Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem binomcxplemdvsum 43418
Description: Lemma for binomcxp 43420. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 43412. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑏,𝐹   πœ‘,𝑏,π‘˜   π‘Ÿ,𝑏,π‘˜,𝐹   𝑗,π‘˜,πœ‘   𝐢,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐢(π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐷(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑃(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐸(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐹(𝑗)
Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
2 binomcxplem.p . . . . 5 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜))
3 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
4 nfcv 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏◑abs
5 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏0
6 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏[,)
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏 +
9 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
101, 9nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑏𝑆
11 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘π‘Ÿ
1210, 11nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘Ÿ)
135, 8, 12nfseq 13982 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ))
1413nfel1 2917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑏ℝ
1614, 15nfrabw 3466 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏{π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏ℝ*
18 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 9450 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
207, 19nfcxfr 2899 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏𝑅
215, 6, 20nfov 7443 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
224, 21nfima 6068 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏(β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
233, 22nfcxfr 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑏𝐷
24 nfcv 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑦𝐷
25 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)
26 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏ℕ0
27 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏𝑦
2810, 27nffv 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(π‘†β€˜π‘¦)
29 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘π‘š
3028, 29nffv 6902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
3126, 30nfsum 15643 . . . . . 6 β„²π‘Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
32 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = 𝑦)
3332fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘¦))
3433fveq1d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑦 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
3534sumeq2dv 15655 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
36 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘š((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜)
37 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β„‚
38 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
3937, 38nfmpt 5256 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
401, 39nfcxfr 2899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘†
41 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘¦
4240, 41nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘†β€˜π‘¦)
43 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘š
4442, 43nffv 6902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
45 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
4636, 44, 45cbvsumi 15649 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š)
4735, 46eqtrdi 2786 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 5258 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘˜)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
492, 48eqtri 2758 . . . 4 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π‘†β€˜π‘¦)β€˜π‘š))
50 ovexd 7448 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) ∈ V)
51 binomcxplem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
5251a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
5351a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
54 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ 𝑗 = π‘˜)
5554oveq2d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = π‘˜) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
56 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
57 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5857adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5958, 56bcccl 43402 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐢Cπ‘π‘˜) ∈ β„‚)
6053, 55, 56, 59fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝐢Cπ‘π‘˜))
6160, 59eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6250, 52, 61fmpt2d 7126 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„‚)
63 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿβ„
64 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧ℝ
65 nfv 1915 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝
66 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ0
67 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ +
68 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘Ÿ(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
691, 68nfcxfr 2899 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿπ‘†
70 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿπ‘§
7169, 70nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿ(π‘†β€˜π‘§)
7266, 67, 71nfseq 13982 . . . . . . . 8 β„²π‘Ÿseq0( + , (π‘†β€˜π‘§))
7372nfel1 2917 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿseq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝
74 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ (π‘†β€˜π‘Ÿ) = (π‘†β€˜π‘§))
7574seqeq3d 13980 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)))
7675eleq1d 2816 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑧 β†’ (seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ))
7763, 64, 65, 73, 76cbvrabw 3465 . . . . . 6 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
7877supeq1i 9446 . . . . 5 sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
797, 78eqtri 2758 . . . 4 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
801fveq1i 6893 . . . . . . . . . . 11 (π‘†β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)
81 seqeq3 13977 . . . . . . . . . . 11 ((π‘†β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) β†’ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§))
8382eleq1i 2822 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ )
8483rabbii 3436 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
8584supeq1i 9446 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
867, 78, 853eqtrri 2763 . . . . . 6 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
8786eleq1i 2822 . . . . 5 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
8886oveq2i 7424 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((absβ€˜π‘₯) + 𝑅)
