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Theorem itg2cnlem1 25129
Description: Lemma for itgcn 25212. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2cn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem1 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐹   πœ‘,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem itg2cnlem1
Dummy variables π‘š 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
2 c0ex 11150 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
31, 2ifex 4537 . . . . . . . . 9 if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
4 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
54fvmpt2 6960 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
63, 5mpan2 690 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
76mpteq2dv 5208 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
87rneqd 5894 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)) = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
98supeq1d 9383 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ))
109mpteq2ia 5209 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ))
11 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑦sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)), ℝ, < )
12 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘₯β„•
13 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1412, 13nfmpt 5213 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
15 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯π‘š
1614, 15nffv 6853 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)
17 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑦
1816, 17nffv 6853 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)
1912, 18nfmpt 5213 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
2019nfrn 5908 . . . . . 6 β„²π‘₯ran (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
21 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘₯ℝ
22 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘₯ <
2320, 21, 22nfsup 9388 . . . . 5 β„²π‘₯sup(ran (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)), ℝ, < )
24 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
2524mpteq2dv 5208 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦)))
26 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š))
2726ifbid 4510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
2827mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2928fveq1d 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
3029cbvmptv 5219 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
32 reex 11143 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
3332mptex 7174 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ V
3428, 31, 33fvmpt 6949 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
3534fveq1d 6845 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
3635mpteq2ia 5209 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
3730, 36eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
3825, 37eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
3938rneqd 5894 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)) = ran (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
4039supeq1d 9383 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
4111, 23, 40cbvmpt 5217 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ sup(ran (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
4210, 41eqtr3i 2767 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ sup(ran (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
43 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
4443breq1d 5116 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
4544, 43ifbieq1d 4511 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
4645cbvmptv 5219 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
4734adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
48 nnre 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ π‘š ∈ ℝ)
5049rexrd 11206 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
51 elioopnf 13361 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (π‘š(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ π‘š < (πΉβ€˜π‘¦))))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (π‘š(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ π‘š < (πΉβ€˜π‘¦))))
53 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
54 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
5554ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
57 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (π‘š(,)+∞))))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (π‘š(,)+∞))))
5953, 58mpbirand 706 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (π‘š(,)+∞)))
60 rge0ssre 13374 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
61 fss 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6254, 60, 61sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6463ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
6564biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘š < (πΉβ€˜π‘¦) ↔ ((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ π‘š < (πΉβ€˜π‘¦))))
6652, 59, 653bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ↔ π‘š < (πΉβ€˜π‘¦)))
6766notbid 318 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ↔ Β¬ π‘š < (πΉβ€˜π‘¦)))
68 eldif 3921 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))
6968baib 537 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↔ Β¬ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))
7069adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↔ Β¬ 𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))
7164, 49lenltd 11302 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ Β¬ π‘š < (πΉβ€˜π‘¦)))
7267, 70, 713bitr4d 311 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7372ifbid 4510 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0) = if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
7473mpteq2dva 5206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
7546, 47, 743eqtr4a 2803 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)))
76 difss 4092 . . . . . 6 (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) βŠ† ℝ
7776a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) βŠ† ℝ)
78 rembl 24907 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
7978a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ dom vol)
80 fvex 6856 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
8180, 2ifex 4537 . . . . . 6 if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V
8281a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)))) β†’ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V)
83 eldifn 4088 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))
8483adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))
8584iffalsed 4498 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))) β†’ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0) = 0)
86 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) β†’ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0) = (πΉβ€˜π‘¦))
8786mpteq2ia 5209 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ (πΉβ€˜π‘¦))
88 resmpt 5992 . . . . . . . . 9 ((ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) βŠ† ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
8976, 88ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ (πΉβ€˜π‘¦))
9087, 89eqtr4i 2768 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))))
9154feqmptd 6911 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
92 itg2cn.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
9391, 92eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
94 mbfima 24997 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ∈ dom vol)
9592, 62, 94syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ∈ dom vol)
96 cmmbl 24901 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)) ∈ dom vol β†’ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ∈ dom vol)
9795, 96syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ∈ dom vol)
98 mbfres 25011 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn ∧ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ∈ dom vol) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)))) ∈ MblFn)
9993, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞)))) ∈ MblFn)
10090, 99eqeltrid 2842 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
101100adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))) ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
10277, 79, 82, 85, 101mbfss 25013 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (π‘š(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
10375, 102eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š) ∈ MblFn)
10454ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
105 0e0icopnf 13376 . . . . . 6 0 ∈ (0[,)+∞)
106 ifcl 4532 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,)+∞))
107104, 105, 106sylancl 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,)+∞))
108107adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,)+∞))
10947, 108fmpt3d 7065 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))
110 elrege0 13372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
111104, 110sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
112111simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
113112adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
114113adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
115114leidd 11722 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
116 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
117116adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
11848ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ π‘š ∈ ℝ)
119 peano2re 11329 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ ℝ β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
121 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š)
122118lep1d 12087 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ π‘š ≀ (π‘š + 1))
123114, 118, 120, 121, 122letrd 11313 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1))
124123iftrued 4495 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
125115, 117, 1243brtr4d 5138 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
126 iffalse 4496 . . . . . . . . 9 (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = 0)
127126adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = 0)
