Theorem ssfiunibd 46464

Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfiunibd.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
ssfiunibd.ssun	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfiunibd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfiunibd.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝜑)
3		19.8a 2220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		eluni 4872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	4, 5	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
7	6	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
8		ssfiunibd.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ssfiunibd.bd	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
12	9, 10, 11	upbdrech2 46463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
13	12	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15		fimaxre3 12273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
16	1, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17		nfv 1948	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
18		nfcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
19		nfv 1948	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = ∅
20		nfcv 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧0
21		nfre1 3290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵
22	21	nfab 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
23		nfcv 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
24		nfcv 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 <
25	22, 23, 24	nfsup 9453	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
26	19, 20, 25	nfif 4515	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
28		nfcv 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
29	26, 27, 28	nfbr 5154	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
30	18, 29	nfralw 3312	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
31	17, 30	nfan 1933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32		ssfiunibd.ssun	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
33	32	sselda 3912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
34	33, 5	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
35		exancom 1893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
36	34, 35	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
37		df-rex 3090	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
39	38	ad4ant14 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
40		nfv 1948	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
41		nfra1 3289	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
42	40, 41	nfan 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43		nfv 1948	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐶
44	42, 43	nfan 1933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)
45		nfv 1948	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≤ 𝑤
46	9	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		n0i 4288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
51	50	iffalsed 4495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
52	51	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53	52	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54	13	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
55	53, 54	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56	55	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57	56	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58		simp1lr 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59		nfv 1948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
60		nfab1 2927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
61		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢ℝ
62		abid 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
63	62	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
64	63	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
65		nfv 1948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
66	21	nfsab 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
67	65, 66	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
68		nfv 1948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
70	9	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	69, 70	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72	71	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
74	67, 68, 73	rexlimd 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ))
75	64, 74	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
76	75	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
77	59, 60, 61, 76	ssrd 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78	77	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
80		elabrexg 7254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
81	79, 46, 80	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
82	81	ne0d 4290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83		abid 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
84	83	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
85		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑣 = 𝐵))
86	85	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵))
87	86	cbvabv 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵}
88	84, 87	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
89	88	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
90		nfra1 3289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦
91	65, 90	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
92	21	nfsab 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
93	91, 92	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
94		nfv 1948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ≤ 𝑦
95		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
96		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑦)
97	96	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
98	95, 97	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝑦)
99	98	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
100	99	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
102	93, 94, 101	rexlimd 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦))
103	89, 102	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣 ≤ 𝑦)
104	103	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
105	104	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
106	105	reximdv 3180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
107	10, 106	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
108	107	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
109		suprub 12288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
110	78, 82, 108, 81, 109	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
111	110	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
112	111	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113	52	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
114		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
115	114	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116	113, 115	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
117	116	3adant1l 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
118	48, 57, 58, 112, 117	letrd 11477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑤)
119	118	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
120	119	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
121	44, 45, 120	rexlimd 3272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤))
122	39, 121	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑤)
123	122	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝑤))
124	31, 123	ralrimi 3263	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)
125	124	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
126	125	reximdva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
127	16, 126	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ifcif 4484  ∪ cuni 4869   class class class wbr 5105  Fincfn 8984  supcsup 9442  ℝcr 11209  0cc0 11210   < clt 11353   ≤ cle 11354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554

This theorem is used by:  fourierdlem70  47325  fourierdlem71  47326  fourierdlem80  47335