Theorem decsmflem 45417

Description: A nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmflem.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
decsmflem.y	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
decsmflem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
decsmflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
decsmflem.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
decsmflem.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmflem.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
decsmflem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
decsmflem.l	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
decsmflem.c	⊢ 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
decsmflem.d	⊢ 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
decsmflem.e	⊢ 𝐸 = (-∞(,]𝐶)

Assertion

Ref	Expression
decsmflem	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑏 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑦,𝐶   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem decsmflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decsmflem.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2		mnfxr 11267	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4		decsmflem.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
5		ssrab2 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4015	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
8		decsmflem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	7, 8	sstrd 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
10	9	sselda 3981	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		decsmflem.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12		decsmflem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
13	3, 10, 11, 12	iocborel 45007	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
14	1, 13	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝐵)
15		decsmflem.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
16		decsmflem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
17		nfrab1 3452	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
18	4, 17	nfcxfr 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
19		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ*
20		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 <
21	18, 19, 20	nfsup 9442	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
22	16, 21	nfcxfr 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
23	22, 18	nfel 2918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ∈ 𝑌
24	15, 23	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌)
25	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26		decsmflem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27	26	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
28		decsmflem.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
29	28	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
30		decsmflem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐶 ∈ 𝑌)
33	24, 25, 27, 29, 31, 4, 16, 32, 1	pimdecfgtioc 45366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (𝐸 ∩ 𝐴))
34		ineq1 4204	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐸 → (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ 𝐴))
35	34	rspceeqv 3632	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 = (𝐸 ∩ 𝐴)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑏 ∩ 𝐴))
36	14, 33, 35	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑏 ∩ 𝐴))
37		decsmflem.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
38	11, 12	iooborel 45002	. . . . . 6 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
39	37, 38	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐵
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
41	40	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐷 ∈ 𝐵)
42	23	nfn 1861	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝐶 ∈ 𝑌
43	15, 42	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌)
44		decsmflem.y	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
45		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ 𝐶 ∈ 𝑌
46	44, 45	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌)
47	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
48	26	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
49	28	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	30	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → ¬ 𝐶 ∈ 𝑌)
52	43, 46, 47, 48, 49, 50, 4, 16, 51, 37	pimdecfgtioo 45368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (𝐷 ∩ 𝐴))
53		ineq1 4204	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐷 → (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐷 ∩ 𝐴))
54	53	rspceeqv 3632	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 = (𝐷 ∩ 𝐴)) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑏 ∩ 𝐴))
55	41, 52, 54	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝑌) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑏 ∩ 𝐴))
56	36, 55	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑏 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  supcsup 9431  ℝcr 11105  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13320  (,]cioc 13321  topGenctg 17379  SalGencsalgen 44963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-fl 13753  df-topgen 17385  df-top 22378  df-bases 22431  df-salg 44960  df-salgen 44964

This theorem is referenced by:  decsmf  45418