 42693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
140119ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
141140, 138expcld 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
142139, 141mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
143136, 142eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
144143adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
145 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷))
146145anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)))
147 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘))
148147seqeq3d 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑏 β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘₯)) = seq0( + , (π‘†β€˜π‘)))
149148eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ))
150 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (πΈβ€˜π‘))
151150seqeq3d 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑏 β†’ seq1( + , (πΈβ€˜π‘₯)) = seq1( + , (πΈβ€˜π‘)))
152151eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (seq1( + , (πΈβ€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ))
153149, 152anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑏 β†’ ((seq0( + , (π‘†β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )))
154146, 153imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑏 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ))))
155 binomcxplem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
15646, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemcvg 42708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ))
157154, 156chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ))
158157simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )
159158adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )
160112, 113, 114, 144, 159isumcl 15653 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
161107, 111, 160chvarfv 2234 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
162161, 37fmptd 7067 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃:π·βŸΆβ„‚)
163 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„‚)
164118sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
165164adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
166163, 165addcld 11181 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 + π‘₯) ∈ β„‚)
16771ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
168167negcld 11506 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
169166, 168cxpcld 26079 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) ∈ β„‚)
170 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)
171 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢)
172 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘₯ β†’ (1 + 𝑏) = (1 + π‘₯))
173172oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘₯ β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) = ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢))
17423, 24, 170, 171, 173cbvmptf 5219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢))
175169, 174fmptd 7067 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)):π·βŸΆβ„‚)
176 cnex 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ ∈ V
177 fex 7181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ abs ∈ V)
17886, 176, 177mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 abs ∈ V
179178cnvex 7867 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘abs ∈ V
180 imaexg 7857 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘abs ∈ V β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ∈ V)
181179, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ∈ V
1822, 181eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐷 ∈ V)
184 inidm 4183 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
185102, 162, 175, 183, 183, 184off 7640 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))):π·βŸΆβ„‚)
186 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
187186fconst 6733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 Γ— {1}):𝐷⟢{1}
188 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 Γ— {1}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1)
189 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑏1
190 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯1
191 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑏 β†’ 1 = 1)
19224, 23, 189, 190, 191cbvmptf 5219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
193188, 192eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 Γ— {1}) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)
194193feq1i 6664 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 Γ— {1}):𝐷⟢{1} ↔ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟢{1})
195187, 194mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟢{1}
196 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
197 snssi 4773 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ β„‚ β†’ {1} βŠ† β„‚)
198196, 197ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 {1} βŠ† β„‚
199 fss 6690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟢{1} ∧ {1} βŠ† β„‚) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):π·βŸΆβ„‚)
200195, 198, 199mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):π·βŸΆβ„‚
201200a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):π·βŸΆβ„‚)
202 cnelprrecn 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
20446, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2, 1binomcxplemdvsum 42709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
205204adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
206 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
207 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑏ℕ
208 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
209155, 208nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ⅎ𝑏𝐸
210209, 27nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ⅎ𝑏(πΈβ€˜π‘₯)
211210, 29nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ⅎ𝑏((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜)
212207, 211nfsum 15582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜)
213 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑏 = π‘₯)
214213fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘) = (πΈβ€˜π‘₯))
215214fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
216215sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = π‘₯ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
21723, 24, 206, 212, 216cbvmptf 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
218205, 217eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D 𝑃) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜)))
219 sumex 15579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ V
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ V)
221218, 220fmpt3d 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D 𝑃):𝐷⟢V)
222221fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ dom (β„‚ D 𝑃) = 𝐷)
22346, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemdvbinom 42707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
224 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
225 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑏(-𝐢 Β· ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
226172oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = π‘₯ β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) = ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
227226oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = π‘₯ β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) = (-𝐢 Β· ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
22823, 24, 224, 225, 227cbvmptf 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
229223, 228eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
230168, 163subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
231166, 230cxpcld 26079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
232168, 231mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 Β· ((1 + π‘₯)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
233229, 232fmpt3d 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))):π·βŸΆβ„‚)
234233fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ dom (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = 𝐷)
235203, 162, 175, 222, 234dvmulf 25323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))) = (((β„‚ D 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f + ((β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f Β· 𝑃)))
23671ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
237236mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· 1) = 𝐢)
238237oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 Β· 1) + (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))) = (𝐢 + (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
239 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„‚)
240 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
241 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„€)
242 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
243242, 136sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
244243adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
24571ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
