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Theorem binomcxplemdvsum 42709
Description: Lemma for binomcxp 42711. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 42703. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑏,𝐹   πœ‘,𝑏,π‘˜   π‘Ÿ,𝑏,π‘˜,𝐹   𝑗,π‘˜,πœ‘   𝐢,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐢(π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐷(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑃(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐸(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
2 binomcxplem.p . . . . 5 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
3 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
4 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏◑abs
5 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏0
6 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏[,)
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏 +
9 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
101, 9nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑏𝑆
11 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘π‘Ÿ
1210, 11nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘Ÿ)
135, 8, 12nfseq 13923 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ))
1413nfel1 2924 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏ℝ
1614, 15nfrabw 3443 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏ℝ*
18 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 9394 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
207, 19nfcxfr 2906 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏𝑅
215, 6, 20nfov 7392 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
224, 21nfima 6026 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏(β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
233, 22nfcxfr 2906 . . . . . 6 Ⅎ𝑏𝐷
24 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝐷
25 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)
26 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏ℕ0
27 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏𝑦
2810, 27nffv 6857 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘¦)
29 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘π‘š
3028, 29nffv 6857 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
3126, 30nfsum 15582 . . . . . 6 β„²π‘Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
32 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = 𝑦)
3332fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘¦))
3433fveq1d 6849 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
3534sumeq2dv 15595 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
36 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘š((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜)
37 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β„‚
38 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
3937, 38nfmpt 5217 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
401, 39nfcxfr 2906 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘†
41 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘¦
4240, 41nffv 6857 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘†β€˜π‘¦)
43 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘š
4442, 43nffv 6857 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
45 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
4636, 44, 45cbvsumi 15589 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
4735, 46eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 5219 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
492, 48eqtri 2765 . . . 4 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
50 ovexd 7397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) ∈ V)
51 binomcxplem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
5251a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
5351a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
54 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ 𝑗 = π‘˜)
5554oveq2d 7378 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
56 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
57 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5958, 56bcccl 42693 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
6053, 55, 56, 59fvmptd 6960 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
6160, 59eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6250, 52, 61fmpt2d 7076 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„‚)
63 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿβ„
64 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧ℝ
65 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
66 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ0
67 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ +
68 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘Ÿ(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
691, 68nfcxfr 2906 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿπ‘†
70 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿπ‘§
7169, 70nffv 6857 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ(π‘†β€˜π‘§)
7266, 67, 71nfseq 13923 . . . . . . . 8 β„²π‘Ÿseq0( + , (π‘†β€˜π‘§))
7372nfel1 2924 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿseq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝
74 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ (π‘†β€˜π‘Ÿ) = (π‘†β€˜π‘§))
7574seqeq3d 13921 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)))
7675eleq1d 2823 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ))
7763, 64, 65, 73, 76cbvrabw 3442 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
7877supeq1i 9390 . . . . 5 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
797, 78eqtri 2765 . . . 4 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
801fveq1i 6848 . . . . . . . . . . 11 (π‘†β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)
81 seqeq3 13918 . . . . . . . . . . 11 ((π‘†β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§))
8382eleq1i 2829 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ )
8483rabbii 3416 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
8584supeq1i 9390 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
867, 78, 853eqtrri 2770 . . . . . 6 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
8786eleq1i 2829 . . . . 5 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
8886oveq2i 7373 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((absβ€˜π‘₯) + 𝑅)
8988oveq1i 7372 . . . . 5 (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + 𝑅) / 2)
90 eqid 2737 . . . . 5 ((absβ€˜π‘₯) + 1) = ((absβ€˜π‘₯) + 1)
9187, 89, 90ifbieq12i 4518 . . . 4 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))
92 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
9392oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
9493mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9594cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))) = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9695fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)
97 seqeq3 13918 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) β†’ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§))
9998eleq1i 2829 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ )
10099rabbii 3416 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
101100supeq1i 9390 . . . . . . . . 9 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102101eleq1i 2829 . . . . . . . 8 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103101oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104103oveq1i 7372 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105102, 104, 90ifbieq12i 4518 . . . . . . 7 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))
106105oveq2i 7373 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) = ((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
107106oveq1i 7372 . . . . 5 (((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2)
108107oveq2i 7373 . . . 4 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2))
1091, 49, 62, 79, 3, 91, 108pserdv2 25805 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
110 cnvimass 6038 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
1113, 110eqsstri 3983 . . . . . . 7 𝐷 βŠ† dom abs
112 absf 15229 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
113112fdmi 6685 . . . . . . 7 dom abs = β„‚
114111, 113sseqtri 3985 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
115114sseli 3945 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
116 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
118 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑏 = 𝑦)
119118oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
120119oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
121120mpteq2dva 5210 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
122 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
123 nnex 12166 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
124123mptex 7178 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V)
126117, 121, 122, 125fvmptd 6960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
127126adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
128 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘˜ = 𝑛)
129128fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
130128, 129oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)))
131128oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
132131oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))
133130, 132oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
134 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
135 ovexd 7397 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))) ∈ V)
136127, 133, 134, 135fvmptd 6960 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
137136sumeq2dv 15595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
138115, 137sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
139138mpteq2dva 5210 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
140109, 139eqtr4d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)))
141 nfcv 2908 . . . 4 Ⅎ𝑏ℕ
142 nfmpt1 5218 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
143116, 142nfcxfr 2906 . . . . . 6 Ⅎ𝑏𝐸
144143, 27nffv 6857 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πΈβ€˜π‘¦)
145 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑏𝑛
146144, 145nffv 6857 . . . 4 Ⅎ𝑏((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)
147141, 146nfsum 15582 . . 3 Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)
148 nfcv 2908 . . 3 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
149 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 = 𝑏)
150149fveq2d 6851 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (πΈβ€˜π‘))
151150fveq1d 6849 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›))
152151sumeq2dv 15595 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›))
153 nfmpt1 5218 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
15437, 153nfmpt 5217 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
155116, 154nfcxfr 2906 . . . . . . 7 β„²π‘˜πΈ
156 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘
157155, 156nffv 6857 . . . . . 6 β„²π‘˜(πΈβ€˜π‘)
158 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘›
159157, 158nffv 6857 . . . . 5 β„²π‘˜((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›)
160 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑛((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
161 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
162159, 160, 161cbvsumi 15589 . . . 4 Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
163152, 162eqtrdi 2793 . . 3 (𝑦 = 𝑏 β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
16424, 23, 147, 148, 163cbvmptf 5219 . 2 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
165140, 164eqtrdi 2793 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„+crp 12922  [,)cico 13273  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  ballcbl 20799   D cdv 25243  C𝑐cbcc 42690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-fallfac 15897  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-bcc 42691
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  42710
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