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Theorem binomcxplemdvsum 43099
Description: Lemma for binomcxp 43101. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 43093. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑏,𝐹   πœ‘,𝑏,π‘˜   π‘Ÿ,𝑏,π‘˜,𝐹   𝑗,π‘˜,πœ‘   𝐢,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐢(π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐷(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑃(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐸(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐹(𝑗)
Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
2 binomcxplem.p . . . . 5 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
3 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
4 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏◑abs
5 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏0
6 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏[,)
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏 +
9 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
101, 9nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑏𝑆
11 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘π‘Ÿ
1210, 11nffv 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘Ÿ)
135, 8, 12nfseq 13972 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ))
1413nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏ℝ
1614, 15nfrabw 3468 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏ℝ*
18 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 9442 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
207, 19nfcxfr 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏𝑅
215, 6, 20nfov 7435 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
224, 21nfima 6065 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏(β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
233, 22nfcxfr 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑏𝐷
24 nfcv 2903 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝐷
25 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)
26 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏ℕ0
27 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏𝑦
2810, 27nffv 6898 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘¦)
29 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘π‘š
3028, 29nffv 6898 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
3126, 30nfsum 15633 . . . . . 6 β„²π‘Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
32 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = 𝑦)
3332fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘¦))
3433fveq1d 6890 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
3534sumeq2dv 15645 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
36 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘š((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜)
37 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β„‚
38 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
3937, 38nfmpt 5254 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
401, 39nfcxfr 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘†
41 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘¦
4240, 41nffv 6898 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘†β€˜π‘¦)
43 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘š
4442, 43nffv 6898 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
45 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
4636, 44, 45cbvsumi 15639 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
4735, 46eqtrdi 2788 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 5256 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
492, 48eqtri 2760 . . . 4 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
50 ovexd 7440 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) ∈ V)
51 binomcxplem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
5251a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
5351a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
54 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ 𝑗 = π‘˜)
5554oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
56 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
57 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5958, 56bcccl 43083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
6053, 55, 56, 59fvmptd 7002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
6160, 59eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6250, 52, 61fmpt2d 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„‚)
63 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿβ„
64 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧ℝ
65 nfv 1917 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
66 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ0
67 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ +
68 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘Ÿ(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
691, 68nfcxfr 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿπ‘†
70 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿπ‘§
7169, 70nffv 6898 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ(π‘†β€˜π‘§)
7266, 67, 71nfseq 13972 . . . . . . . 8 β„²π‘Ÿseq0( + , (π‘†β€˜π‘§))
7372nfel1 2919 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿseq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝
74 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ (π‘†β€˜π‘Ÿ) = (π‘†β€˜π‘§))
7574seqeq3d 13970 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)))
7675eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ))
7763, 64, 65, 73, 76cbvrabw 3467 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
7877supeq1i 9438 . . . . 5 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
797, 78eqtri 2760 . . . 4 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
801fveq1i 6889 . . . . . . . . . . 11 (π‘†β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)
81 seqeq3 13967 . . . . . . . . . . 11 ((π‘†β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§))
8382eleq1i 2824 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ )
8483rabbii 3438 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
8584supeq1i 9438 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
867, 78, 853eqtrri 2765 . . . . . 6 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
8786eleq1i 2824 . . . . 5 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
8886oveq2i 7416 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((absβ€˜π‘₯) + 𝑅)
8988oveq1i 7415 . . . . 5 (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + 𝑅) / 2)
90 eqid 2732 . . . . 5 ((absβ€˜π‘₯) + 1) = ((absβ€˜π‘₯) + 1)
9187, 89, 90ifbieq12i 4554 . . . 4 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))
92 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
9392oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
9493mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9594cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))) = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9695fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)
97 seqeq3 13967 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) β†’ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§))
9998eleq1i 2824 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ )
10099rabbii 3438 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
101100supeq1i 9438 . . . . . . . . 9 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102101eleq1i 2824 . . . . . . . 8 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103101oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104103oveq1i 7415 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105102, 104, 90ifbieq12i 4554 . . . . . . 7 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))
106105oveq2i 7416 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) = ((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
107106oveq1i 7415 . . . . 5 (((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2)
108107oveq2i 7416 . . . 4 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2))
1091, 49, 62, 79, 3, 91, 108pserdv2 25933 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
110 cnvimass 6077 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
1113, 110eqsstri 4015 . . . . . . 7 𝐷 βŠ† dom abs
112 absf 15280 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
113112fdmi 6726 . . . . . . 7 dom abs = β„‚
114111, 113sseqtri 4017 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
115114sseli 3977 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
116 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
118 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑏 = 𝑦)
119118oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
120119oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
121120mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
122 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
123 nnex 12214 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
124123mptex 7221 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V)
126117, 121, 122, 125fvmptd 7002 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
127126adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
128 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘˜ = 𝑛)
129128fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
130128, 129oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)))
131128oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
132131oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))
133130, 132oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
134 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
135 ovexd 7440 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))) ∈ V)
136127, 133, 134, 135fvmptd 7002 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
137136sumeq2dv 15645 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
138115, 137sylan2 593 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
139138mpteq2dva 5247 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
140109, 139eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)))
141 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑏ℕ
142 nfmpt1 5255 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
143116, 142nfcxfr 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑏𝐸
144143, 27nffv 6898 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πΈβ€˜π‘¦)
145 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑏𝑛
146144, 145nffv 6898 . . . 4 Ⅎ𝑏((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)
147141, 146nfsum 15633 . . 3 Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)
148 nfcv 2903 . . 3 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
149 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 = 𝑏)
150149fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (πΈβ€˜π‘))
151150fveq1d 6890 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›))
152151sumeq2dv 15645 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›))
153 nfmpt1 5255 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
15437, 153nfmpt 5254 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
155116, 154nfcxfr 2901 . . . . . . 7 β„²π‘˜πΈ
156 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘
157155, 156nffv 6898 . . . . . 6 β„²π‘˜(πΈβ€˜π‘)
158 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘›
159157, 158nffv 6898 . . . . 5 β„²π‘˜((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›)
160 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑛((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
161 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
162159, 160, 161cbvsumi 15639 . . . 4 Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
163152, 162eqtrdi 2788 . . 3 (𝑦 = 𝑏 β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
16424, 23, 147, 148, 163cbvmptf 5256 . 2 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
165140, 164eqtrdi 2788 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„+crp 12970  [,)cico 13322  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  Ξ£csu 15628  ballcbl 20923   D cdv 25371  C𝑐cbcc 43080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-fallfac 15947  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-bcc 43081
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43100
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