Theorem binomcxplemdvsum 45098

Description: Lemma for binomcxp 45100. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 45092. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvsum	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐵(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐶(𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐷(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑃(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑅(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑆(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐸(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxplem.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
3		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
4		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
5		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏0
6		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
7		binomcxplem.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏 +
9		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	1, 9	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	5, 8, 12	nfseq 14060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrabw 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 9414	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	7, 19	nfcxfr 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	5, 6, 20	nfov 7446	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	4, 21	nfima 6072	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	3, 22	nfcxfr 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
25		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑦
28	10, 27	nffv 6895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑦)
29		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑚
30	28, 29	nffv 6895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
31	26, 30	nfsum 15761	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
32		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
33	32	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑦))
34	33	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 15772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
36		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
37		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑆‘𝑦)‘𝑘)
38		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
39		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
40	38, 39	nfmpt 5211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
41	1, 40	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
42		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
43	41, 42	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆‘𝑦)
44		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
45	43, 44	nffv 6895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
46	36, 37, 45	cbvsum 15765	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
47	35, 46	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
48	23, 24, 25, 31, 47	cbvmptf 5213	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
49	2, 48	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
50		ovexd 7451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51		binomcxplem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
53	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
55	54	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	58, 56	bcccl 45082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
60	53, 55, 56, 59	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
61	60, 59	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
62	50, 52, 61	fmpt2d 7124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟ℝ
64		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
65		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
66		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟0
67		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟 +
68		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
69	1, 68	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑆
70		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑧
71	69, 70	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑆‘𝑧)
72	66, 67, 71	nfseq 14060	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧))
73	72	nfel1 2943	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝
74		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑆‘𝑟) = (𝑆‘𝑧))
75	74	seqeq3d 14058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆‘𝑟)) = seq0( + , (𝑆‘𝑧)))
76	75	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
77	63, 64, 65, 73, 76	cbvrabw 3453	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
78	77	supeq1i 9410	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
79	7, 78	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
80	1	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
81		seqeq3 14055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
83	82	eleq1i 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
84	83	rabbii 3423	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
85	84	supeq1i 9410	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
86	7, 78, 85	3eqtrri 2793	. . . . . 6 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
87	86	eleq1i 2856	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
88	86	oveq2i 7427	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
89	88	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
91	87, 89, 90	ifbieq12i 4517	. . . 4 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤↑𝑘) = (𝑏↑𝑘))
93	92	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
94	93	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
95	94	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
96	95	fveq1i 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
97		seqeq3 14055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
99	98	eleq1i 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
100	99	rabbii 3423	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101	100	supeq1i 9410	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102	101	eleq1i 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103	101	oveq2i 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104	103	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105	102, 104, 90	ifbieq12i 4517	. . . . . . 7 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106	105	oveq2i 7427	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107	106	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108	107	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
109	1, 49, 62, 79, 3, 91, 108	pserdv2 26622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110		cnvimass 6086	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
111	3, 110	eqsstri 3984	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
112		absf 15408	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
113	112	fdmi 6721	. . . . . . 7 ⊢ dom abs = ℂ
114	111, 113	sseqtri 3986	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
115	114	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
116		binomcxplem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119	118	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120	119	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121	120	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123		nnex 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
124	123	mptex 7225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126	117, 121, 122, 125	fvmptd 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127	126	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129	128	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
130	128, 129	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 · (𝐹‘𝑛)))
131	128	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132	131	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133	130, 132	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135		ovexd 7451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136	127, 133, 134, 135	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137	136	sumeq2dv 15772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138	115, 137	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139	138	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140	109, 139	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)))
141		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
142		nfmpt1 5212	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143	116, 142	nfcxfr 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
144	143, 27	nffv 6895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑦)
145		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑛
146	144, 145	nffv 6895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
147	141, 146	nfsum 15761	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
148		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
149		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150	149	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑏))
151	150	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
152	151	sumeq2dv 15772	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
153		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
154		nfmpt1 5212	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
155	38, 154	nfmpt 5211	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	116, 155	nfcxfr 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐸
157		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
158	156, 157	nffv 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑏)
159		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
160	158, 159	nffv 6895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐸‘𝑏)‘𝑛)
161		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
162	153, 160, 161	cbvsum 15765	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
163	152, 162	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
164	24, 23, 147, 148, 163	cbvmptf 5213	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
165	140, 164	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  supcsup 9403  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℝ⁺crp 13027  [,)cico 13385  seqcseq 14050  ↑cexp 14110  abscabs 15304   ⇝ cli 15554  Σcsu 15756  ballcbl 21538   D cdv 26051  C_𝑐cbcc 45079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-prod 15976  df-fallfac 16079  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-cmp 23573  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055  df-ulm 26569  df-bcc 45080

This theorem is used by:  binomcxplemnotnn0  45099