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Theorem ssfiunibd 41437
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
ssfiunibd.ssun (𝜑𝐶 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝜑)
3 19.8a 2172 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
43ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
5 eluni 4839 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
64, 5sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
76adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
11 eqid 2825 . . . . . 6 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
129, 10, 11upbdrech2 41436 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
1312simpld 495 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3186 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15 fimaxre3 11579 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
161, 14, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17 nfv 1908 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
18 nfcv 2981 . . . . . . 7 𝑧𝐴
19 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 = ∅
20 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑧0
21 nfre1 3310 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵
2221nfab 2988 . . . . . . . . . 10 𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
23 nfcv 2981 . . . . . . . . . 10 𝑧
24 nfcv 2981 . . . . . . . . . 10 𝑧 <
2522, 23, 24nfsup 8907 . . . . . . . . 9 𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
2619, 20, 25nfif 4498 . . . . . . . 8 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27 nfcv 2981 . . . . . . . 8 𝑧
28 nfcv 2981 . . . . . . . 8 𝑧𝑤
2926, 27, 28nfbr 5109 . . . . . . 7 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3018, 29nfral 3230 . . . . . 6 𝑧𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3117, 30nfan 1893 . . . . 5 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 𝐴)
3332sselda 3970 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 𝐴)
3433, 5sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
35 exancom 1854 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3634, 35sylib 219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
37 df-rex 3148 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3836, 37sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
3938ad4ant14 748 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
40 nfv 1908 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
41 nfra1 3223 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
4240, 41nfan 1893 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑧𝐶
4442, 43nfan 1893 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶)
45 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑥 𝐵𝑤
4693impa 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47463adant1r 1171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48473adant1r 1171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 n0i 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
5150iffalsed 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
5251eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53523adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54133adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5553, 54eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56553adant1r 1171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57563adant1r 1171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58 simp1lr 1231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢(𝜑𝑥𝐴)
60 nfab1 2983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
61 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢
62 abid 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6362biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
65 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝜑𝑥𝐴)
6621nfsab 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
6765, 66nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
68 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
7093adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72713exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7467, 68, 73rexlimd 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ))
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
7675ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
7759, 60, 61, 76ssrd 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78773adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
80 elabrexg 41164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8179, 46, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8281ne0d 4304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83 abid 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8483biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
85 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵𝑣 = 𝐵))
8685rexbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵))
8786cbvabv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵}
8884, 87eleq2s 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
90 nfra1 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧𝑧𝑥 𝐵𝑦
9165, 90nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
9221nfsab 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
9391, 92nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧(((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
94 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 𝑣𝑦
95 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
96 rspa 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥) → 𝐵𝑦)
97963adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
9895, 97eqbrtrd 5084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣𝑦)
99983exp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10293, 94, 101rexlimd 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵𝑣𝑦))
10389, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣𝑦)
104103ralrimiva 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
105104ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
106105reximdv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
10710, 106mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
1081073adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
109 suprub 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
11078, 82, 108, 81, 109syl31anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1111103adant1r 1171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1121113adant1r 1171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113523adant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
114 rspa 3210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
1151143adant3 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116113, 115eqbrtrd 5084 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
1171163adant1l 1170 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
11848, 57, 58, 112, 117letrd 10789 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵𝑤)
1191183exp 1113 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
120119adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
12144, 45, 120rexlimd 3321 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥𝐵𝑤))
12239, 121mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐵𝑤)
123122ex 413 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧𝐶𝐵𝑤))
12431, 123ralrimi 3220 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
125124ex 413 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
126125reximdva 3278 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
12716, 126mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  {cab 2803  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  wss 3939  c0 4294  ifcif 4469   cuni 4836   class class class wbr 5062  Fincfn 8501  supcsup 8896  cr 10528  0cc0 10529   < clt 10667  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  42323  fourierdlem71  42324  fourierdlem80  42333
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