Theorem sge0ltfirp 47409

Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0ltfirp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ltfirp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirp.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirp

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		sge0ltfirp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0ltfirp.re	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
4	2, 1, 3	sge0rern 47397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5	1, 4	fge0iccico 47379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6	5	sge0rnre 47373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
7		sge0rnn0 47377	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
9	2, 1, 3	sge0rnbnd 47402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)
10		sge0ltfirp.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 9, 10	suprltrp 46339	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
12		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
13		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)
14		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → 𝜑)
15		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
17	16	elrnmpt 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
19	18	birani 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
20		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
21	20	nfrn 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
22		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
23		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 <
24	21, 22, 23	nfsup 9443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )
25		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 −
26		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
27	24, 25, 26	nfov 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌)
28		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
29	27, 23, 28	nfbr 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤
30		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
31		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
32	30, 31	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
33	32	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
34	33	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))
35	29, 34	reximdai 3265	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
36	35	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
37	19, 36	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
38	37	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
39		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)))
40	2, 1, 3	sge0supre 47398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ))
41	40	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
43		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
44	42, 43	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
45	44	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
46		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
47	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
48	10	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
50		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
52		rge0ssre 13587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
53	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
54	53	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
55		elpwinss 46065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
57	56	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋)
58	54, 57	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
59	52, 58	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
60	51, 59	fsumrecl 15900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
61	47, 49, 60	ltsubaddd 11912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
63	46, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌))
64	53, 56	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,)+∞))
65	51, 64	sge0fsum 47396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦))
66		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
67	66	sumeq2i 15865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
69	65, 68	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
70	69	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
72	63, 71	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
73	39, 45, 72	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
74	73	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
75	74	reximdva 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
76	75	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
77	14, 38, 76	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
78	77	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))))
79	12, 13, 78	rexlimd 3270	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
80	11, 79	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  supcsup 9432  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203  +∞cpnf 11340   < clt 11343   − cmin 11541  ℝ⁺crp 13120  [,)cico 13478  [,]cicc 13479  Σcsu 15853  Σ^{^}csumge0 47371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-sumge0 47372

This theorem is used by:  sge0ltfirpmpt  47417  sge0ltfirpmpt2  47435