246 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
247245, 246bcccl 42693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
248242, 247sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
249119adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
250249adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
251250, 246expcld 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
252242, 251sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
253248, 252mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
254 1nn0 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ β„•0
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„•0)
256112, 255, 143iserex 15548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ))
257158, 256mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )
258257adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )
259240, 241, 244, 253, 258isumcl 15653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
260236, 239, 259adddid 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· (1 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))) = ((𝐢 Β· 1) + (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
261155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
262 nnex 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 β„• ∈ V
263262mptex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V
264263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V)
265261, 264fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (πΈβ€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
266119, 265sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
267266adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
268 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ V)
269267, 268fmpt3d 7069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜π‘):β„•βŸΆV)
270269feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
271 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ V)
272265, 271fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
273242, 132sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
274273oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)))
275274oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
276275adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
277272, 276eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
27871adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
279 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
280279adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
281278, 280bccp1k 42695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))))
282242adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
283282nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
284 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
285283, 284npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
286285oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
287285oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / π‘˜))
288287oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))) = ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / π‘˜)))
289281, 286, 2883eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) = ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / π‘˜)))
290289oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) = (π‘˜ Β· ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / π‘˜))))
291278, 280bcccl 42693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
292283, 284subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„‚)
293278, 292subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
294 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
295294adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
296291, 293, 283, 295divassd 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) / π‘˜) = ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / π‘˜)))
297296oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) / π‘˜)) = (π‘˜ Β· ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / π‘˜))))
298291, 293mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
299298, 283, 295divcan2d 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) / π‘˜)) = ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))))
300290, 297, 2993eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) = ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))))
301300oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
302301adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
303291adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
304293adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
305303, 304mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))))
306305oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
307277, 302, 3063eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
308119, 307sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
309308adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
310309mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
311270, 310eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΈβ€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
312311oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΈβ€˜π‘) shift -1) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) shift -1))
313 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
314 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ V
315 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ -1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))
316315oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ -1) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
317315oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ -1) β†’ (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
318316, 317oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ -1) β†’ ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
319315oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ -1) β†’ (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
320318, 319oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ -1) β†’ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
321 1pneg1e0 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (1 + -1) = 0
322321fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (β„€β‰₯β€˜(1 + -1)) = (β„€β‰₯β€˜0)
323112, 322eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜(1 + -1))
324241znegcld 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ -1 ∈ β„€)
325313, 314, 320, 240, 323, 241, 324uzmptshftfval 42700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)))))
326 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 βˆ’ -1) = (π‘˜ βˆ’ -1))
327326oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1) = ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))
328327oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
329327oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
330328, 329oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
331327oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
332330, 331oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
333332cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((𝑗 βˆ’ -1) βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)))))
335312, 325, 3343eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΈβ€˜π‘) shift -1) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)))))
336 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
337 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
338336, 337subnegd 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ βˆ’ -1) = (π‘˜ + 1))
339338oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1) = ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1))
340336, 337pncand 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ 1) = π‘˜)
341339, 340eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1) = π‘˜)
342341adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1) = π‘˜)
343342oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (𝐢 βˆ’ π‘˜))
344342oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
345343, 344oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)))
346342oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (π‘β†‘π‘˜))
347345, 346oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
348347mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ -1) βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
349335, 348eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΈβ€˜π‘) shift -1) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
350 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ V)
351349, 350fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜π‘˜) = (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
352242, 351sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜π‘˜) = (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
353336adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
354245, 353subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
355354, 247mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) ∈ β„‚)
356355, 251mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
357242, 356sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
