| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sge0ltfirp.f |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) |
| 2 | | sge0ltfirp.x |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉) |
| 3 | | sge0ltfirp.re |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) |
| 4 | 2, 1, 3 | sge0rern 46403 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran
𝐹) |
| 5 | 1, 4 | fge0iccico 46385 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞)) |
| 6 | 5 | sge0rnre 46379 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ) |
| 7 | | sge0rnn0 46383 |
. . . 4
⊢ ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅ |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅) |
| 9 | 2, 1, 3 | sge0rnbnd 46408 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧) |
| 10 | | sge0ltfirp.y |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈
ℝ+) |
| 11 | 6, 8, 9, 10 | suprltrp 45339 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) |
| 12 | | nfv 1914 |
. . 3
⊢
Ⅎ𝑤𝜑 |
| 13 | | nfv 1914 |
. . 3
⊢
Ⅎ𝑤∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌) |
| 14 | | simp1 1137 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → 𝜑) |
| 15 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑤 ∈ V |
| 16 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 17 | 16 | elrnmpt 5969 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 18 | 15, 17 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 19 | 18 | biimpi 216 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 21 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 22 | 21 | nfrn 5963 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 23 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥ℝ |
| 24 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥
< |
| 25 | 22, 23, 24 | nfsup 9491 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) |
| 26 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥
− |
| 27 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥𝑌 |
| 28 | 25, 26, 27 | nfov 7461 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) |
| 29 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥𝑤 |
| 30 | 28, 24, 29 | nfbr 5190 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑥(sup(ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 |
| 31 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝑋 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) |
| 32 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝑋 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 33 | 31, 32 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((sup(ran (𝑥 ∈
(𝒫 𝑋 ∩ Fin)
↦ Σ𝑦 ∈
𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 34 | 33 | ex 412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((sup(ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 35 | 34 | a1d 25 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((sup(ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))) |
| 36 | 30, 35 | reximdai 3261 |
. . . . . . . 8
⊢ ((sup(ran
(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 37 | 36 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))) |
| 38 | 20, 37 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 39 | 38 | 3adant1 1131 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 40 | | simpl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))) |
| 41 | 2, 1, 3 | sge0supre 46404 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )) |
| 42 | 41 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌)) |
| 43 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌)) |
| 44 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 45 | 43, 44 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 46 | 45 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 47 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 48 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) →
(Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) |
| 49 | 10 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 50 | 49 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 51 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin) |
| 52 | 51 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin) |
| 53 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 54 | 5 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞)) |
| 55 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞)) |
| 56 | | elpwinss 45054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋) |
| 57 | 56 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋) |
| 58 | 57 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
| 59 | 55, 58 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞)) |
| 60 | 53, 59 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ) |
| 61 | 52, 60 | fsumrecl 15770 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ) |
| 62 | 48, 50, 61 | ltsubaddd 11859 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) →
(((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔
(Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌))) |
| 63 | 62 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
(((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔
(Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌))) |
| 64 | 47, 63 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
(Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)) |
| 65 | 54, 57 | fssresd 6775 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,)+∞)) |
| 66 | 52, 65 | sge0fsum 46402 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦)) |
| 67 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)) |
| 68 | 67 | sumeq2i 15734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Σ𝑦 ∈
𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) |
| 69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) |
| 70 | 66, 69 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) =
(Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥))) |
| 71 | 70 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |
| 72 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) =
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |
| 73 | 64, 72 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧
((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |
| 74 | 40, 46, 73 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) →
(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |
| 75 | 74 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) →
(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))) |
| 76 | 75 | reximdva 3168 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))) |
| 77 | 76 | imp 406 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |
| 78 | 14, 39, 77 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |
| 79 | 78 | 3exp 1120 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))) |
| 80 | 12, 13, 79 | rexlimd 3266 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))) |
| 81 | 11, 80 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩
Fin)(Σ^‘𝐹) <
((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)) |