Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem20 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem20 45143
Description: Every interval in the partition 𝑆 is included in an interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem20.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem20.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem20.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fourierdlem20.q (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
fourierdlem20.q0 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ≀ 𝐴)
fourierdlem20.qm (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ (π‘„β€˜π‘€))
fourierdlem20.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem20.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
fourierdlem20.s (πœ‘ β†’ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem20.i 𝐼 = sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   π‘˜,𝐽   𝑖,𝑀   π‘˜,𝑀   𝑄,𝑖   𝑄,π‘˜   𝑆,𝑖   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘˜)   𝐴(𝑖,π‘˜)   𝐡(𝑖,π‘˜)   𝑇(𝑖,π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑁(𝑖,π‘˜)
Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3 𝐼 = sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < )
2 ssrab2 4078 . . . 4 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† (0..^𝑀)
3 fzossfz 13656 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
4 fzssz 13508 . . . . . . . 8 (0...𝑀) βŠ† β„€
53, 4sstri 3992 . . . . . . 7 (0..^𝑀) βŠ† β„€
62, 5sstri 3992 . . . . . 6 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† β„€
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† β„€)
8 0z 12574 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
9 0le0 12318 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
10 eluz2 12833 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ (0 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 0))
118, 8, 9, 10mpbir3an 1340 . . . . . . . . 9 0 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
13 fourierdlem20.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1413nnzd 12590 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1513nngt0d 12266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
16 elfzo2 13640 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1342 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
18 fourierdlem20.q . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
193, 17sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
2018, 19ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
21 fourierdlem20.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
22 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
2321rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
24 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2524rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
26 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
27 lbicc2 13446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
29 ubicc2 13447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3023, 25, 26, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3128, 30jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
32 prssg 4823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ {𝐴, 𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
3323, 25, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ↔ {𝐴, 𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡)))
3431, 33mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡))
35 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)) βŠ† (𝐴(,)𝐡)
36 ioossicc 13415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3735, 36sstri 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3934, 38unssd 4187 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4022, 39eqsstrid 4031 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4121, 24iccssred 13416 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
4240, 41sstrd 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
43 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
44 isof1o 7323 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) β†’ 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇)
45 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇 β†’ 𝑆:(0...𝑁)βŸΆπ‘‡)
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆:(0...𝑁)βŸΆπ‘‡)
47 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
48 elfzofz 13653 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑁))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑁))
5046, 49ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ 𝑇)
5142, 50sseldd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ)
52 fourierdlem20.q0 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ≀ 𝐴)
5340, 50sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ (𝐴[,]𝐡))
54 iccgelb 13385 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜π½) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ (π‘†β€˜π½))
5523, 25, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (π‘†β€˜π½))
5620, 21, 51, 52, 55letrd 11376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘†β€˜π½))
57 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜0))
5857breq1d 5159 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½) ↔ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘†β€˜π½)))
5958elrab 3684 . . . . . . 7 (0 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜0) ≀ (π‘†β€˜π½)))
6017, 56, 59sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)})
6160ne0d 4336 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} β‰  βˆ…)
6213nnred 12232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
632sseli 3979 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} β†’ 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
64 elfzo0le 13681 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
6665adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
6766ralrimiva 3145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ 𝑀)
68 breq2 5153 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑗 ≀ π‘₯ ↔ 𝑗 ≀ 𝑀))
6968ralbidv 3176 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ 𝑀))
7069rspcev 3613 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ π‘₯)
7162, 67, 70syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ π‘₯)
72 suprzcl 12647 . . . . 5 (({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† β„€ ∧ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ π‘₯) β†’ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < ) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)})
737, 61, 71, 72syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < ) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)})
742, 73sselid 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
751, 74eqeltrid 2836 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
763, 75sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
7718, 76ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΌ) ∈ ℝ)
7877rexrd 11269 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΌ) ∈ ℝ*)
79 fzofzp1 13734 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8075, 79syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8118, 80ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8281rexrd 11269 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
831, 73eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)})
84 nfrab1 3450 . . . . . . . 8 β„²π‘˜{π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}
85 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β„
86 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ <
8784, 85, 86nfsup 9449 . . . . . . 7 β„²π‘˜sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < )
881, 87nfcxfr 2900 . . . . . 6 β„²π‘˜πΌ
89 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘˜(0..^𝑀)
90 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘„
9190, 88nffv 6902 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘„β€˜πΌ)
92 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘˜ ≀
93 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘†β€˜π½)
9491, 92, 93nfbr 5196 . . . . . 6 β„²π‘˜(π‘„β€˜πΌ) ≀ (π‘†β€˜π½)
95 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜πΌ))
9695breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½) ↔ (π‘„β€˜πΌ) ≀ (π‘†β€˜π½)))
9788, 89, 94, 96elrabf 3680 . . . . 5 (𝐼 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜πΌ) ≀ (π‘†β€˜π½)))
9883, 97sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜πΌ) ≀ (π‘†β€˜π½)))
9998simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΌ) ≀ (π‘†β€˜π½))
100 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
10182adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
102 iccssxr 13412 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ*
10340, 102sstrdi 3995 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† ℝ*)
104 fzofzp1 13734 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10547, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10646, 105ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
107103, 106sseldd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
108107adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
109 xrltnle 11286 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ↔ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
110101, 108, 109syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ↔ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
111100, 110mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
112 fzssz 13508 . . . . . 6 (0...𝑁) βŠ† β„€
113 f1ofo 6841 . . . . . . . . . 10 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto→𝑇 β†’ 𝑆:(0...𝑁)–onto→𝑇)
11443, 44, 1133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆:(0...𝑁)–onto→𝑇)
115114adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ 𝑆:(0...𝑁)–onto→𝑇)
116 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ Fun 𝑄)
11718, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Fun 𝑄)
11818fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝑄 = (0...𝑀))
119118eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = dom 𝑄)
12080, 119eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄)
121 fvelrn 7079 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑄 ∧ (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
122117, 120, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
12423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
12525adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12681adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
12741, 53sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ)
1284sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
129 zre 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ β„€ β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
13076, 128, 1293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
132131ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ 𝐼 < (𝐼 + 1))
133132adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ 𝐼 < (𝐼 + 1))
134 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
135127ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ)
136 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
137134, 135, 136nltled 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½))
138130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
139 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ 1 ∈ ℝ)
140138, 139readdcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
141 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
142141zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
143142ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^𝑀) βŠ† ℝ
1442, 143sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† ℝ)
14661adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} β‰  βˆ…)
14771adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ π‘₯)
14881adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
149127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ)
15024adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
151 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½))
15242, 106sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
154 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
155 zre 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ β„€ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
15647, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
157156ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝐽 < (𝐽 + 1))
158 isorel 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
15943, 49, 105, 158syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
160157, 159mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
16240, 106sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
163 iccleub 13384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ 𝐡)
16423, 25, 162, 163syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ 𝐡)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ 𝐡)
166149, 153, 150, 161, 165ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘†β€˜π½) < 𝐡)
167148, 149, 150, 151, 166lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐡)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐡)
16924adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17081adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
171 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ (π‘„β€˜π‘€))
172171adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ≀ (π‘„β€˜π‘€))
17314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
17480adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
175 fzval3 13706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
17614, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
177176adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
178174, 177eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)))
179 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
180178, 179jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
181 elfzonelfzo 13739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1))))
182173, 180, 181sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1)))
183 fzval3 13706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
18414, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
185184eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
187182, 186eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀))
188 elfz1eq 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀) β†’ (𝐼 + 1) = 𝑀)
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) = 𝑀)
190189eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 = (𝐼 + 1))
191190fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
192172, 191breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
193169, 170, 192lensymd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐡)
194193adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) ∧ Β¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐡)
195168, 194condan 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
196 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜ +
197 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜1
19888, 196, 197nfov 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(𝐼 + 1)
19990, 198nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜(π‘„β€˜(𝐼 + 1))