358 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—))
359358oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))
360359cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))
361309oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝑏 Β· (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
362249adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
36371ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
364 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
365364adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
366 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
367365, 366subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„‚)
368363, 367subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
369279adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
370363, 369bcccl 42693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
371368, 370mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
372362, 369expcld 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
373362, 371, 372mul12d 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏 Β· (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏 Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
374362, 372mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏 Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 𝑏))
375362, 369expp1d 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = ((𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· 𝑏))
376285adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
377376adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
378377oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏↑((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = (π‘β†‘π‘˜))
379374, 375, 3783eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏 Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (π‘β†‘π‘˜))
380379oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏 Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
381373, 380eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏 Β· (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
382361, 381eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
383382mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
384360, 383eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
385 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ V)
386384, 385fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))β€˜π‘˜) = (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
387371, 252mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
388 climrel 15381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Rel ⇝
389157simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )
390389adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ )
391 climdm 15443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))
392390, 391sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))
393 0z 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ∈ β„€
394 neg1z 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 ∈ β„€
395 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πΈβ€˜π‘) ∈ V
396395seqshft 14977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((0 ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) = (seq(0 βˆ’ -1)( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1))
397393, 394, 396mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) = (seq(0 βˆ’ -1)( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1)
398 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ β„‚
399398, 196subnegi 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 βˆ’ -1) = (0 + 1)
400 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0 + 1) = 1
401399, 400eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 βˆ’ -1) = 1
402 seqeq1 13916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0 βˆ’ -1) = 1 β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , (πΈβ€˜π‘)) = seq1( + , (πΈβ€˜π‘)))
403401, 402ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 seq(0 βˆ’ -1)( + , (πΈβ€˜π‘)) = seq1( + , (πΈβ€˜π‘))
404403oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (seq(0 βˆ’ -1)( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1) = (seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1)
405397, 404eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) = (seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1)
406405breq1i 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))) ↔ (seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))
407 seqex 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ V
408 climshft 15465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((-1 ∈ β„€ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ∈ V) β†’ ((seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))) ↔ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘)))))
409394, 407, 408mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))) ↔ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))
410406, 409bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))) ↔ seq1( + , (πΈβ€˜π‘)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))
411392, 410sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))
412 releldm 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Rel ⇝ ∧ seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘)))) β†’ seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
413388, 411, 412sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
414254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„•0)
415351, 356eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
416112, 414, 415iserex 15548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
417413, 416mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , ((πΈβ€˜π‘) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
418371, 372mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
419309, 418eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
420386, 382eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))β€˜π‘˜) = (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
421240, 241, 249, 392, 419, 420isermulc2 15549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))) ⇝ (𝑏 Β· ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘)))))
422 releldm 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Rel ⇝ ∧ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))) ⇝ (𝑏 Β· ( ⇝ β€˜seq1( + , (πΈβ€˜π‘))))) β†’ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))) ∈ dom ⇝ )
423388, 421, 422sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq1( + , (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑏 Β· ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘—)))) ∈ dom ⇝ )
424240, 241, 352, 357, 386, 387, 417, 423isumadd 15659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
425424oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))) = (𝐢 + (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
426363, 365subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
427426, 248mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) ∈ β„‚)
428427, 371, 252adddird 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
429428sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
430429oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
431307sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
432431oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
433119, 432sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
434433adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
435240, 241, 309, 418, 390isumcl 15653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
436239, 249, 435adddird 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = ((1 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) + (𝑏 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
437435mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
438240, 241, 309, 418, 390, 249isummulc2 15654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (𝑏 Β· (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
439381sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (𝑏 Β· (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
440438, 439eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
441437, 440oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) + (𝑏 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
442434, 436, 4413eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
443400fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜1)
444240, 443eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
445 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘˜ = (1 + 𝑗) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = ((1 + 𝑗) βˆ’ 1))
446445oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ = (1 + 𝑗) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)))
447445oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ = (1 + 𝑗) β†’ (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1)))
448446, 447oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ = (1 + 𝑗) β†’ ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))))
449445oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ = (1 + 𝑗) β†’ (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1)))