128111simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
129 0le0 12255 . . . . . . . . . . 11 0 ≀ 0
130 breq2 5110 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘₯) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
131 breq2 5110 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
132130, 131ifboth 4526 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 0 ≀ 0) β†’ 0 ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
133128, 129, 132sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
134133adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
135134adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ 0 ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
136127, 135eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
137125, 136pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
138137ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1391, 2ifex 4537 . . . . . . 7 if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
140139a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V)
141 eqidd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
142 eqidd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
14379, 108, 140, 141, 142ofrfval2 7639 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
144138, 143mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
145 peano2nn 12166 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
146145adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
147 breq2 5110 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1)))
148147ifbid 4510 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
149148mpteq2dv 5208 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
15032mptex 7174 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ V
151149, 31, 150fvmpt 6949 . . . . 5 ((π‘š + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
152146, 151syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜(π‘š + 1)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (π‘š + 1), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
153144, 47, 1523brtr4d 5138 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜(π‘š + 1)))
15462ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
15534adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
156155fveq1d 6845 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
157112leidd 11722 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
158 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘₯) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
159 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
160158, 159ifboth 4526 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
161157, 128, 160syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
162161adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
163162ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
16432a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
1651, 2ifex 4537 . . . . . . . . . . . 12 if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
166165a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V)
16754feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
168167adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
169164, 166, 113, 141, 168ofrfval2 7639 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
170163, 169mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
171166fmpttd 7064 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆV)
172171ffnd 6670 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
17355adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
174 inidm 4179 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
175 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦))
176 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
177172, 173, 164, 164, 174, 175, 176ofrfval 7628 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
178170, 177mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
179178r19.21bi 3235 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
180179an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
181156, 180eqbrtrd 5128 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
182181ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
183 brralrspcev 5166 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ β„• (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ 𝑧)
184154, 182, 183syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ β„• (((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ 𝑧)
18528fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
186185cbvmptv 5219 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
18734fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ (∫2β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
188187mpteq2ia 5209 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• ↦ (∫2β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
189186, 188eqtr4i 2768 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫2β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)))
190189rneqi 5893 . . . 4 ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) = ran (π‘š ∈ β„• ↦ (∫2β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š)))
191190supeq1i 9384 . . 3 sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) = sup(ran (π‘š ∈ β„• ↦ (∫2β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))β€˜π‘š))), ℝ*, < )
19242, 103, 109, 153, 184, 191itg2mono 25121 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ))) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ))
193 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
19427, 193, 165fvmpt 6949 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
195194adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
196161adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
197195, 196eqbrtrd 5128 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
198197ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1993a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V)
200199fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„•βŸΆV)
201200ffnd 6670 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn β„•)
202 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) β†’ (𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
203202ralrn 7039 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
204201, 203syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
205198, 204mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
206112adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
207 0re 11158 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
208 ifcl 4532 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
209206, 207, 208sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ℝ)
210209fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„•βŸΆβ„)
211210frnd 6677 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) βŠ† ℝ)
212 1nn 12165 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
213193, 209dmmptd 6647 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = β„•)
214212, 213eleqtrrid 2845 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
215 n0i 4294 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) β†’ Β¬ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = βˆ…)
216 dm0rn0 5881 . . . . . . . . . . 11 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = βˆ…)
217216necon3bbii 2992 . . . . . . . . . 10 (Β¬ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) β‰  βˆ…)
218215, 217sylib 217 . . . . . . . . 9 (1 ∈ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) β‰  βˆ…)
219214, 218syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) β‰  βˆ…)
220 brralrspcev 5166 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ 𝑧)
221112, 205, 220syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ 𝑧)
222 suprleub 12122 . . . . . . . 8 (((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ 𝑧) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
223211, 219, 221, 112, 222syl31anc 1374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
224205, 223mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
225 arch 12411 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)
226112, 225syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)
227194ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
228 ltle 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š))
229112, 48, 228syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š))
230229impr 456 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š)
231230iftrued 4495 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ π‘š, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
232227, 231eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘₯))
233201adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn β„•)
234 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„•)
235 fnfvelrn 7032 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
236233, 234, 235syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0))β€˜π‘š) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
237232, 236eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘š)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
238226, 237rexlimddv 3159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
239211, 219, 221, 238suprubd 12118 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ))
240211, 219, 221suprcld 12119 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
241240, 112letri3d 11298 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ))))
242224, 239, 241mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ) = (πΉβ€˜π‘₯))
243242mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
244243, 167eqtr4d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < )) = 𝐹)
245244fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)), ℝ, < ))) = (∫2β€˜πΉ))
246192, 245eqtr3d 2779 1 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑛, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘r cofr 7617  supcsup 9377  β„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  +∞cpnf 11187  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  β„•cn 12154  (,)cioo 13265  [,)cico 13267  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  βˆ«2citg2 24983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cc 10372  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988
This theorem is referenced by:  itg2cn  25131
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