Theorem ssfiunibd 43792

Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfiunibd.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
ssfiunibd.ssun	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfiunibd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfiunibd.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝜑)
3		19.8a 2174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ancoms 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		eluni 4904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	4, 5	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
7	6	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
8		ssfiunibd.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ssfiunibd.bd	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
12	9, 10, 11	upbdrech2 43791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
13	12	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15		fimaxre3 12142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
16	1, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
18		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
19		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = ∅
20		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧0
21		nfre1 3281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵
22	21	nfab 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
23		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
24		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 <
25	22, 23, 24	nfsup 9428	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
26	19, 20, 25	nfif 4552	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
28		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
29	26, 27, 28	nfbr 5188	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
30	18, 29	nfralw 3307	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
31	17, 30	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32		ssfiunibd.ssun	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
33	32	sselda 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
34	33, 5	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
35		exancom 1864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
36	34, 35	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
37		df-rex 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
38	36, 37	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
39	38	ad4ant14 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
40		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
41		nfra1 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
42	40, 41	nfan 1902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐶
44	42, 43	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)
45		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≤ 𝑤
46	9	3impa 1110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		n0i 4329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
51	50	iffalsed 4533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
52	51	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53	52	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54	13	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
55	53, 54	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56	55	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57	56	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58		simp1lr 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
60		nfab1 2904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
61		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢ℝ
62		abid 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
63	62	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
65		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
66	21	nfsab 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
67	65, 66	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
68		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
70	9	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	69, 70	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72	71	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
74	67, 68, 73	rexlimd 3262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ))
75	64, 74	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
76	75	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
77	59, 60, 61, 76	ssrd 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78	77	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
80		elabrexg 43499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
81	79, 46, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
82	81	ne0d 4331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83		abid 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
84	83	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
85		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑣 = 𝐵))
86	85	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵))
87	86	cbvabv 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵}
88	84, 87	eleq2s 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
90		nfra1 3280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦
91	65, 90	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
92	21	nfsab 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
93	91, 92	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
94		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ≤ 𝑦
95		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
96		rspa 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑦)
97	96	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
98	95, 97	eqbrtrd 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝑦)
99	98	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
102	93, 94, 101	rexlimd 3262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦))
103	89, 102	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣 ≤ 𝑦)
104	103	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
105	104	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
106	105	reximdv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
107	10, 106	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
108	107	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
109		suprub 12157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
110	78, 82, 108, 81, 109	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
111	110	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
112	111	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113	52	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
114		rspa 3244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
115	114	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116	113, 115	eqbrtrd 5163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
117	116	3adant1l 1176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
118	48, 57, 58, 112, 117	letrd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑤)
119	118	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
120	119	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
121	44, 45, 120	rexlimd 3262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤))
122	39, 121	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑤)
123	122	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝑤))
124	31, 123	ralrimi 3253	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)
125	124	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
126	125	reximdva 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
127	16, 126	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2708   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  ifcif 4522  ∪ cuni 4901   class class class wbr 5141  Fincfn 8922  supcsup 9417  ℝcr 11091  0cc0 11092   < clt 11230   ≤ cle 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  44665  fourierdlem71  44666  fourierdlem80  44675