450448, 449oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘˜ = (1 + 𝑗) β†’ (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1))))
451112, 444, 450, 241, 113, 418isumshft 15731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = Σ𝑗 ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1))))
452 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = π‘˜ β†’ (1 + 𝑗) = (1 + π‘˜))
453452oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1) = ((1 + π‘˜) βˆ’ 1))
454453oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) = (𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)))
455453oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) = (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1)))
456454, 455oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))))
457453oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) = (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1)))
458456, 457oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1))))
459458cbvsumv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Σ𝑗 ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1)))
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ ((1 + 𝑗) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + 𝑗) βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1))))
461 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
462461, 353pncan2d 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1) = π‘˜)
463462oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) = (𝐢 βˆ’ π‘˜))
464462oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
465463, 464oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) = ((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)))
466462oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) = (π‘β†‘π‘˜))
467465, 466oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) = (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
468467sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ ((1 + π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑((1 + π‘˜) βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
469451, 460, 4683eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
470112, 113, 351, 356, 413isum1p 15733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))(((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
471 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ = 0)
472471oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) = (𝐢 βˆ’ 0))
473471oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) = (𝐢C𝑐0))
474472, 473oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ ((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) = ((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)))
475471oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) = (𝑏↑0))
476474, 475oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = (((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)) Β· (𝑏↑0)))
477 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 0 ∈ β„•0
478477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
479 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)) Β· (𝑏↑0)) ∈ V)
480349, 476, 478, 479fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜0) = (((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)) Β· (𝑏↑0)))
481236subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 βˆ’ 0) = 𝐢)
482236bccn0 42697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢C𝑐0) = 1)
483481, 482oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)) = (𝐢 Β· 1))
484483, 237eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)) = 𝐢)
485249exp0d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏↑0) = 1)
486484, 485oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 βˆ’ 0) Β· (𝐢C𝑐0)) Β· (𝑏↑0)) = (𝐢 Β· 1))
487480, 486, 2373eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜0) = 𝐢)
488444eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)) = β„•
489488sumeq1i 15590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))(((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))
490489a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))(((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
491487, 490oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((((πΈβ€˜π‘) shift -1)β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))(((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
492469, 470, 4913eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
493492oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = ((𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
494240, 241, 352, 357, 417isumcl 15653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
495249, 435mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
496440, 495eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
497236, 494, 496addassd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝐢 + (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
498442, 493, 4973eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝐢 + (Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
499425, 430, 4983eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
500 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
501278, 500binomcxplemwb 42702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)))
502501oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
503502sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
504503oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
505504ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((((𝐢 βˆ’ π‘˜) Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) + ((𝐢 βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) Β· (𝐢C𝑐(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
506363, 248, 252mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = (𝐢 Β· ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
507506sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (𝐢 Β· ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
508240, 241, 244, 253, 258, 236isummulc2 15654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (𝐢 Β· ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
509507, 508eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
510509oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢 Β· (𝐢Cπ‘π‘˜)) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝐢 + (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
511499, 505, 5103eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝐢 + (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
512238, 260, 5113eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· (1 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
5138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))))
514122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) ∈ V)
515513, 514fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
516119, 515sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
517 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ V)
518516, 517fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
519518sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
52071adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
521520, 130bcccl 42693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
522132, 521eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
523522adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
524523adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
525524, 251mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
526112, 113, 518, 525, 159isum1p 15733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = (((π‘†β€˜π‘)β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
527471fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜0))
528527, 475oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜0) Β· (𝑏↑0)))
529 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜0) Β· (𝑏↑0)) ∈ V)
530516, 528, 478, 529fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜0) = ((πΉβ€˜0) Β· (𝑏↑0)))
53172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
532 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 = 0)
533532oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢C𝑐0))
534477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
535 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (𝐢C𝑐0) ∈ V)
536531, 533, 534, 535fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = (𝐢C𝑐0))
537536ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜0) = (𝐢C𝑐0))
538537, 482eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜0) = 1)
539538, 485oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜0) Β· (𝑏↑0)) = (1 Β· 1))
540239mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 Β· 1) = 1)
541530, 539, 5403eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜0) = 1)
542488sumeq1i 15590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))
543133adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
544242, 543sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
545544adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
546545sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
547542, 546eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
