Theorem binomcxplemdvsum 44317

Description: Lemma for binomcxp 44319. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 44311. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvsum	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxplem.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
3		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
4		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
5		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏0
6		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
7		binomcxplem.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏 +
9		nfmpt1 5201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	1, 9	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	5, 8, 12	nfseq 13952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrabw 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 9378	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	7, 19	nfcxfr 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	5, 6, 20	nfov 7399	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	4, 21	nfima 6028	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	3, 22	nfcxfr 2889	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
25		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑦
28	10, 27	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑦)
29		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑚
30	28, 29	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
31	26, 30	nfsum 15633	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
32		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
33	32	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑦))
34	33	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 15644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
36		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
37		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑆‘𝑦)‘𝑘)
38		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
39		nfmpt1 5201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
40	38, 39	nfmpt 5200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
41	1, 40	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
42		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
43	41, 42	nffv 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆‘𝑦)
44		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
45	43, 44	nffv 6850	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
46	36, 37, 45	cbvsum 15637	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
47	35, 46	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
48	23, 24, 25, 31, 47	cbvmptf 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
49	2, 48	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
50		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51		binomcxplem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
53	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
55	54	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	58, 56	bcccl 44301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
60	53, 55, 56, 59	fvmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
61	60, 59	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
62	50, 52, 61	fmpt2d 7078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟ℝ
64		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
65		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
66		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟0
67		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟 +
68		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
69	1, 68	nfcxfr 2889	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑆
70		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑧
71	69, 70	nffv 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑆‘𝑧)
72	66, 67, 71	nfseq 13952	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧))
73	72	nfel1 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝
74		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑆‘𝑟) = (𝑆‘𝑧))
75	74	seqeq3d 13950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆‘𝑟)) = seq0( + , (𝑆‘𝑧)))
76	75	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
77	63, 64, 65, 73, 76	cbvrabw 3438	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
78	77	supeq1i 9374	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
79	7, 78	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
80	1	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
81		seqeq3 13947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
83	82	eleq1i 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
84	83	rabbii 3408	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
85	84	supeq1i 9374	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
86	7, 78, 85	3eqtrri 2757	. . . . . 6 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
87	86	eleq1i 2819	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
88	86	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
89	88	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
91	87, 89, 90	ifbieq12i 4512	. . . 4 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤↑𝑘) = (𝑏↑𝑘))
93	92	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
94	93	mpteq2dv 5196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
95	94	cbvmptv 5206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
96	95	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
97		seqeq3 13947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
99	98	eleq1i 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
100	99	rabbii 3408	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101	100	supeq1i 9374	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102	101	eleq1i 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103	101	oveq2i 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104	103	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105	102, 104, 90	ifbieq12i 4512	. . . . . . 7 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106	105	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107	106	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108	107	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
109	1, 49, 62, 79, 3, 91, 108	pserdv2 26316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110		cnvimass 6042	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
111	3, 110	eqsstri 3990	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
112		absf 15280	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
113	112	fdmi 6681	. . . . . . 7 ⊢ dom abs = ℂ
114	111, 113	sseqtri 3992	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
115	114	sseli 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
116		binomcxplem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119	118	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120	119	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121	120	mpteq2dva 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123		nnex 12168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
124	123	mptex 7179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126	117, 121, 122, 125	fvmptd 6957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127	126	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129	128	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
130	128, 129	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 · (𝐹‘𝑛)))
131	128	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132	131	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133	130, 132	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135		ovexd 7404	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136	127, 133, 134, 135	fvmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137	136	sumeq2dv 15644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138	115, 137	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139	138	mpteq2dva 5195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140	109, 139	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)))
141		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
142		nfmpt1 5201	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143	116, 142	nfcxfr 2889	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
144	143, 27	nffv 6850	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑦)
145		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑛
146	144, 145	nffv 6850	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
147	141, 146	nfsum 15633	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
148		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
149		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150	149	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑏))
151	150	fveq1d 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
152	151	sumeq2dv 15644	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
153		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
154		nfmpt1 5201	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
155	38, 154	nfmpt 5200	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	116, 155	nfcxfr 2889	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐸
157		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
158	156, 157	nffv 6850	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑏)
159		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
160	158, 159	nffv 6850	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐸‘𝑏)‘𝑛)
161		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
162	153, 160, 161	cbvsum 15637	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
163	152, 162	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
164	24, 23, 147, 148, 163	cbvmptf 5202	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
165	140, 164	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  supcsup 9367  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℝ⁺crp 12927  [,)cico 13284  seqcseq 13942  ↑cexp 14002  abscabs 15176   ⇝ cli 15426  Σcsu 15628  ballcbl 21227   D cdv 25740  C_𝑐cbcc 44298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-fallfac 15949  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-cmp 23250  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-ulm 26262  df-bcc 44299

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44318