8988oveq1i 7423 . . . . 5 (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + 𝑅) / 2)
90 eqid 2730 . . . . 5 ((absβ€˜π‘₯) + 1) = ((absβ€˜π‘₯) + 1)
9187, 89, 90ifbieq12i 4556 . . . 4 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))
92 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘€β†‘π‘˜) = (π‘β†‘π‘˜))
9392oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))
9493mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9594cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜)))) = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
9695fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)
97 seqeq3 13977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) = ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§) β†’ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§))
9998eleq1i 2822 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ )
10099rabbii 3436 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }
101100supeq1i 9446 . . . . . . . . 9 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102101eleq1i 2822 . . . . . . . 8 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103101oveq2i 7424 . . . . . . . . 9 ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104103oveq1i 7423 . . . . . . . 8 (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105102, 104, 90ifbieq12i 4556 . . . . . . 7 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))
106105oveq2i 7424 . . . . . 6 ((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) = ((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
107106oveq1i 7423 . . . . 5 (((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2) = (((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2)
108107oveq2i 7424 . . . 4 (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘€β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘₯) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘₯) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))β€˜π‘§)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((absβ€˜π‘₯) + 1))) / 2))
1091, 49, 62, 79, 3, 91, 108pserdv2 26176 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
110 cnvimass 6081 . . . . . . . 8 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
1113, 110eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝐷 βŠ† dom abs
112 absf 15290 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
113112fdmi 6730 . . . . . . 7 dom abs = β„‚
114111, 113sseqtri 4019 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
115114sseli 3979 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
116 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐸 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
118 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑏 = 𝑦)
119118oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
120119oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
121120mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑏 = 𝑦) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
122 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
123 nnex 12224 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
124123mptex 7228 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V)
126117, 121, 122, 125fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
127126adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
128 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ π‘˜ = 𝑛)
129128fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
130128, 129oveq12d 7431 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)))
131128oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
132131oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))
133130, 132oveq12d 7431 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
134 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
135 ovexd 7448 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))) ∈ V)
136127, 133, 134, 135fvmptd 7006 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
137136sumeq2dv 15655 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
138115, 137sylan2 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1))))
139138mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((𝑛 Β· (πΉβ€˜π‘›)) Β· (𝑦↑(𝑛 βˆ’ 1)))))
140109, 139eqtr4d 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)))
141 nfcv 2901 . . . 4 Ⅎ𝑏ℕ
142 nfmpt1 5257 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
143116, 142nfcxfr 2899 . . . . . 6 Ⅎ𝑏𝐸
144143, 27nffv 6902 . . . . 5 Ⅎ𝑏(πΈβ€˜π‘¦)
145 nfcv 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑏𝑛
146144, 145nffv 6902 . . . 4 Ⅎ𝑏((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)
147141, 146nfsum 15643 . . 3 Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)
148 nfcv 2901 . . 3 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
149 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 = 𝑏)
150149fveq2d 6896 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (πΈβ€˜π‘))
151150fveq1d 6894 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›))
152151sumeq2dv 15655 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›))
153 nfmpt1 5257 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
15437, 153nfmpt 5256 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((π‘˜ Β· (πΉβ€˜π‘˜)) Β· (𝑏↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
155116, 154nfcxfr 2899 . . . . . . 7 β„²π‘˜πΈ
156 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘
157155, 156nffv 6902 . . . . . 6 β„²π‘˜(πΈβ€˜π‘)
158 nfcv 2901 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘›
159157, 158nffv 6902 . . . . 5 β„²π‘˜((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›)
160 nfcv 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑛((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
161 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›) = ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
162159, 160, 161cbvsumi 15649 . . . 4 Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)
163152, 162eqtrdi 2786 . . 3 (𝑦 = 𝑏 β†’ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
16424, 23, 147, 148, 163cbvmptf 5258 . 2 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘¦)β€˜π‘›)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜))
165140, 164eqtrdi 2786 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΈβ€˜π‘)β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  supcsup 9439  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„*cxr 11253   < clt 11254   βˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  β„•cn 12218  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β„+crp 12980  [,)cico 13332  seqcseq 13972  β†‘cexp 14033  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638  ballcbl 21133   D cdv 25614  C𝑐cbcc 43399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-fallfac 15957  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-cmp 23113  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618  df-ulm 26123  df-bcc 43400
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43419
  Copyright terms: Public domain W3C validator