Theorem ssfiunibd 45224

Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfiunibd.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
ssfiunibd.ssun	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfiunibd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfiunibd.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝜑)
3		19.8a 2182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		eluni 4934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	4, 5	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
7	6	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
8		ssfiunibd.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ssfiunibd.bd	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
11		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
12	9, 10, 11	upbdrech2 45223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15		fimaxre3 12241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
16	1, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
18		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
19		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = ∅
20		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧0
21		nfre1 3291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵
22	21	nfab 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
23		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
24		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 <
25	22, 23, 24	nfsup 9520	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
26	19, 20, 25	nfif 4578	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
28		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
29	26, 27, 28	nfbr 5213	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
30	18, 29	nfralw 3317	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
31	17, 30	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32		ssfiunibd.ssun	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
33	32	sselda 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
34	33, 5	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
35		exancom 1860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
36	34, 35	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
37		df-rex 3077	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
39	38	ad4ant14 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
40		nfv 1913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
41		nfra1 3290	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
42	40, 41	nfan 1898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐶
44	42, 43	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)
45		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≤ 𝑤
46	9	3impa 1110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		n0i 4363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
51	50	iffalsed 4559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
52	51	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53	52	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54	13	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
55	53, 54	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56	55	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57	56	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58		simp1lr 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
60		nfab1 2910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
61		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢ℝ
62		abid 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
63	62	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
65		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
66	21	nfsab 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
67	65, 66	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
68		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
70	9	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	69, 70	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72	71	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
74	67, 68, 73	rexlimd 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ))
75	64, 74	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
76	75	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
77	59, 60, 61, 76	ssrd 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78	77	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
80		elabrexg 7280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
81	79, 46, 80	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
82	81	ne0d 4365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83		abid 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
84	83	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
85		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑣 = 𝐵))
86	85	rexbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵))
87	86	cbvabv 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵}
88	84, 87	eleq2s 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
90		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦
91	65, 90	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
92	21	nfsab 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
93	91, 92	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
94		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ≤ 𝑦
95		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
96		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑦)
97	96	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
98	95, 97	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝑦)
99	98	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
102	93, 94, 101	rexlimd 3272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦))
103	89, 102	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣 ≤ 𝑦)
104	103	ralrimiva 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
105	104	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
106	105	reximdv 3176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
107	10, 106	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
108	107	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
109		suprub 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
110	78, 82, 108, 81, 109	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
111	110	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
112	111	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113	52	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
114		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
115	114	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116	113, 115	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
117	116	3adant1l 1176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
118	48, 57, 58, 112, 117	letrd 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑤)
119	118	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
120	119	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
121	44, 45, 120	rexlimd 3272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤))
122	39, 121	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑤)
123	122	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝑤))
124	31, 123	ralrimi 3263	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)
125	124	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
126	125	reximdva 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
127	16, 126	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  Fincfn 9003  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  46097  fourierdlem71  46098  fourierdlem80  46107