Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  decsmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsmflem 46722
Description: A nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsmflem.x 𝑥𝜑
decsmflem.y 𝑦𝜑
decsmflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
decsmflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
decsmflem.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
decsmflem.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmflem.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
decsmflem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
decsmflem.l 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
decsmflem.c 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
decsmflem.d 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
decsmflem.e 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
Assertion
Ref Expression
decsmflem (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑥,𝐴,𝑦   𝐵,𝑏   𝑦,𝐶   𝐷,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦   𝐸,𝑏   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑌,𝑏   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑏)   𝑅(𝑏)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem decsmflem
StepHypRef Expression
1 decsmflem.e . . . 4 𝐸 = (-∞(,]𝐶)
2 mnfxr 11316 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → -∞ ∈ ℝ*)
4 decsmflem.l . . . . . . . . 9 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
5 ssrab2 4090 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑌𝐴
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐴)
8 decsmflem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
97, 8sstrd 4006 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
109sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 decsmflem.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
12 decsmflem.b . . . . 5 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
133, 10, 11, 12iocborel 46312 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → (-∞(,]𝐶) ∈ 𝐵)
141, 13eqeltrid 2843 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐸𝐵)
15 decsmflem.x . . . . 5 𝑥𝜑
16 decsmflem.c . . . . . . 7 𝐶 = sup(𝑌, ℝ*, < )
17 nfrab1 3454 . . . . . . . . 9 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
184, 17nfcxfr 2901 . . . . . . . 8 𝑥𝑌
19 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥*
20 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥 <
2118, 19, 20nfsup 9489 . . . . . . 7 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
2216, 21nfcxfr 2901 . . . . . 6 𝑥𝐶
2322, 18nfel 2918 . . . . 5 𝑥 𝐶𝑌
2415, 23nfan 1897 . . . 4 𝑥(𝜑𝐶𝑌)
258adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
26 decsmflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
28 decsmflem.i . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
30 decsmflem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝐶𝑌)
3324, 25, 27, 29, 31, 4, 16, 32, 1pimdecfgtioc 46671 . . 3 ((𝜑𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐸𝐴))
34 ineq1 4221 . . . 4 (𝑏 = 𝐸 → (𝑏𝐴) = (𝐸𝐴))
3534rspceeqv 3645 . . 3 ((𝐸𝐵𝑌 = (𝐸𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
3614, 33, 35syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
37 decsmflem.d . . . . . 6 𝐷 = (-∞(,)𝐶)
3811, 12iooborel 46307 . . . . . 6 (-∞(,)𝐶) ∈ 𝐵
3937, 38eqeltri 2835 . . . . 5 𝐷𝐵
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
4140adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐷𝐵)
4223nfn 1855 . . . . 5 𝑥 ¬ 𝐶𝑌
4315, 42nfan 1897 . . . 4 𝑥(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
44 decsmflem.y . . . . 5 𝑦𝜑
45 nfv 1912 . . . . 5 𝑦 ¬ 𝐶𝑌
4644, 45nfan 1897 . . . 4 𝑦(𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌)
478adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4826adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4928adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
5030adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ¬ 𝐶𝑌)
5243, 46, 47, 48, 49, 50, 4, 16, 51, 37pimdecfgtioo 46673 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → 𝑌 = (𝐷𝐴))
53 ineq1 4221 . . . 4 (𝑏 = 𝐷 → (𝑏𝐴) = (𝐷𝐴))
5453rspceeqv 3645 . . 3 ((𝐷𝐵𝑌 = (𝐷𝐴)) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5541, 52, 54syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶𝑌) → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
5636, 55pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑏𝐵 𝑌 = (𝑏𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  topGenctg 17484  SalGencsalgen 46268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-fl 13829  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-salg 46265  df-salgen 46269
This theorem is referenced by:  decsmf  46723
  Copyright terms: Public domain W3C validator