Theorem sge0ltfirp 44327

Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0ltfirp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ltfirp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirp.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirp

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		sge0ltfirp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0ltfirp.re	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
4	2, 1, 3	sge0rern 44315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5	1, 4	fge0iccico 44297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6	5	sge0rnre 44291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
7		sge0rnn0 44295	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
9	2, 1, 3	sge0rnbnd 44320	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)
10		sge0ltfirp.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 9, 10	suprltrp 43254	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
12		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
13		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)
14		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → 𝜑)
15		vex 3445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
17	16	elrnmpt 5898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
19	18	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
21		nfmpt1 5201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
22	21	nfrn 5894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
23		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
24		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 <
25	22, 23, 24	nfsup 9309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )
26		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 −
27		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
28	25, 26, 27	nfov 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌)
29		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
30	28, 24, 29	nfbr 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤
31		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
32		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
33	31, 32	breqtrd 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
35	34	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))
36	30, 35	reximdai 3240	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
38	20, 37	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
39	38	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
40		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)))
41	2, 1, 3	sge0supre 44316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ))
42	41	oveq1d 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
44		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
45	43, 44	eqbrtrd 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
46	45	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
47		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
48	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
49	10	rpred 12874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
51		elinel2 4144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
53		rge0ssre 13290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
54	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
56		elpwinss 42969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
58	57	sselda 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋)
59	55, 58	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
60	53, 59	sselid 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
61	52, 60	fsumrecl 15546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
62	48, 50, 61	ltsubaddd 11673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
64	47, 63	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌))
65	54, 57	fssresd 6693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,)+∞))
66	52, 65	sge0fsum 44314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦))
67		fvres 6845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
68	67	sumeq2i 15511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
70	66, 69	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
71	70	oveq1d 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
73	64, 72	breqtrd 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
74	40, 46, 73	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
75	74	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
76	75	reximdva 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
77	76	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
78	14, 39, 77	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
79	78	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))))
80	12, 13, 79	rexlimd 3245	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
81	11, 80	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3441   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4270  𝒫 cpw 4548   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622   ↾ cres 5623  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  Fincfn 8805  supcsup 9298  ℝcr 10972  0cc0 10973   + caddc 10976  +∞cpnf 11108   < clt 11111   − cmin 11307  ℝ⁺crp 12832  [,)cico 13183  [,]cicc 13184  Σcsu 15497  Σ^{^}csumge0 44289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-sup 9300  df-oi 9368  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-ico 13187  df-icc 13188  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-seq 13824  df-exp 13885  df-hash 14147  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-sum 15498  df-sumge0 44290

This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt  44335  sge0ltfirpmpt2  44353