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Theorem fourierdlem20 41132
Description: Every interval in the partition 𝑆 is included in an interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem20.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem20.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem20.aleb (𝜑𝐴𝐵)
fourierdlem20.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem20.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
fourierdlem20.qm (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
fourierdlem20.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem20.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
fourierdlem20.s (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem20.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑘,𝐽   𝑖,𝑀   𝑘,𝑀   𝑄,𝑖   𝑄,𝑘   𝑆,𝑖   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘)   𝐴(𝑖,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑘)   𝑇(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
2 ssrab2 3914 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ (0..^𝑀)
3 fzossfz 12790 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4 fzssz 12643 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℤ
53, 4sstri 3836 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
62, 5sstri 3836 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ)
8 0z 11722 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 0le0 11466 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
10 eluz2 11981 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0))
118, 8, 9, 10mpbir3an 1445 . . . . . . . . 9 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 fourierdlem20.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 11816 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1513nngt0d 11407 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
16 elfzo2 12775 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1447 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
18 fourierdlem20.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
193, 17sseldi 3825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2018, 19ffvelrnd 6614 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
21 fourierdlem20.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
22 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
2321rexrd 10413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2524rexrd 10413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
26 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
27 lbicc2 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 ubicc2 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3023, 25, 26, 29syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3128, 30jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32 prssg 4570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3323, 25, 32syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3431, 33mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
35 inss2 4060 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
36 ioossicc 12554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3735, 36sstri 3836 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3934, 38unssd 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4022, 39syl5eqss 3874 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4121, 24iccssred 40520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4240, 41sstrd 3837 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ)
43 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
44 isof1o 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇)
45 f1of 6382 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
47 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
48 elfzofz 12787 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5046, 49ffvelrnd 6614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ 𝑇)
5142, 50sseldd 3828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
52 fourierdlem20.q0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
5340, 50sseldd 3828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵))
54 iccgelb 12525 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5523, 25, 53, 54syl3anc 1494 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5620, 21, 51, 52, 55letrd 10520 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽))
57 fveq2 6437 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
5857breq1d 4885 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
5958elrab 3585 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
6017, 56, 59sylanbrc 578 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
6160ne0d 4153 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
6213nnred 11374 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
632sseli 3823 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
64 elfzo0le 12814 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗𝑀)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗𝑀)
6665adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → 𝑗𝑀)
6766ralrimiva 3175 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀)
68 breq2 4879 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝑗𝑥𝑗𝑀))
6968ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀))
7069rspcev 3526 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
7162, 67, 70syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
72 suprzcl 11792 . . . . 5 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
737, 61, 71, 72syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
742, 73sseldi 3825 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
751, 74syl5eqel 2910 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
763, 75sseldi 3825 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
7718, 76ffvelrnd 6614 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
7877rexrd 10413 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
79 fzofzp1 12867 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8075, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8118, 80ffvelrnd 6614 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8281rexrd 10413 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
831, 73syl5eqel 2910 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
84 nfrab1 3333 . . . . . . . 8 𝑘{𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}
85 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑘
86 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑘 <
8784, 85, 86nfsup 8632 . . . . . . 7 𝑘sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
881, 87nfcxfr 2967 . . . . . 6 𝑘𝐼
89 nfcv 2969 . . . . . 6 𝑘(0..^𝑀)
90 nfcv 2969 . . . . . . . 8 𝑘𝑄
9190, 88nffv 6447 . . . . . . 7 𝑘(𝑄𝐼)
92 nfcv 2969 . . . . . . 7 𝑘
93 nfcv 2969 . . . . . . 7 𝑘(𝑆𝐽)
9491, 92, 93nfbr 4922 . . . . . 6 𝑘(𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)
95 fveq2 6437 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
9695breq1d 4885 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9788, 89, 94, 96elrabf 3581 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9883, 97sylib 210 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9998simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽))
100 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
10182adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
102 iccssxr 12551 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
10340, 102syl6ss 3839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ*)
104 fzofzp1 12867 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10547, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10646, 105ffvelrnd 6614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
107103, 106sseldd 3828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
108107adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
109 xrltnle 10431 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
110101, 108, 109syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
111100, 110mpbird 249 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
112 fzssz 12643 . . . . . 6 (0...𝑁) ⊆ ℤ
113 f1ofo 6389 . . . . . . . . . 10 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
11443, 44, 1133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
115114adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
116 ffun 6285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → Fun 𝑄)
11718, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝑄)
11818fdmd 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝑄 = (0...𝑀))
119118eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...𝑀) = dom 𝑄)
12080, 119eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄)
121 fvelrn 6606 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑄 ∧ (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
122117, 120, 121syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
123122adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
12423adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12525adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12681adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
12741, 53sseldd 3828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
1284sseli 3823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
129 zre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
13076, 128, 1293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
131130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
132131ltp1d 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
133132adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
134 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
135127ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
136 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
137134, 135, 136nltled 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
138130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
139 1red 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 1 ∈ ℝ)
140138, 139readdcld 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