200199, 92, 93nfbr 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)
201 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ = (𝐼 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
202201breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½) ↔ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)))
203198, 89, 200, 202elrabf 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)))
204195, 151, 203sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)})
205 suprub 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} βŠ† ℝ ∧ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)} β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}𝑗 ≀ π‘₯) ∧ (𝐼 + 1) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}) β†’ (𝐼 + 1) ≀ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < ))
206145, 146, 147, 204, 205syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (𝐼 + 1) ≀ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜π½)}, ℝ, < ))
207206, 1breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐼)
208140, 138, 207lensymd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ Β¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
209208adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘†β€˜π½)) β†’ Β¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
210137, 209syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ Β¬ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
211133, 210condan 815 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
21281, 211mpdan 684 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
21321, 127, 81, 55, 212lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
214213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ 𝐴 < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
215152adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
21624adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
217 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
218164adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ 𝐡)
219126, 215, 216, 217, 218ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐡)
220124, 125, 126, 214, 219eliood 44511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴(,)𝐡))
221123, 220elind 4195 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)))
222 elun2 4178 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡))))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐡} βˆͺ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐡))))
224223, 22eleqtrrdi 2843 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇)
225 foelrn 7109 . . . . . . . 8 ((𝑆:(0...𝑁)–onto→𝑇 ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—))
226115, 224, 225syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—))
227212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
228 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—))
229227, 228breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜π‘—))
230229adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜π‘—))
23143ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
23249anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
233232adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
234 isorel 7326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐽 < 𝑗 ↔ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜π‘—)))
235231, 233, 234syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (𝐽 < 𝑗 ↔ (π‘†β€˜π½) < (π‘†β€˜π‘—)))
236230, 235mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ 𝐽 < 𝑗)
237236adantllr 716 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ 𝐽 < 𝑗)
238 eqcom 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—) ↔ (π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
239238biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—) β†’ (π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
240239adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π‘—) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
241 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
242240, 241eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π‘—) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
243242adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π‘—) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
244243adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (π‘†β€˜π‘—) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
24543ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
246 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑁))
247105ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
248 isorel 7326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (π‘†β€˜π‘—) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
249245, 246, 247, 248syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (π‘†β€˜π‘—) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
250249adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (π‘†β€˜π‘—) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
251244, 250mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 < (𝐽 + 1))
252237, 251jca 511 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—)) β†’ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
253252ex 412 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—) β†’ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))))
254253reximdva 3167 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = (π‘†β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))))
255226, 254mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
256 ssrexv 4052 . . . . . 6 ((0...𝑁) βŠ† β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))))
257112, 255, 256mpsyl 68 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
258111, 257syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
259 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
26047, 154syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
261260ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
262 simprl 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))) β†’ 𝐽 < 𝑗)
263 simprr 770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))) β†’ 𝑗 < (𝐽 + 1))
264 btwnnz 12643 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ β„€ ∧ 𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)) β†’ Β¬ 𝑗 ∈ β„€)
265261, 262, 263, 264syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1))) β†’ Β¬ 𝑗 ∈ β„€)
266259, 265pm2.65da 814 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ Β¬ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
267266nrexdv 3148 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
268267adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐽 < 𝑗 ∧ 𝑗 < (𝐽 + 1)))
269258, 268condan 815 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
270 ioossioo 13423 . . 3 ((((π‘„β€˜πΌ) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘„β€˜πΌ) ≀ (π‘†β€˜π½) ∧ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))) β†’ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
27178, 82, 99, 269, 270syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
272 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜πΌ))
273 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
274273fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
275272, 274oveq12d 7430 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
276275sseq2d 4015 . . 3 (𝑖 = 𝐼 β†’ (((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)))))
277276rspcev 3613 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
27875, 271, 277syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7412  supcsup 9438  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  45172
  Copyright terms: Public domain W3C validator