548541, 547oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘†β€˜π‘)β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (1 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
549519, 526, 5483eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
550549oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· (1 + Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
551512, 550eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
552236, 160mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
553239, 249addcld 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑏) ∈ β„‚)
554 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
555240, 241, 554, 419, 390isumcl 15653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
556239, 249subnegd 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 βˆ’ -𝑏) = (1 + 𝑏))
557249negcld 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ -𝑏 ∈ β„‚)
558 elpreima 7013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (abs Fn β„‚ β†’ (𝑏 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅))))
55986, 87, 558mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅)))
560559simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑏 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅))
561560, 2eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅))
562 elico2 13335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘) ∧ (absβ€˜π‘) < 𝑅)))
56375, 81, 562mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘) ∧ (absβ€˜π‘) < 𝑅))
564563simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((absβ€˜π‘) ∈ (0[,)𝑅) β†’ (absβ€˜π‘) < 𝑅)
565561, 564syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘) < 𝑅)
566565adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜π‘) < 𝑅)
567249absnegd 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-𝑏) = (absβ€˜π‘))
568567eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜π‘) = (absβ€˜-𝑏))
56973adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = 1)
570566, 568, 5693brtr3d 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-𝑏) < 1)
571 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
572 abssubne0 15208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-𝑏 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜-𝑏) < 1) β†’ (1 βˆ’ -𝑏) β‰  0)
573571, 572mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-𝑏 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜-𝑏) < 1) β†’ (1 βˆ’ -𝑏) β‰  0)
574557, 570, 573syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 βˆ’ -𝑏) β‰  0)
575556, 574eqnetrrd 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑏) β‰  0)
576552, 553, 555, 575divmuld 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) / (1 + 𝑏)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) ↔ ((1 + 𝑏) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))))
577551, 576mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) / (1 + 𝑏)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
578236, 160, 553, 575div23d 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
579577, 578eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
580579mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))))
581 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 / (1 + 𝑏)) ∈ V)
582 sumex 15579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ V
583582a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ V)
584 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))))
5851a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
586103, 23, 183, 581, 583, 584, 585offval2f 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) ∘f Β· 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))))
587580, 205, 5863eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) ∘f Β· 𝑃))
588587oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) ∘f Β· 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))))
589223oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f Β· 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) ∘f Β· 𝑃))
590588, 589oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((β„‚ D 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f + ((β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f Β· 𝑃)) = ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) ∘f Β· 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) ∘f Β· 𝑃)))
591 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) ∈ V)
592 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) ∈ V)
593 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) ∈ V)
594 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) ∈ V)
595 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))
596103, 23, 183, 593, 594, 586, 595offval2f 7637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) ∘f Β· 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))))
597 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ V)
598 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))))
599103, 23, 183, 597, 583, 598, 585offval2f 7637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) ∘f Β· 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))))
600103, 23, 183, 591, 592, 596, 599offval2f 7637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐢 / (1 + 𝑏))) ∘f Β· 𝑃) ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))) ∘f Β· 𝑃)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) + ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))))
601235, 590, 6003eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) + ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))))
602236, 553, 575divcld 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 / (1 + 𝑏)) ∈ β„‚)
603236negcld 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
604553, 603cxpcld 26079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) ∈ β„‚)
605602, 160, 604mul32d 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
606236, 553, 604, 575div32d 11961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (𝐢 Β· (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) / (1 + 𝑏))))
607553, 575, 603, 239cxpsubd 26089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)))
608553cxp1d 26077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏))
609608oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) / (1 + 𝑏)))
610607, 609eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)))
611610oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢) / (1 + 𝑏))) = (𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
612606, 611eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
613612oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = ((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
614605, 613eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = ((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
615603, 239subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
616553, 615cxpcld 26079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
617236, 616mulneg1d 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) = -(𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))))
618617oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (-(𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
619236, 616mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
620619, 160mulneg1d 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (-(𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = -((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
621618, 620eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = -((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))
622614, 621oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) + ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))) = (((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) + -((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))))
623619, 160mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
624623negidd 11509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) + -((𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))) = 0)
625622, 624eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) + ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))) = 0)
626625mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐢 / (1 + 𝑏)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) + ((-𝐢 Β· ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐢 βˆ’ 1))) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
627601, 626eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
628 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯0
629 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑏 β†’ 0 = 0)
63024, 23, 4, 628, 629cbvmptf 5219 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 0) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)
631627, 630eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 0))
632 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
633632snid 4627 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ {0}
634633a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ {0})
635631, 634fmpt3d 7069 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))):𝐷⟢{0})
636635fdmd 6684 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ dom (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))) = 𝐷)
