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Theorem fourierdlem20 41005
Description: Every interval in the partition 𝑆 is included in an interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem20.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem20.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem20.aleb (𝜑𝐴𝐵)
fourierdlem20.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem20.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
fourierdlem20.qm (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
fourierdlem20.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem20.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
fourierdlem20.s (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem20.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑘,𝐽   𝑖,𝑀   𝑘,𝑀   𝑄,𝑖   𝑄,𝑘   𝑆,𝑖   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘)   𝐴(𝑖,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑘)   𝑇(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
2 ssrab2 3849 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ (0..^𝑀)
3 fzossfz 12701 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4 fzssz 12555 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℤ
53, 4sstri 3772 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
62, 5sstri 3772 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ)
8 0z 11639 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 0le0 11384 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
10 eluz2 11897 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0))
118, 8, 9, 10mpbir3an 1441 . . . . . . . . 9 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 fourierdlem20.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 11733 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1513nngt0d 11325 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
16 elfzo2 12686 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1443 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
18 fourierdlem20.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
193, 17sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2018, 19ffvelrnd 6554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
21 fourierdlem20.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
22 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
2321rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2524rexrd 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
26 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
27 lbicc2 12497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 ubicc2 12498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3023, 25, 26, 29syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3128, 30jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32 prssg 4506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3323, 25, 32syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3431, 33mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
35 inss2 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
36 ioossicc 12466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3735, 36sstri 3772 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3934, 38unssd 3953 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4022, 39syl5eqss 3811 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4121, 24iccssred 40393 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4240, 41sstrd 3773 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ)
43 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
44 isof1o 6769 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇)
45 f1of 6324 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
47 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
48 elfzofz 12698 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5046, 49ffvelrnd 6554 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ 𝑇)
5142, 50sseldd 3764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
52 fourierdlem20.q0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
5340, 50sseldd 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵))
54 iccgelb 12437 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5523, 25, 53, 54syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5620, 21, 51, 52, 55letrd 10452 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽))
57 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
5857breq1d 4821 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
5958elrab 3521 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
6017, 56, 59sylanbrc 578 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
6160ne0d 4088 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
6213nnred 11295 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
632sseli 3759 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
64 elfzo0le 12725 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗𝑀)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗𝑀)
6665adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → 𝑗𝑀)
6766ralrimiva 3113 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀)
68 breq2 4815 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝑗𝑥𝑗𝑀))
6968ralbidv 3133 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀))
7069rspcev 3462 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
7162, 67, 70syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
72 suprzcl 11709 . . . . 5 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
737, 61, 71, 72syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
742, 73sseldi 3761 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
751, 74syl5eqel 2848 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
763, 75sseldi 3761 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
7718, 76ffvelrnd 6554 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
7877rexrd 10347 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
79 fzofzp1 12778 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8075, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8118, 80ffvelrnd 6554 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8281rexrd 10347 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
831, 73syl5eqel 2848 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
84 nfrab1 3270 . . . . . . . 8 𝑘{𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}
85 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘
86 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘 <
8784, 85, 86nfsup 8568 . . . . . . 7 𝑘sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
881, 87nfcxfr 2905 . . . . . 6 𝑘𝐼
89 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑘(0..^𝑀)
90 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘𝑄
9190, 88nffv 6389 . . . . . . 7 𝑘(𝑄𝐼)
92 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑘
93 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑘(𝑆𝐽)
9491, 92, 93nfbr 4858 . . . . . 6 𝑘(𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)
95 fveq2 6379 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
9695breq1d 4821 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9788, 89, 94, 96elrabf 3517 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9883, 97sylib 209 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9998simprd 489 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽))
100 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
10182adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
102 iccssxr 12463 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
10340, 102syl6ss 3775 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ*)
104 fzofzp1 12778 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10547, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10646, 105ffvelrnd 6554 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
107103, 106sseldd 3764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
108107adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
109 xrltnle 10363 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
110101, 108, 109syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
111100, 110mpbird 248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
112 fzssz 12555 . . . . . 6 (0...𝑁) ⊆ ℤ
113 f1ofo 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
11443, 44, 1133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
115114adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
116 ffun 6228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → Fun 𝑄)
11718, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝑄)
11818fdmd 6234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝑄 = (0...𝑀))
119118eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...𝑀) = dom 𝑄)
12080, 119eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄)
121 fvelrn 6546 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑄 ∧ (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
122117, 120, 121syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
123122adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
12423adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12525adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12681adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
12741, 53sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
1284sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
129 zre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
13076, 128, 1293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
131130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
132131ltp1d 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
133132adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
134 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
135127ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
136 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
137134, 135, 136nltled 10445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
138130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
