Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  decsmflem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem decsmflem 45967
Description: A nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsmflem.x β„²π‘₯πœ‘
decsmflem.y β„²π‘¦πœ‘
decsmflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
decsmflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
decsmflem.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
decsmflem.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
decsmflem.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
decsmflem.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
decsmflem.l π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
decsmflem.c 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
decsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
decsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
Assertion
Ref Expression
decsmflem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   π‘₯,𝐴,𝑦   𝐡,𝑏   𝑦,𝐢   𝐷,𝑏   π‘₯,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘Œ,𝑏   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑏)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑏)   π‘Œ(π‘₯)
Proof of Theorem decsmflem
StepHypRef Expression
1 decsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐢)
2 mnfxr 11268 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
4 decsmflem.l . . . . . . . . 9 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
5 ssrab2 4069 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐴
64, 5eqsstri 4008 . . . . . . . 8 π‘Œ βŠ† 𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
8 decsmflem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
97, 8sstrd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
109sselda 3974 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
11 decsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
12 decsmflem.b . . . . 5 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
133, 10, 11, 12iocborel 45557 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (-∞(,]𝐢) ∈ 𝐡)
141, 13eqeltrid 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
15 decsmflem.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
16 decsmflem.c . . . . . . 7 𝐢 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
17 nfrab1 3443 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (πΉβ€˜π‘₯)}
184, 17nfcxfr 2893 . . . . . . . 8 β„²π‘₯π‘Œ
19 nfcv 2895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ℝ*
20 nfcv 2895 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ <
2118, 19, 20nfsup 9442 . . . . . . 7 β„²π‘₯sup(π‘Œ, ℝ*, < )
2216, 21nfcxfr 2893 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐢
2322, 18nfel 2909 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐢 ∈ π‘Œ
2415, 23nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ)
258adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
26 decsmflem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2726adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
28 decsmflem.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2928adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
30 decsmflem.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
32 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
3324, 25, 27, 29, 31, 4, 16, 32, 1pimdecfgtioc 45916 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴))
34 ineq1 4197 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ 𝐴))
3534rspceeqv 3625 . . 3 ((𝐸 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
37 decsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐢)
3811, 12iooborel 45552 . . . . . 6 (-∞(,)𝐢) ∈ 𝐡
3937, 38eqeltri 2821 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
4039a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4140adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
4223nfn 1852 . . . . 5 β„²π‘₯ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4315, 42nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
44 decsmflem.y . . . . 5 β„²π‘¦πœ‘
45 nfv 1909 . . . . 5 Ⅎ𝑦 Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ
4644, 45nfan 1894 . . . 4 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
478adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4826adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
4928adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5030adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
51 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ)
5243, 46, 47, 48, 49, 50, 4, 16, 51, 37pimdecfgtioo 45918 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴))
53 ineq1 4197 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 β†’ (𝑏 ∩ 𝐴) = (𝐷 ∩ 𝐴))
5453rspceeqv 3625 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ = (𝐷 ∩ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5541, 52, 54syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
5636, 55pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 π‘Œ = (𝑏 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138  ran crn 5667  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  supcsup 9431  β„cr 11105  -∞cmnf 11243  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  (,)cioo 13321  (,]cioc 13322  topGenctg 17382  SalGencsalgen 45513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-fl 13754  df-topgen 17388  df-top 22718  df-bases 22771  df-salg 45510  df-salgen 45514
This theorem is referenced by:  decsmf  45968
  Copyright terms: Public domain W3C validator