637 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
638 0cnd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
639 dvconst 25297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {1})) = (β„‚ Γ— {0}))
640196, 639ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‚ D (β„‚ Γ— {1})) = (β„‚ Γ— {0})
641 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‚ Γ— {1}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)
642641oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‚ D (β„‚ Γ— {1})) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
643 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‚ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0)
644640, 642, 6433eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0)
645644a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
646118a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
647 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ V
648 cnfldtps 24157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚fld ∈ TopSp
649 cnfldbas 20816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
650 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
651649, 650tpsuni 22301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„‚fld ∈ TopSp β†’ β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
652648, 651ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
653652restid 17322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ V β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld))
654647, 653ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
655654eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
656650cnfldtop 24163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
657 cnxmet 24152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
658650cnfldtopn 24161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
659658blopn 23872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
660657, 398, 81, 659mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
66198, 660eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
662 isopn3i 22449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷)
663656, 661, 662mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷
664663a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π·) = 𝐷)
665203, 637, 638, 645, 646, 655, 650, 664dvmptres2 25342 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 0))
666192oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
667665, 666, 6303eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0))
668626, 601, 6673eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (β„‚ D (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))) = (β„‚ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)))
669 1rp 12926 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
67073, 669eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
671 blcntr 23782 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
672657, 398, 671mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
673670, 672syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
674673, 98eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ 𝐷)
675 0zd 12518 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
676 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜))
677 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘πœ‘
67823nfel2 2926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑏0 ∈ 𝐷
679677, 678nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷)
680 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑏 π‘˜ ∈ β„•0
681679, 680nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑏((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0)
68210, 4nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜0)
683682, 29nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑏((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜)
684683nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑏((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚
685681, 684nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑏(((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
686 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷))
687686anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ (πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷)))
688687anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ↔ ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0)))
689 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 0 β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜0))
690689fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜))
691690eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 β†’ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚))
692688, 691imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)))
693685, 632, 692, 143vtoclf 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
694674, 693syldanl 603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6954, 7, 682nfseq 13923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜0))
696695nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜0)) ∈ dom ⇝
697679, 696nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑏((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜0)) ∈ dom ⇝ )
698689seqeq3d 13921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 0 β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) = seq0( + , (π‘†β€˜0)))
699698eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 0 β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (π‘†β€˜0)) ∈ dom ⇝ ))
700687, 699imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 0 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜0)) ∈ dom ⇝ )))
701697, 632, 700, 158vtoclf 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜0)) ∈ dom ⇝ )
702674, 701syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜0)) ∈ dom ⇝ )
703112, 675, 676, 694, 702isum1p 15733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = (((π‘†β€˜0)β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜)))
704132adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
705704adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
706 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = 0)
707706oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) = (0β†‘π‘˜))
708705, 707oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
709708mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = 0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜))))
710121mptex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜))) ∈ V
711710a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜))) ∈ V)
712513, 709, 99, 711fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜0) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜))))
713 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ = 0)
714713oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) = (𝐢C𝑐0))
715713oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (0β†‘π‘˜) = (0↑0))
716714, 715oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ = 0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((𝐢C𝑐0) Β· (0↑0)))
717477a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
718 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢C𝑐0) Β· (0↑0)) ∈ V)
719712, 716, 717, 718fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜0) = ((𝐢C𝑐0) Β· (0↑0)))
72071adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
721720bccn0 42697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐0) = 1)
72299exp0d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (0↑0) = 1)
723721, 722oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢C𝑐0) Β· (0↑0)) = (1 Β· 1))
724 1t1e1 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 Β· 1) = 1
725724a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 1) = 1)
726719, 723, 7253eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜0) = 1)
727 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) ∈ V)
728712, 727fvmpt2d 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
729242, 728sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)))
730 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7317300expd 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
732731oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (0β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· 0))
733521adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
734242, 733sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
735734mul01d 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· 0) = 0)
736729, 732, 7353eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = 0)
737736sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• 0)
738444sumeq1i 15590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜)
739240eqimssi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
740739orci 864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin)
741 sumz 15614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ β„• ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• 0 = 0)
742740, 741ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ξ£π‘˜ ∈ β„• 0 = 0
743737, 738, 7423eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = 0)