139 1red 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 1 ∈ ℝ)
140138, 139readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
141 elfzoelz 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
142141zred 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
143142ssriv 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
1442, 143sstri 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ)
14661adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
14771adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
14881adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
149127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
15024adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
151 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
15242, 106sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
153152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
154 elfzoelz 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
155 zre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
15647, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
157156ltp1d 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 < (𝐽 + 1))
158 isorel 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
15943, 49, 105, 158syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
160157, 159mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
161160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
16240, 106sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
163 iccleub 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
16423, 25, 162, 163syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
166149, 153, 150, 161, 165ltletrd 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < 𝐵)
167148, 149, 150, 151, 166lelttrd 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
16924adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17081adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
171 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
172171adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
17314adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17480adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
175 fzval3 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℤ → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
17614, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
177176adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
178174, 177eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)))
179 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
180178, 179jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
181 elfzonelfzo 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1))))
182173, 180, 181sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1)))
183 fzval3 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
18414, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
185184eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
186185adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
187182, 186eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀))
188 elfz1eq 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
190189eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 = (𝐼 + 1))
191190fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
192172, 191breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
193169, 170, 192lensymd 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
194193adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
195168, 194condan 852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
196 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 +
197 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘1
19888, 196, 197nfov 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝐼 + 1)
19990, 198nffv 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1))
200199, 92, 93nfbr 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)
201 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
202201breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
203198, 89, 200, 202elrabf 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
204195, 151, 203sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
205 suprub 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
206145, 146, 147, 204, 205syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
207206, 1syl6breqr 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
208140, 138, 207lensymd 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
209208adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
210137, 209syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
211133, 210condan 852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21281, 211mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21321, 127, 81, 55, 212lelttrd 10453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
214213adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
215152adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
21624adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
217 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
218164adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
219126, 215, 216, 217, 218ltletrd 10455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
220124, 125, 126, 214, 219eliood 40386 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
221123, 220elind 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
222 elun2 3945 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
224223, 22syl6eleqr 2855 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇)
225 foelrn 6572 . . . . . . . 8 ((𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
226115, 224, 225syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
227212adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
228 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
229227, 228breqtrd 4837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
230229adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
23143ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
23249anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
233232adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
234 isorel 6772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
235231, 233, 234syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
236230, 235mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
237236adantllr 710 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
238 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) ↔ (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
239238biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
240239adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
241 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
242240, 241eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
243242adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
244243adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
24543ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
246 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
247105ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
248 isorel 6772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
249245, 246, 247, 248syl12anc 865 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
250249adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
251244, 250mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
252237, 251jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
253252ex 401 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
254253reximdva 3163 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
255226, 254mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
256 ssrexv 3829 . . . . . 6 ((0...𝑁) ⊆ ℤ → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
257112, 255, 256mpsyl 68 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
258111, 257syldan 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
259 simplr 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
26047, 154syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
261260ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
262 simprl 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑗)
263 simprr 789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
264 btwnnz 11705 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
265261, 262, 263, 264syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
266259, 265pm2.65da 851 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ¬ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
267266nrexdv 3147 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
268267adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
269258, 268condan 852 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
270 ioossioo 12473 . . 3 ((((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
27178, 82, 99, 269, 270syl22anc 867 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
272 fveq2 6379 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝐼))
273 oveq1 6853 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
274273fveq2d 6383 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
275272, 274oveq12d 6864 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
276275sseq2d 3795 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
277276rspcev 3462 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
27875, 271, 277syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081  {cpr 4338   class class class wbr 4811  dom cdm 5279  ran crn 5280  Fun wfun 6064  wf 6066  ontowfo 6068  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070   Isom wiso 6071  (class class class)co 6846  supcsup 8557  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cn 11278  cz 11628  cuz 11891  (,)cioo 12382  [,]cicc 12385  ...cfz 12538  ..^cfzo 12678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-ioo 12386  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  41034
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