Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  decsmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsmflem 46292
Description: A nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsmflem.x 𝑥𝜑
decsmflem.y 𝑦𝜑
decsmflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
decsmflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
decsmflem.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
decsmflem.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmflem.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
decsmflem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
decsmflem.l 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
decsmflem.c 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
decsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
decsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
Assertion
Ref Expression
decsmflem (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑦,𝐶   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem decsmflem
StepHypRef Expression
1 decsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2 mnfxr 11303 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4 decsmflem.l . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
5 ssrab2 4073 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 4011 . . . . . . . 8 𝑌𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐴)
8 decsmflem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8sstrd 3987 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
109sselda 3976 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 decsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12 decsmflem.b . . . . 5 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
133, 10, 11, 12iocborel 45882 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
141, 13eqeltrid 2829 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐸𝐵)
15 decsmflem.x . . . . 5 𝑥𝜑
16 decsmflem.c . . . . . . 7 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
17 nfrab1 3438 . . . . . . . . 9 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
184, 17nfcxfr 2889 . . . . . . . 8 𝑥𝑌
19 nfcv 2891 . . . . . . . 8 𝑥*
20 nfcv 2891 . . . . . . . 8 𝑥 <
2118, 19, 20nfsup 9476 . . . . . . 7 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
2216, 21nfcxfr 2889 . . . . . 6 𝑥𝐶
2322, 18nfel 2906 . . . . 5 𝑥 𝐶𝑌
2415, 23nfan 1894 . . . 4 𝑥(𝜑𝐶𝑌)
258adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 decsmflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2726adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
28 decsmflem.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
2928adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
30 decsmflem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶𝑌)
3324, 25, 27, 29, 31, 4, 16, 32, 1pimdecfgtioc 46241 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐸𝐴))
34 ineq1 4203 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 → (𝑏𝐴) = (𝐸𝐴))
3534rspceeqv 3628 . . 3 ((𝐸𝐵𝑌 = (𝐸𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 582 . 2 ((𝜑𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
37 decsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
3811, 12iooborel 45877 . . . . . 6 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
3937, 38eqeltri 2821 . . . . 5 𝐷𝐵
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4140adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐷𝐵)
4223nfn 1852 . . . . 5 𝑥 ¬ 𝐶𝑌
4315, 42nfan 1894 . . . 4 𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
44 decsmflem.y . . . . 5 𝑦𝜑
45 nfv 1909 . . . . 5 𝑦 ¬ 𝐶𝑌
4644, 45nfan 1894 . . . 4 𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
478adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4826adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4928adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
5030adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51 simpr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ¬ 𝐶𝑌)
5243, 46, 47, 48, 49, 50, 4, 16, 51, 37pimdecfgtioo 46243 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐷𝐴))
53 ineq1 4203 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 → (𝑏𝐴) = (𝐷𝐴))
5453rspceeqv 3628 . . 3 ((𝐷𝐵𝑌 = (𝐷𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5541, 52, 54syl2anc 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5636, 55pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  cin 3943  wss 3944   class class class wbr 5149  ran crn 5679  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  cr 11139  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  (,)cioo 13359  (,]cioc 13360  topGenctg 17422  SalGencsalgen 45838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-fl 13793  df-topgen 17428  df-top 22840  df-bases 22893  df-salg 45835  df-salgen 45839
This theorem is referenced by:  decsmf  46293
  Copyright terms: Public domain W3C validator