744726, 743oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((π‘†β€˜0)β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜)) = (1 + 0))
745703, 744eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) = (1 + 0))
746 1p0e1 12284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 0) = 1
747746oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 + 0)↑𝑐-𝐢) = (1↑𝑐-𝐢)
748720negcld 11506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ -𝐢 ∈ β„‚)
7497481cxpd 26078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (1↑𝑐-𝐢) = 1)
750747, 749eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((1 + 0)↑𝑐-𝐢) = 1)
751745, 750oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) Β· ((1 + 0)↑𝑐-𝐢)) = ((1 + 0) Β· 1))
752746oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 + 0) Β· 1) = (1 Β· 1)
753752, 724eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 0) Β· 1) = 1
754751, 753eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) Β· ((1 + 0)↑𝑐-𝐢)) = 1)
755162ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 Fn 𝐷)
756175ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) Fn 𝐷)
75737a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜)))
758 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ = 0)
759758fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜0))
760759fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜))
761760sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜))
762 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ 𝐷)
763 sumex 15579 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ V
764763a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) ∈ V)
765757, 761, 762, 764fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜))
766174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢)))
767 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) β†’ π‘₯ = 0)
768767oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) β†’ (1 + π‘₯) = (1 + 0))
769768oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ = 0) β†’ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐢))
770 ovexd 7397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 0)↑𝑐-𝐢) ∈ V)
771766, 769, 762, 770fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))β€˜0) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐢))
772755, 756, 183, 183, 184, 765, 771ofval 7633 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 0 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))β€˜0) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) Β· ((1 + 0)↑𝑐-𝐢)))
773674, 772mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))β€˜0) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜0)β€˜π‘˜) Β· ((1 + 0)↑𝑐-𝐢)))
774193fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 Γ— {1})β€˜0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)β€˜0)
775186fvconst2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ 𝐷 β†’ ((𝐷 Γ— {1})β€˜0) = 1)
776674, 775syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐷 Γ— {1})β€˜0) = 1)
777774, 776eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)β€˜0) = 1)
778754, 773, 7773eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))β€˜0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)β€˜0))
77998, 99, 100, 185, 201, 636, 668, 674, 778dv11cn 25381 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
780779oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))))
781 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏(1 + π‘₯) β‰  0
782105, 781nfim 1900 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏(((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 + π‘₯) β‰  0)
783172neeq1d 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘₯ β†’ ((1 + 𝑏) β‰  0 ↔ (1 + π‘₯) β‰  0))
784109, 783imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘₯ β†’ ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 + 𝑏) β‰  0) ↔ (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 + π‘₯) β‰  0)))
785782, 784, 575chvarfv 2234 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 + π‘₯) β‰  0)
786166, 785, 168cxpne0d 26084 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) β‰  0)
787 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) ∈ β„‚ ∧ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) β‰  0))
788169, 786, 787sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((1 + π‘₯)↑𝑐-𝐢) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
789788, 174fmptd 7067 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)):𝐷⟢(β„‚ βˆ– {0}))
790 ofdivcan4 42681 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:π·βŸΆβ„‚ ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)):𝐷⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = 𝑃)
791183, 162, 789, 790syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑃 ∘f Β· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = 𝑃)
792 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))
793103, 23, 183, 239, 604, 792, 595offval2f 7637 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘f / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))))
794780, 791, 7933eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))))
795553, 575, 603cxpnegd 26086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐢) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)))
796236negnegd 11510 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ --𝐢 = 𝐢)
797796oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐢) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢))
798795, 797eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢))
799798mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐢))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢)))
800794, 799eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢)))
801 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘₯((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢)
802 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏((1 + π‘₯)↑𝑐𝐢)
803172oveq1d 7377 . . . . . . 7 (𝑏 = π‘₯ β†’ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢) = ((1 + π‘₯)↑𝑐𝐢))
80423, 24, 801, 802, 803cbvmptf 5219 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((1 + π‘₯)↑𝑐𝐢))
805800, 804eqtrdi 2793 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((1 + π‘₯)↑𝑐𝐢)))
806 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) β†’ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴))
807806oveq2d 7378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) β†’ (1 + π‘₯) = (1 + (𝐡 / 𝐴)))
808807oveq1d 7377 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ = (𝐡 / 𝐴)) β†’ ((1 + π‘₯)↑𝑐𝐢) = ((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢))
809 1cnd 11157 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
810809, 60addcld 11181 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝐡 / 𝐴)) ∈ β„‚)
811810, 720cxpcld 26079 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢) ∈ β„‚)
812805, 808, 91, 811fvmptd 6960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐡 / 𝐴)) = ((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢))
813704adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
814 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = (𝐡 / 𝐴))
815814oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) = ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜))
816813, 815oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = (𝐡 / 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
817816mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 = (𝐡 / 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜))))
818121mptex 7178 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜))) ∈ V
819818a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜))) ∈ V)
820513, 817, 60, 819fvmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜))))
821 ovexd 7397 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) ∈ V)
822820, 821fvmpt2d 6966 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
823822sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
82494, 812, 8233eqtr3d 2785 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
825824oveq1d 7377 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)))
82643, 46rerpdivcld 12995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ ℝ)
827826adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ ℝ)
82866, 827readdcld 11191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (1 + (𝐡 / 𝐴)) ∈ ℝ)
829 df-neg 11395 . . . . . . 7 -(𝐡 / 𝐴) = (0 βˆ’ (𝐡 / 𝐴))
830826recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
831830negcld 11506 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -(𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
832831abscld 15328 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜-(𝐡 / 𝐴)) ∈ ℝ)
833 1red 11163 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
834830absnegd 15341 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜-(𝐡 / 𝐴)) = (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)))
83546rpne0d 12969 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
83644, 47, 835absdivd 15347 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐡 / 𝐴)) = ((absβ€˜π΅) / (absβ€˜π΄)))
837834, 836eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (absβ€˜-(𝐡 / 𝐴)) = ((absβ€˜π΅) / (absβ€˜π΄)))
