Theorem binomcxplemdvsum 44950

Description: Lemma for binomcxp 44952. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 44944. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvsum	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxplem.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
3		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
4		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
5		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏0
6		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
7		binomcxplem.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏 +
9		nfmpt1 5211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	1, 9	nfcxfr 2929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	5, 8, 12	nfseq 14043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrabw 3460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 9407	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	7, 19	nfcxfr 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	5, 6, 20	nfov 7438	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	4, 21	nfima 6068	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	3, 22	nfcxfr 2929	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
25		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑦
28	10, 27	nffv 6889	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑦)
29		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑚
30	28, 29	nffv 6889	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
31	26, 30	nfsum 15738	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
32		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
33	32	fveq2d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑦))
34	33	fveq1d 6881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 15749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
36		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
37		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑆‘𝑦)‘𝑘)
38		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
39		nfmpt1 5211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
40	38, 39	nfmpt 5210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
41	1, 40	nfcxfr 2929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
42		nfcv 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
43	41, 42	nffv 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆‘𝑦)
44		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
45	43, 44	nffv 6889	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
46	36, 37, 45	cbvsum 15742	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
47	35, 46	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
48	23, 24, 25, 31, 47	cbvmptf 5212	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
49	2, 48	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
50		ovexd 7443	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51		binomcxplem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
53	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
55	54	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
58	57	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	58, 56	bcccl 44934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
60	53, 55, 56, 59	fvmptd 6995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
61	60, 59	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
62	50, 52, 61	fmpt2d 7118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟ℝ
64		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
65		nfv 1941	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
66		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟0
67		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟 +
68		nfcv 2931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
69	1, 68	nfcxfr 2929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑆
70		nfcv 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑧
71	69, 70	nffv 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑆‘𝑧)
72	66, 67, 71	nfseq 14043	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧))
73	72	nfel1 2947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝
74		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑆‘𝑟) = (𝑆‘𝑧))
75	74	seqeq3d 14041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆‘𝑟)) = seq0( + , (𝑆‘𝑧)))
76	75	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
77	63, 64, 65, 73, 76	cbvrabw 3458	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
78	77	supeq1i 9403	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
79	7, 78	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
80	1	fveq1i 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
81		seqeq3 14038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
83	82	eleq1i 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
84	83	rabbii 3428	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
85	84	supeq1i 9403	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
86	7, 78, 85	3eqtrri 2797	. . . . . 6 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
87	86	eleq1i 2860	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
88	86	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
89	88	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
91	87, 89, 90	ifbieq12i 4517	. . . 4 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤↑𝑘) = (𝑏↑𝑘))
93	92	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
94	93	mpteq2dv 5206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
95	94	cbvmptv 5216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
96	95	fveq1i 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
97		seqeq3 14038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
99	98	eleq1i 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
100	99	rabbii 3428	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101	100	supeq1i 9403	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102	101	eleq1i 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103	101	oveq2i 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104	103	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105	102, 104, 90	ifbieq12i 4517	. . . . . . 7 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106	105	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107	106	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108	107	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
109	1, 49, 62, 79, 3, 91, 108	pserdv2 26555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110		cnvimass 6082	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
111	3, 110	eqsstri 3991	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
112		absf 15385	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
113	112	fdmi 6715	. . . . . . 7 ⊢ dom abs = ℂ
114	111, 113	sseqtri 3993	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
115	114	sseli 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
116		binomcxplem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119	118	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120	119	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121	120	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123		nnex 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
124	123	mptex 7219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126	117, 121, 122, 125	fvmptd 6995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127	126	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129	128	fveq2d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
130	128, 129	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 · (𝐹‘𝑛)))
131	128	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132	131	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133	130, 132	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135		ovexd 7443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136	127, 133, 134, 135	fvmptd 6995	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137	136	sumeq2dv 15749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138	115, 137	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139	138	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140	109, 139	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)))
141		nfcv 2931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
142		nfmpt1 5211	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143	116, 142	nfcxfr 2929	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
144	143, 27	nffv 6889	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑦)
145		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑛
146	144, 145	nffv 6889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
147	141, 146	nfsum 15738	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
148		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
149		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150	149	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑏))
151	150	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
152	151	sumeq2dv 15749	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
153		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
154		nfmpt1 5211	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
155	38, 154	nfmpt 5210	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	116, 155	nfcxfr 2929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐸
157		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
158	156, 157	nffv 6889	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑏)
159		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
160	158, 159	nffv 6889	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐸‘𝑏)‘𝑛)
161		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
162	153, 160, 161	cbvsum 15742	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
163	152, 162	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
164	24, 23, 147, 148, 163	cbvmptf 5212	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
165	140, 164	eqtrdi 2820	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463  ifcif 4489   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  supcsup 9396  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℝ⁺crp 13012  [,)cico 13370  seqcseq 14033  ↑cexp 14093  abscabs 15281   ⇝ cli 15531  Σcsu 15733  ballcbl 21474   D cdv 25987  C_𝑐cbcc 44931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-fallfac 16057  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-ulm 26502  df-bcc 44932

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44951