141 elfzoelz 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
142141zred 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
143142ssriv 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
1442, 143sstri 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ)
14661adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
14771adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
14881adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
149127adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
15024adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
151 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
15242, 106sseldd 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
153152adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
154 elfzoelz 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
155 zre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
15647, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
157156ltp1d 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 < (𝐽 + 1))
158 isorel 6836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
15943, 49, 105, 158syl12anc 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
160157, 159mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
161160adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
16240, 106sseldd 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
163 iccleub 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
16423, 25, 162, 163syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
165164adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
166149, 153, 150, 161, 165ltletrd 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < 𝐵)
167148, 149, 150, 151, 166lelttrd 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
168167adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
16924adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17081adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
171 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
172171adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
17314adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17480adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
175 fzval3 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℤ → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
17614, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
177176adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
178174, 177eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)))
179 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
180178, 179jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
181 elfzonelfzo 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1))))
182173, 180, 181sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1)))
183 fzval3 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
18414, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
185184eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
186185adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
187182, 186eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀))
188 elfz1eq 12652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
190189eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 = (𝐼 + 1))
191190fveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
192172, 191breqtrd 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
193169, 170, 192lensymd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
194193adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
195168, 194condan 852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
196 nfcv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 +
197 nfcv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘1
19888, 196, 197nfov 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝐼 + 1)
19990, 198nffv 6447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1))
200199, 92, 93nfbr 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)
201 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
202201breq1d 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
203198, 89, 200, 202elrabf 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
204195, 151, 203sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
205 suprub 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
206145, 146, 147, 204, 205syl31anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
207206, 1syl6breqr 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
208140, 138, 207lensymd 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
209208adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
210137, 209syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
211133, 210condan 852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21281, 211mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21321, 127, 81, 55, 212lelttrd 10521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
214213adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
215152adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
21624adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
217 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
218164adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
219126, 215, 216, 217, 218ltletrd 10523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
220124, 125, 126, 214, 219eliood 40513 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
221123, 220elind 4027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
222 elun2 4010 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
224223, 22syl6eleqr 2917 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇)
225 foelrn 6632 . . . . . . . 8 ((𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
226115, 224, 225syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
227212adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
228 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
229227, 228breqtrd 4901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
230229adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
23143ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
23249anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
233232adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
234 isorel 6836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
235231, 233, 234syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
236230, 235mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
237236adantllr 710 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
238 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) ↔ (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
239238biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
240239adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
241 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
242240, 241eqbrtrd 4897 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
243242adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
244243adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
24543ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
246 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
247105ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
248 isorel 6836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
249245, 246, 247, 248syl12anc 870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
250249adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
251244, 250mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
252237, 251jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
253252ex 403 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
254253reximdva 3225 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
255226, 254mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
256 ssrexv 3892 . . . . . 6 ((0...𝑁) ⊆ ℤ → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
257112, 255, 256mpsyl 68 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
258111, 257syldan 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
259 simplr 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
26047, 154syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
261260ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
262 simprl 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑗)
263 simprr 789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
264 btwnnz 11788 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
265261, 262, 263, 264syl3anc 1494 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
266259, 265pm2.65da 851 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ¬ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
267266nrexdv 3209 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
268267adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
269258, 268condan 852 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
270 ioossioo 12561 . . 3 ((((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
27178, 82, 99, 269, 270syl22anc 872 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
272 fveq2 6437 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝐼))
273 oveq1 6917 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
274273fveq2d 6441 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
275272, 274oveq12d 6928 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
276275sseq2d 3858 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
277276rspcev 3526 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
27875, 271, 277syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4146  {cpr 4401   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  ran crn 5347  Fun wfun 6121  wf 6123  ontowfo 6125  1-1-ontowf1o 6126  cfv 6127   Isom wiso 6128  (class class class)co 6910  supcsup 8621  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  cn 11357  cz 11711  cuz 11975  (,)cioo 12470  [,]cicc 12473  ...cfz 12626  ..^cfzo 12767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-ioo 12474  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  41161
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