Theorem ssfiunibd 41596

Description: A finite union of bounded sets is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssfiunibd.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
ssfiunibd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
ssfiunibd.bd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
ssfiunibd.ssun	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ssfiunibd	⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem ssfiunibd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfiunibd.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝜑)
3		19.8a 2180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ancoms 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		eluni 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	4, 5	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
7	6	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
8		ssfiunibd.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ssfiunibd.bd	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
11		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
12	9, 10, 11	upbdrech2 41595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))))
13	12	simpld 497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
15		fimaxre3 11587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
16	1, 14, 15	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
17		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
18		nfcv 2977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
19		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = ∅
20		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧0
21		nfre1 3306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵
22	21	nfab 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
23		nfcv 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
24		nfcv 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧 <
25	22, 23, 24	nfsup 8915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )
26	19, 20, 25	nfif 4496	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
27		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
28		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑤
29	26, 27, 28	nfbr 5113	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
30	18, 29	nfralw 3225	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
31	17, 30	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
32		ssfiunibd.ssun	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ∪ 𝐴)
33	32	sselda 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ ∪ 𝐴)
34	33, 5	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
35		exancom 1861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
36	34, 35	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
37		df-rex 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
38	36, 37	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
39	38	ad4ant14 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥)
40		nfv 1915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
41		nfra1 3219	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤
42	40, 41	nfan 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
43		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐶
44	42, 43	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)
45		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≤ 𝑤
46	9	3impa 1106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	46	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		n0i 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 = ∅)
50	49	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
51	50	iffalsed 4478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
52	51	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
53	52	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
54	13	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
55	53, 54	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56	55	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57	56	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58		simp1lr 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ ℝ)
59		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
60		nfab1 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢{𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
61		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑢ℝ
62		abid 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
63	62	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
64	63	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵)
65		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
66	21	nfsab 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
67	65, 66	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
68		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑢 ∈ ℝ
69		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 = 𝐵)
70	9	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	69, 70	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 = 𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
72	71	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
73	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ)))
74	67, 68, 73	rexlimd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 → 𝑢 ∈ ℝ))
75	64, 74	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑢 ∈ ℝ)
76	75	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → 𝑢 ∈ ℝ))
77	59, 60, 61, 76	ssrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
78	77	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ)
79		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
80		elabrexg 41323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
81	79, 46, 80	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
82	81	ne0d 4301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅)
83		abid 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
84	83	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
85		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑣 = 𝐵))
86	85	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵))
87	86	cbvabv 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵}
88	84, 87	eleq2s 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
89	88	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵)
90		nfra1 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦
91	65, 90	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦)
92	21	nfsab 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}
93	91, 92	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵})
94		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑣 ≤ 𝑦
95		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 = 𝐵)
96		rspa 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑦)
97	96	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑦)
98	95, 97	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑣 = 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝑦)
99	98	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
100	99	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
101	100	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦)))
102	93, 94, 101	rexlimd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑣 = 𝐵 → 𝑣 ≤ 𝑦))
103	89, 102	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) ∧ 𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝑣 ≤ 𝑦)
104	103	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦) → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
105	104	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
106	105	reximdv 3273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦))
107	10, 106	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
108	107	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦)
109		suprub 11602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}𝑣 ≤ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
110	78, 82, 108, 81, 109	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
111	110	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
112	111	3adant1r 1173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ))
113	52	3adant1 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) = if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )))
114		rspa 3206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
115	114	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤)
116	113, 115	eqbrtrd 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
117	116	3adant1l 1172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑤)
118	48, 57, 58, 112, 117	letrd 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐵 ≤ 𝑤)
119	118	3exp 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
120	119	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤)))
121	44, 45, 120	rexlimd 3317	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑤))
122	39, 121	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ≤ 𝑤)
123	122	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝑤))
124	31, 123	ralrimi 3216	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)
125	124	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
126	125	reximdva 3274	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 if(𝑥 = ∅, 0, sup({𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑢 = 𝐵}, ℝ, < )) ≤ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤))
127	16, 126	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ 𝑤)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ifcif 4467  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5066  Fincfn 8509  supcsup 8904  ℝcr 10536  0cc0 10537   < clt 10675   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  42481  fourierdlem71  42482  fourierdlem80  42491