83844abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
839669a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
84047, 835absrpcld 15340 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
841838recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) ∈ β„‚)
842841div1d 11930 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π΅) / 1) = (absβ€˜π΅))
843842, 53eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π΅) / 1) < (absβ€˜π΄))
844838, 839, 840, 843ltdiv23d 13031 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π΅) / (absβ€˜π΄)) < 1)
845837, 844eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (absβ€˜-(𝐡 / 𝐴)) < 1)
846832, 833, 845ltled 11310 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜-(𝐡 / 𝐴)) ≀ 1)
847826renegcld 11589 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -(𝐡 / 𝐴) ∈ ℝ)
848847, 833absled 15322 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜-(𝐡 / 𝐴)) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ -(𝐡 / 𝐴) ∧ -(𝐡 / 𝐴) ≀ 1)))
849846, 848mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-1 ≀ -(𝐡 / 𝐴) ∧ -(𝐡 / 𝐴) ≀ 1))
850849simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -(𝐡 / 𝐴) ≀ 1)
851829, 850eqbrtrrid 5146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ (𝐡 / 𝐴)) ≀ 1)
852 0red 11165 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
853852, 826, 833lesubaddd 11759 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0 βˆ’ (𝐡 / 𝐴)) ≀ 1 ↔ 0 ≀ (1 + (𝐡 / 𝐴))))
854851, 853mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 + (𝐡 / 𝐴)))
855854adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (1 + (𝐡 / 𝐴)))
85646adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
857856rpred 12964 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
858856rpge0d 12968 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝐴)
859828, 855, 857, 858, 720mulcxpd 26099 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝐡 / 𝐴)) Β· 𝐴)↑𝑐𝐢) = (((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)))
860809, 60, 48adddird 11187 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝐡 / 𝐴)) Β· 𝐴) = ((1 Β· 𝐴) + ((𝐡 / 𝐴) Β· 𝐴)))
86148mulid2d 11180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
86245, 48, 59divcan1d 11939 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡 / 𝐴) Β· 𝐴) = 𝐡)
863861, 862oveq12d 7380 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((1 Β· 𝐴) + ((𝐡 / 𝐴) Β· 𝐴)) = (𝐴 + 𝐡))
864860, 863eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((1 + (𝐡 / 𝐴)) Β· 𝐴) = (𝐴 + 𝐡))
865864oveq1d 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝐡 / 𝐴)) Β· 𝐴)↑𝑐𝐢) = ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢))
866859, 865eqtr3d 2779 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (((1 + (𝐡 / 𝐴))↑𝑐𝐢) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢))
86760adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐡 / 𝐴) ∈ β„‚)
868 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
869867, 868expcld 14058 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
870733, 869mulcld 11182 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
87146, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 155, 2binomcxplemcvg 42708 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 / 𝐴) ∈ 𝐷) β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (πΈβ€˜(𝐡 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ))
872871simpld 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 / 𝐴) ∈ 𝐷) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
87391, 872syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜(𝐡 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )
87448, 720cxpcld 26079 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑐𝐢) ∈ β„‚)
875112, 675, 822, 870, 873, 874isummulc1 15655 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)))
87644ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
87747ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
878835ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 β‰  0)
879876, 877, 878divrecd 11941 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐡 / 𝐴) = (𝐡 Β· (1 / 𝐴)))
880879oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜) = ((𝐡 Β· (1 / 𝐴))β†‘π‘˜))
881877, 878reccld 11931 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
882876, 881, 868mulexpd 14073 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐡 Β· (1 / 𝐴))β†‘π‘˜) = ((π΅β†‘π‘˜) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
883880, 882eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜) = ((π΅β†‘π‘˜) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
884883oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((π΅β†‘π‘˜) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))))
885876, 868expcld 14058 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
886881, 868expcld 14058 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
887733, 885, 886mulassd 11185 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((π΅β†‘π‘˜) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))))
888884, 887eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
889888oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = ((((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)))
890733, 885mulcld 11182 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
891874adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑐𝐢) ∈ β„‚)
892890, 886, 891mul32d 11372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = ((((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
893890, 891, 886mulassd 11185 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))))
894889, 892, 8933eqtrd 2781 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))))
895868nn0cnd 12482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
896877, 895cxpcld 26079 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘π‘˜) ∈ β„‚)
897877, 878, 895cxpne0d 26084 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘π‘˜) β‰  0)
898891, 896, 897divrecd 11941 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑𝑐𝐢) / (π΄β†‘π‘π‘˜)) = ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· (1 / (π΄β†‘π‘π‘˜))))
89971ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
900877, 878, 899, 895cxpsubd 26089 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) = ((𝐴↑𝑐𝐢) / (π΄β†‘π‘π‘˜)))
901868nn0zd 12532 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
902877, 878, 901exprecd 14066 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) = (1 / (π΄β†‘π‘˜)))
903 cxpexp 26039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘π‘˜) = (π΄β†‘π‘˜))
904877, 868, 903syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘π‘˜) = (π΄β†‘π‘˜))
905904oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 / (π΄β†‘π‘π‘˜)) = (1 / (π΄β†‘π‘˜)))
906902, 905eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) = (1 / (π΄β†‘π‘π‘˜)))
907906oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· (1 / (π΄β†‘π‘π‘˜))))
908898, 900, 9073eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)))
909908oveq2d 7378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· ((𝐴↑𝑐𝐢) Β· ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))) = (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜))))
910899, 895subcld 11519 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
911877, 910cxpcld 26079 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) ∈ β„‚)
912733, 885, 911mul32d 11372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (π΅β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜))) = (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜))) Β· (π΅β†‘π‘˜)))
913894, 909, 9123eqtrd 2781 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜))) Β· (π΅β†‘π‘˜)))
914733, 911, 885mulassd 11185 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· (𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜))) Β· (π΅β†‘π‘˜)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
915913, 914eqtrd 2777 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
916915sumeq2dv 15595 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
917875, 916eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐡 / 𝐴)β†‘π‘˜)) Β· (𝐴↑𝑐𝐢)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
918825, 866, 9173eqtr3d 2785 1 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 + 𝐡)↑𝑐𝐢) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝐢Cπ‘π‘˜) Β· ((𝐴↑𝑐(𝐢 βˆ’ π‘˜)) Β· (π΅β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Rel wrel 5643   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  Fincfn 8890  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974   shift cshi 14958  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577   β†Ύt crest 17309  TopOpenctopn 17310  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  β„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258  TopSpctps 22297  intcnt 22384   D cdv 25243  β†‘𝑐ccxp 25927  C𝑐cbcc 42690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-risefac 15896  df-fallfac 15897  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-bcc 42691
This theorem is referenced by:  binomcxp  42711
  Copyright terms: Public domain W3C validator