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Theorem ssfiunibd 40004
Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfiunibd.fi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
ssfiunibd.ssun (𝜑𝐶 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfiunibd (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfiunibd.fi . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 simpll 774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝜑)
3 19.8a 2217 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
43ancoms 448 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
5 eluni 4633 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
64, 5sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
76adantll 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 𝐴)
8 ssfiunibd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
92, 7, 8syl2anc 575 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 ssfiunibd.bd . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
11 eqid 2806 . . . . . 6 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
129, 10, 11upbdrech2 40003 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
1312simpld 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3154 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15 fimaxre3 11255 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
161, 14, 15syl2anc 575 . 2 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17 nfv 2005 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
18 nfcv 2948 . . . . . . 7 𝑧𝐴
19 nfv 2005 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 = ∅
20 nfcv 2948 . . . . . . . . 9 𝑧0
21 nfre1 3192 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵
2221nfab 2953 . . . . . . . . . 10 𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
23 nfcv 2948 . . . . . . . . . 10 𝑧
24 nfcv 2948 . . . . . . . . . 10 𝑧 <
2522, 23, 24nfsup 8596 . . . . . . . . 9 𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
2619, 20, 25nfif 4308 . . . . . . . 8 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27 nfcv 2948 . . . . . . . 8 𝑧
28 nfcv 2948 . . . . . . . 8 𝑧𝑤
2926, 27, 28nfbr 4891 . . . . . . 7 𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3018, 29nfral 3133 . . . . . 6 𝑧𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
3117, 30nfan 1990 . . . . 5 𝑧((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32 ssfiunibd.ssun . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 𝐴)
3332sselda 3798 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 𝐴)
3433, 5sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴))
35 exancom 1947 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝑧𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3634, 35sylib 209 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
37 df-rex 3102 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑧𝑥))
3836, 37sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
3938ad4ant14 750 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
40 nfv 2005 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
41 nfra1 3129 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
4240, 41nfan 1990 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43 nfv 2005 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑧𝐶
4442, 43nfan 1990 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶)
45 nfv 2005 . . . . . . . 8 𝑥 𝐵𝑤
4693impa 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47463adant1r 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48473adant1r 1216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 n0i 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
5049adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
5150iffalsed 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
5251eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53523adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54133adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5553, 54eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56553adant1r 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57563adant1r 1216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58 simp1lr 1311 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢(𝜑𝑥𝐴)
60 nfab1 2950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
61 nfcv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑢
62 abid 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6362biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
6463adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵)
65 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝜑𝑥𝐴)
6621nfsab 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
6765, 66nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
68 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
7093adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7169, 70eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72713exp 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7372adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ)))
7467, 68, 73rexlimd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵𝑢 ∈ ℝ))
7564, 74mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
7675ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
7759, 60, 61, 76ssrd 3803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78773adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
80 elabrexg 39700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8179, 46, 80syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
8281ne0d 4123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83 abid 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8483biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
85 eqeq1 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵𝑣 = 𝐵))
8685rexbidv 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵))
8786cbvabv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵}
8884, 87eleq2s 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
8988adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵)
90 nfra1 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧𝑧𝑥 𝐵𝑦
9165, 90nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦)
9221nfsab 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}
9391, 92nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧(((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵})
94 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 𝑣𝑦
95 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
96 rspa 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥) → 𝐵𝑦)
97963adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
9895, 97eqbrtrd 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑧𝑥 𝐵𝑦𝑧𝑥𝑣 = 𝐵) → 𝑣𝑦)
99983exp 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10099adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
101100adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧𝑥 → (𝑣 = 𝐵𝑣𝑦)))
10293, 94, 101rexlimd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧𝑥 𝑣 = 𝐵𝑣𝑦))
10389, 102mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣𝑦)
104103ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
105104ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
106105reximdv 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑥 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦))
10710, 106mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
1081073adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦)
109 suprub 11269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
11078, 82, 108, 81, 109syl31anc 1485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1111103adant1r 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
1121113adant1r 1216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113523adant1 1153 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
114 rspa 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
1151143adant3 1155 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116113, 115eqbrtrd 4866 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
1171163adant1l 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
11848, 57, 58, 112, 117letrd 10479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝐵𝑤)
1191183exp 1141 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
120119adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥𝐵𝑤)))
12144, 45, 120rexlimd 3214 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥𝐵𝑤))
12239, 121mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐵𝑤)
123122ex 399 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧𝐶𝐵𝑤))
12431, 123ralrimi 3145 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
125124ex 399 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
126125reximdva 3204 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤))
12716, 126mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧𝐶 𝐵𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  {cab 2792  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  wss 3769  c0 4116  ifcif 4279   cuni 4630   class class class wbr 4844  Fincfn 8192  supcsup 8585  cr 10220  0cc0 10221   < clt 10359  cle 10360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554
This theorem is referenced by:  fourierdlem70  40872  fourierdlem71  40873  fourierdlem80  40882
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