Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvsum 42985
Description: Lemma for binomcxp 42987. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 42979. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 binomcxplem.p . . . . 5 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
3 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
4 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑏abs
5 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑏0
6 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑏[,)
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏 +
9 nfmpt1 5252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
101, 9nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏𝑆
11 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏𝑟
1210, 11nffv 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑆𝑟)
135, 8, 12nfseq 13963 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1413nfel1 2920 . . . . . . . . . . . 12 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑏
1614, 15nfrabw 3469 . . . . . . . . . . 11 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑏*
18 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 9433 . . . . . . . . . 10 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
207, 19nfcxfr 2902 . . . . . . . . 9 𝑏𝑅
215, 6, 20nfov 7426 . . . . . . . 8 𝑏(0[,)𝑅)
224, 21nfima 6060 . . . . . . 7 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
233, 22nfcxfr 2902 . . . . . 6 𝑏𝐷
24 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑦𝐷
25 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)
26 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑏0
27 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑏𝑦
2810, 27nffv 6891 . . . . . . . 8 𝑏(𝑆𝑦)
29 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑏𝑚
3028, 29nffv 6891 . . . . . . 7 𝑏((𝑆𝑦)‘𝑚)
3126, 30nfsum 15624 . . . . . 6 𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚)
32 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
3332fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑏) = (𝑆𝑦))
3433fveq1d 6883 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑦)‘𝑘))
3534sumeq2dv 15636 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑘))
36 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑚((𝑆𝑦)‘𝑘)
37 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
38 nfmpt1 5252 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
3937, 38nfmpt 5251 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
401, 39nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑆
41 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑦
4240, 41nffv 6891 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑆𝑦)
43 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
4442, 43nffv 6891 . . . . . . . 8 𝑘((𝑆𝑦)‘𝑚)
45 fveq2 6881 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆𝑦)‘𝑘) = ((𝑆𝑦)‘𝑚))
4636, 44, 45cbvsumi 15630 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚)
4735, 46eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 5253 . . . . 5 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
492, 48eqtri 2761 . . . 4 𝑃 = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
50 ovexd 7431 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51 binomcxplem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
5251a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
5351a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
5554oveq2d 7412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5958, 56bcccl 42969 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
6053, 55, 56, 59fvmptd 6994 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
6160, 59eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6250, 52, 61fmpt2d 7110 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑟
64 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑧
65 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑧seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
66 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑟0
67 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑟 +
68 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
691, 68nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 𝑟𝑆
70 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑟𝑧
7169, 70nffv 6891 . . . . . . . . 9 𝑟(𝑆𝑧)
7266, 67, 71nfseq 13963 . . . . . . . 8 𝑟seq0( + , (𝑆𝑧))
7372nfel1 2920 . . . . . . 7 𝑟seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝
74 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑆𝑟) = (𝑆𝑧))
7574seqeq3d 13961 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆𝑟)) = seq0( + , (𝑆𝑧)))
7675eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
7763, 64, 65, 73, 76cbvrabw 3468 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }
7877supeq1i 9429 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
797, 78eqtri 2761 . . . 4 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
801fveq1i 6882 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)
81 seqeq3 13958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 seq0( + , (𝑆𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧))
8382eleq1i 2825 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
8483rabbii 3439 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
8584supeq1i 9429 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
867, 78, 853eqtrri 2766 . . . . . 6 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
8786eleq1i 2825 . . . . 5 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
8886oveq2i 7407 . . . . . 6 ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
8988oveq1i 7406 . . . . 5 (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90 eqid 2733 . . . . 5 ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
9187, 89, 90ifbieq12i 4551 . . . 4 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝑘) = (𝑏𝑘))
9392oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
9493mpteq2dv 5246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9594cbvmptv 5257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9695fveq1i 6882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)
97 seqeq3 13958 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧))
9998eleq1i 2825 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
10099rabbii 3439 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101100supeq1i 9429 . . . . . . . . 9 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102101eleq1i 2825 . . . . . . . 8 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103101oveq2i 7407 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104103oveq1i 7406 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105102, 104, 90ifbieq12i 4551 . . . . . . 7 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106105oveq2i 7407 . . . . . 6 ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107106oveq1i 7406 . . . . 5 (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108107oveq2i 7407 . . . 4 (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
1091, 49, 62, 79, 3, 91, 108pserdv2 25911 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110 cnvimass 6072 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
1113, 110eqsstri 4014 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ dom abs
112 absf 15271 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
113112fdmi 6719 . . . . . . 7 dom abs = ℂ
114111, 113sseqtri 4016 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
115114sseli 3976 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
116 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119118oveq1d 7411 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120119oveq2d 7412 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121120mpteq2dva 5244 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123 nnex 12205 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
124123mptex 7212 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126117, 121, 122, 125fvmptd 6994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127126adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129128fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
130128, 129oveq12d 7414 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹𝑘)) = (𝑛 · (𝐹𝑛)))
131128oveq1d 7411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132131oveq2d 7412 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133130, 132oveq12d 7414 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135 ovexd 7431 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136127, 133, 134, 135fvmptd 6994 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137136sumeq2dv 15636 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138115, 137sylan2 594 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139138mpteq2dva 5244 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140109, 139eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)))
141 nfcv 2904 . . . 4 𝑏
142 nfmpt1 5252 . . . . . . 7 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143116, 142nfcxfr 2902 . . . . . 6 𝑏𝐸
144143, 27nffv 6891 . . . . 5 𝑏(𝐸𝑦)
145 nfcv 2904 . . . . 5 𝑏𝑛
146144, 145nffv 6891 . . . 4 𝑏((𝐸𝑦)‘𝑛)
147141, 146nfsum 15624 . . 3 𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)
148 nfcv 2904 . . 3 𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
149 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150149fveq2d 6885 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑏))
151150fveq1d 6883 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑦)‘𝑛) = ((𝐸𝑏)‘𝑛))
152151sumeq2dv 15636 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑛))
153 nfmpt1 5252 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
15437, 153nfmpt 5251 . . . . . . . 8 𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
155116, 154nfcxfr 2902 . . . . . . 7 𝑘𝐸
156 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑘𝑏
157155, 156nffv 6891 . . . . . 6 𝑘(𝐸𝑏)
158 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑘𝑛
159157, 158nffv 6891 . . . . 5 𝑘((𝐸𝑏)‘𝑛)
160 nfcv 2904 . . . . 5 𝑛((𝐸𝑏)‘𝑘)
161 fveq2 6881 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑏)‘𝑛) = ((𝐸𝑏)‘𝑘))
162159, 160, 161cbvsumi 15630 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
163152, 162eqtrdi 2789 . . 3 (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
16424, 23, 147, 148, 163cbvmptf 5253 . 2 (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
165140, 164eqtrdi 2789 1 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  ifcif 4524   class class class wbr 5144  cmpt 5227  ccnv 5671  dom cdm 5672  cima 5675  ccom 5676  cfv 6535  (class class class)co 7396  supcsup 9422  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102  *cxr 11234   < clt 11235  cmin 11431   / cdiv 11858  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  +crp 12961  [,)cico 13313  seqcseq 13953  cexp 14014  abscabs 15168  cli 15415  Σcsu 15619  ballcbl 20905   D cdv 25349  C𝑐cbcc 42966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-prod 15837  df-fallfac 15938  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-cmp 22860  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-limc 25352  df-dv 25353  df-ulm 25858  df-bcc 42967
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  42986
  Copyright terms: Public domain W3C validator