Theorem sge0ltfirp 42145

Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0ltfirp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ltfirp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirp.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirp

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		sge0ltfirp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0ltfirp.re	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
4	2, 1, 3	sge0rern 42133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5	1, 4	fge0iccico 42115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6	5	sge0rnre 42109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
7		sge0rnn0 42113	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
9	2, 1, 3	sge0rnbnd 42138	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)
10		sge0ltfirp.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 9, 10	suprltrp 41057	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
12		nfv 1874	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
13		nfv 1874	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)
14		simp1 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → 𝜑)
15		vex 3411	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eqid 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
17	16	elrnmpt 5668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
19	18	biimpi 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
20	19	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
21		nfmpt1 5021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
22	21	nfrn 5664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
23		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
24		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 <
25	22, 23, 24	nfsup 8708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )
26		nfcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 −
27		nfcv 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
28	25, 26, 27	nfov 7004	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌)
29		nfcv 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
30	28, 24, 29	nfbr 4972	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤
31		simpl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
33	31, 32	breqtrd 4951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	ex 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
35	34	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))
36	30, 35	reximdai 3247	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
37	36	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
38	20, 37	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
39	38	3adant1 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
40		simpl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)))
41	2, 1, 3	sge0supre 42134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ))
42	41	oveq1d 6989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
43	42	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
44		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
45	43, 44	eqbrtrd 4947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
46	45	adantlr 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
47		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
48	3	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
49	10	rpred 12246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
50	49	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
51		elinel2 4055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
52	51	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
53		rge0ssre 12658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
54	5	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
55	54	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
56		elpwinss 40767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
57	56	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
58	57	sselda 3851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋)
59	55, 58	ffvelrnd 6675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
60	53, 59	sseldi 3849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
61	52, 60	fsumrecl 14949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
62	48, 50, 61	ltsubaddd 11035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
63	62	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
64	47, 63	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌))
65	54, 57	fssresd 6371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,)+∞))
66	52, 65	sge0fsum 42132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦))
67		fvres 6515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
68	67	sumeq2i 14914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
70	66, 69	eqtr2d 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
71	70	oveq1d 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
72	71	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
73	64, 72	breqtrd 4951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
74	40, 46, 73	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
75	74	ex 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
76	75	reximdva 3212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
77	76	imp 398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
78	14, 39, 77	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
79	78	3exp 1100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))))
80	12, 13, 79	rexlimd 3253	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
81	11, 80	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∃wrex 3082  Vcvv 3408   ∩ cin 3821   ⊆ wss 3822  ∅c0 4172  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004  ran crn 5404   ↾ cres 5405  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Fincfn 8304  supcsup 8697  ℝcr 10332  0cc0 10333   + caddc 10336  +∞cpnf 10469   < clt 10472   − cmin 10668  ℝ⁺crp 12202  [,)cico 12554  [,]cicc 12555  Σcsu 14901  Σ^{^}csumge0 42107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-sum 14902  df-sumge0 42108

This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt  42153  sge0ltfirpmpt2  42171