Theorem binomcxplemdvsum 45433

Description: Lemma for binomcxp 45435. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 45427. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvsum	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐵(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐶(𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐷(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑃(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑅(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝑆(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐸(𝑗, 𝑘, 𝑟, 𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxplem.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
3		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
4		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
5		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏0
6		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
7		binomcxplem.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏 +
9		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	1, 9	nfcxfr 2920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	5, 8, 12	nfseq 14158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrabw 3447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 9447	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	7, 19	nfcxfr 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	5, 6, 20	nfov 7451	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	4, 21	nfima 6063	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	3, 22	nfcxfr 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
25		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑦
28	10, 27	nffv 6896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑦)
29		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑚
30	28, 29	nffv 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
31	26, 30	nfsum 15864	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
32		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
33	32	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑦))
34	33	fveq1d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 15875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
36		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
37		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑆‘𝑦)‘𝑘)
38		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
39		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
40	38, 39	nfmpt 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
41	1, 40	nfcxfr 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
42		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
43	41, 42	nffv 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆‘𝑦)
44		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
45	43, 44	nffv 6896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
46	36, 37, 45	cbvsum 15868	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
47	35, 46	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
48	23, 24, 25, 31, 47	cbvmptf 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
49	2, 48	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
50		ovexd 7456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51		binomcxplem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
53	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
55	54	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	58, 56	bcccl 45417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
60	53, 55, 56, 59	fvmptd 7002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
61	60, 59	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
62	50, 52, 61	fmpt2d 7126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟ℝ
64		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
65		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
66		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟0
67		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟 +
68		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
69	1, 68	nfcxfr 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑆
70		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑧
71	69, 70	nffv 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑆‘𝑧)
72	66, 67, 71	nfseq 14158	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧))
73	72	nfel1 2938	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝
74		fveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑆‘𝑟) = (𝑆‘𝑧))
75	74	seqeq3d 14156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆‘𝑟)) = seq0( + , (𝑆‘𝑧)))
76	75	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
77	63, 64, 65, 73, 76	cbvrabw 3446	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
78	77	supeq1i 9443	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
79	7, 78	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
80	1	fveq1i 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
81		seqeq3 14153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
83	82	eleq1i 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
84	83	rabbii 3417	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
85	84	supeq1i 9443	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
86	7, 78, 85	3eqtrri 2788	. . . . . 6 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
87	86	eleq1i 2851	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
88	86	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
89	88	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
91	87, 89, 90	ifbieq12i 4509	. . . 4 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤↑𝑘) = (𝑏↑𝑘))
93	92	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
94	93	mpteq2dv 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
95	94	cbvmptv 5208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
96	95	fveq1i 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
97		seqeq3 14153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
99	98	eleq1i 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
100	99	rabbii 3417	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101	100	supeq1i 9443	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102	101	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103	101	oveq2i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104	103	oveq1i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105	102, 104, 90	ifbieq12i 4509	. . . . . . 7 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106	105	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107	106	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108	107	oveq2i 7432	. . . 4 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
109	1, 49, 62, 79, 3, 91, 108	pserdv2 26763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110		cnvimass 6198	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
111	3, 110	eqsstri 3954	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
112		absf 15511	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
113	112	fdmi 6722	. . . . . . 7 ⊢ dom abs = ℂ
114	111, 113	sseqtri 3956	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
115	114	sseli 3904	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
116		binomcxplem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119	118	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120	119	oveq2d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121	120	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123		nnex 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
124	123	mptex 7230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126	117, 121, 122, 125	fvmptd 7002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127	126	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129	128	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
130	128, 129	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 · (𝐹‘𝑛)))
131	128	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132	131	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133	130, 132	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135		ovexd 7456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136	127, 133, 134, 135	fvmptd 7002	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137	136	sumeq2dv 15875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138	115, 137	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139	138	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140	109, 139	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)))
141		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
142		nfmpt1 5203	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143	116, 142	nfcxfr 2920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
144	143, 27	nffv 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑦)
145		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑛
146	144, 145	nffv 6896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
147	141, 146	nfsum 15864	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
148		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
149		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150	149	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑏))
151	150	fveq1d 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
152	151	sumeq2dv 15875	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
153		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
154		nfmpt1 5203	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
155	38, 154	nfmpt 5202	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	116, 155	nfcxfr 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐸
157		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
158	156, 157	nffv 6896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑏)
159		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
160	158, 159	nffv 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐸‘𝑏)‘𝑛)
161		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
162	153, 160, 161	cbvsum 15868	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
163	152, 162	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
164	24, 23, 147, 148, 163	cbvmptf 5204	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
165	140, 164	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  supcsup 9436  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ℝ⁺crp 13124  [,)cico 13482  seqcseq 14148  ↑cexp 14208  abscabs 15407   ⇝ cli 15657  Σcsu 15859  ballcbl 21671   D cdv 26189  C_𝑐cbcc 45414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-prod 16079  df-fallfac 16180  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-cmp 23711  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-ulm 26710  df-bcc 45415

This theorem is used by:  binomcxplemnotnn0  45434