Theorem sge0ltfirp 45926

Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0ltfirp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ltfirp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
sge0ltfirp.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0ltfirp

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirp.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2		sge0ltfirp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0ltfirp.re	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
4	2, 1, 3	sge0rern 45914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5	1, 4	fge0iccico 45896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6	5	sge0rnre 45890	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
7		sge0rnn0 45894	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
9	2, 1, 3	sge0rnbnd 45919	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))𝑤 ≤ 𝑧)
10		sge0ltfirp.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
11	6, 8, 9, 10	suprltrp 44848	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
12		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
13		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)
14		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → 𝜑)
15		vex 3465	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
17	16	elrnmpt 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
19	18	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
20	19	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
21		nfmpt1 5257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
22	21	nfrn 5954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
23		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
24		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 <
25	22, 23, 24	nfsup 9476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < )
26		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 −
27		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
28	25, 26, 27	nfov 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌)
29		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
30	28, 24, 29	nfbr 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤
31		simpl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤)
32		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
33	31, 32	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 ∧ 𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
35	34	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))))
36	30, 35	reximdai 3248	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
37	36	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
38	20, 37	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
39	38	3adant1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
40		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)))
41	2, 1, 3	sge0supre 45915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ))
42	41	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
43	42	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌))
44		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
45	43, 44	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
46	45	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
47		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
48	3	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
49	10	rpred 13051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
50	49	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
51		elinel2 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
52	51	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
53		rge0ssre 13468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
54	5	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
55	54	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
56		elpwinss 44555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
57	56	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
58	57	sselda 3976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋)
59	55, 58	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
60	53, 59	sselid 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
61	52, 60	fsumrecl 15716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
62	48, 50, 61	ltsubaddd 11842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
63	62	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ↔ (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌)))
64	47, 63	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌))
65	54, 57	fssresd 6764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥⟶(0[,)+∞))
66	52, 65	sge0fsum 45913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦))
67		fvres 6915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
68	67	sumeq2i 15681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑥)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
70	66, 69	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)))
71	70	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
72	71	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) + 𝑌) = ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
73	64, 72	breqtrd 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ ((Σ^‘𝐹) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
74	40, 46, 73	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
75	74	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → (Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
76	75	reximdva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
77	76	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
78	14, 39, 77	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))
79	78	3exp 1116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))))
80	12, 13, 79	rexlimd 3253	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))(sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ, < ) − 𝑌) < 𝑤 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌)))
81	11, 80	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘𝐹) < ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑥)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5679   ↾ cres 5680  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143  +∞cpnf 11277   < clt 11280   − cmin 11476  ℝ⁺crp 13009  [,)cico 13361  [,]cicc 13362  Σcsu 15668  Σ^{^}csumge0 45888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889

This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt  45934  sge0ltfirpmpt2  45952