Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvsum 44379
Description: Lemma for binomcxp 44381. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 44373. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 binomcxplem.p . . . . 5 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
3 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
4 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑏abs
5 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑏0
6 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑏[,)
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏 +
9 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
101, 9nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏𝑆
11 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏𝑟
1210, 11nffv 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑆𝑟)
135, 8, 12nfseq 14053 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1413nfel1 2921 . . . . . . . . . . . 12 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑏
1614, 15nfrabw 3474 . . . . . . . . . . 11 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑏*
18 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 9492 . . . . . . . . . 10 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
207, 19nfcxfr 2902 . . . . . . . . 9 𝑏𝑅
215, 6, 20nfov 7462 . . . . . . . 8 𝑏(0[,)𝑅)
224, 21nfima 6085 . . . . . . 7 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
233, 22nfcxfr 2902 . . . . . 6 𝑏𝐷
24 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑦𝐷
25 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)
26 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑏0
27 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑏𝑦
2810, 27nffv 6915 . . . . . . . 8 𝑏(𝑆𝑦)
29 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑏𝑚
3028, 29nffv 6915 . . . . . . 7 𝑏((𝑆𝑦)‘𝑚)
3126, 30nfsum 15728 . . . . . 6 𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚)
32 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
3332fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑏) = (𝑆𝑦))
3433fveq1d 6907 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑦)‘𝑘))
3534sumeq2dv 15739 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑘))
36 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆𝑦)‘𝑘) = ((𝑆𝑦)‘𝑚))
37 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑚((𝑆𝑦)‘𝑘)
38 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
39 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
4038, 39nfmpt 5248 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
411, 40nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑆
42 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑦
4341, 42nffv 6915 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑆𝑦)
44 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
4543, 44nffv 6915 . . . . . . . 8 𝑘((𝑆𝑦)‘𝑚)
4636, 37, 45cbvsum 15732 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚)
4735, 46eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 5250 . . . . 5 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
492, 48eqtri 2764 . . . 4 𝑃 = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
50 ovexd 7467 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51 binomcxplem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
5251a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
5351a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
5554oveq2d 7448 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5958, 56bcccl 44363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
6053, 55, 56, 59fvmptd 7022 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
6160, 59eqeltrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6250, 52, 61fmpt2d 7143 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑟
64 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑧
65 nfv 1913 . . . . . . 7 𝑧seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
66 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑟0
67 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑟 +
68 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
691, 68nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 𝑟𝑆
70 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑟𝑧
7169, 70nffv 6915 . . . . . . . . 9 𝑟(𝑆𝑧)
7266, 67, 71nfseq 14053 . . . . . . . 8 𝑟seq0( + , (𝑆𝑧))
7372nfel1 2921 . . . . . . 7 𝑟seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝
74 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑆𝑟) = (𝑆𝑧))
7574seqeq3d 14051 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆𝑟)) = seq0( + , (𝑆𝑧)))
7675eleq1d 2825 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
7763, 64, 65, 73, 76cbvrabw 3472 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }
7877supeq1i 9488 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
797, 78eqtri 2764 . . . 4 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
801fveq1i 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)
81 seqeq3 14048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 seq0( + , (𝑆𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧))
8382eleq1i 2831 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
8483rabbii 3441 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
8584supeq1i 9488 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
867, 78, 853eqtrri 2769 . . . . . 6 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
8786eleq1i 2831 . . . . 5 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
8886oveq2i 7443 . . . . . 6 ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
8988oveq1i 7442 . . . . 5 (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90 eqid 2736 . . . . 5 ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
9187, 89, 90ifbieq12i 4552 . . . 4 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝑘) = (𝑏𝑘))
9392oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
9493mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9594cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9695fveq1i 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)
97 seqeq3 14048 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧))
9998eleq1i 2831 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
10099rabbii 3441 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101100supeq1i 9488 . . . . . . . . 9 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102101eleq1i 2831 . . . . . . . 8 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103101oveq2i 7443 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104103oveq1i 7442 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105102, 104, 90ifbieq12i 4552 . . . . . . 7 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106105oveq2i 7443 . . . . . 6 ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107106oveq1i 7442 . . . . 5 (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108107oveq2i 7443 . . . 4 (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
1091, 49, 62, 79, 3, 91, 108pserdv2 26475 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110 cnvimass 6099 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
1113, 110eqsstri 4029 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ dom abs
112 absf 15377 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
113112fdmi 6746 . . . . . . 7 dom abs = ℂ
114111, 113sseqtri 4031 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
115114sseli 3978 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
116 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119118oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120119oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121120mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123 nnex 12273 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
124123mptex 7244 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126117, 121, 122, 125fvmptd 7022 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127126adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129128fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
130128, 129oveq12d 7450 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹𝑘)) = (𝑛 · (𝐹𝑛)))
131128oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132131oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133130, 132oveq12d 7450 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135 ovexd 7467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136127, 133, 134, 135fvmptd 7022 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137136sumeq2dv 15739 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138115, 137sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139138mpteq2dva 5241 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140109, 139eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)))
141 nfcv 2904 . . . 4 𝑏
142 nfmpt1 5249 . . . . . . 7 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143116, 142nfcxfr 2902 . . . . . 6 𝑏𝐸
144143, 27nffv 6915 . . . . 5 𝑏(𝐸𝑦)
145 nfcv 2904 . . . . 5 𝑏𝑛
146144, 145nffv 6915 . . . 4 𝑏((𝐸𝑦)‘𝑛)
147141, 146nfsum 15728 . . 3 𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)
148 nfcv 2904 . . 3 𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
149 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150149fveq2d 6909 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑏))
151150fveq1d 6907 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑦)‘𝑛) = ((𝐸𝑏)‘𝑛))
152151sumeq2dv 15739 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑛))
153 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑏)‘𝑛) = ((𝐸𝑏)‘𝑘))
154 nfmpt1 5249 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
15538, 154nfmpt 5248 . . . . . . . 8 𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156116, 155nfcxfr 2902 . . . . . . 7 𝑘𝐸
157 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑘𝑏
158156, 157nffv 6915 . . . . . 6 𝑘(𝐸𝑏)
159 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑘𝑛
160158, 159nffv 6915 . . . . 5 𝑘((𝐸𝑏)‘𝑛)
161 nfcv 2904 . . . . 5 𝑛((𝐸𝑏)‘𝑘)
162153, 160, 161cbvsum 15732 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
163152, 162eqtrdi 2792 . . 3 (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
16424, 23, 147, 148, 163cbvmptf 5250 . 2 (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
165140, 164eqtrdi 2792 1 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  cima 5687  ccom 5688  cfv 6560  (class class class)co 7432  supcsup 9481  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  *cxr 11295   < clt 11296  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  +crp 13035  [,)cico 13390  seqcseq 14043  cexp 14103  abscabs 15274  cli 15521  Σcsu 15723  ballcbl 21352   D cdv 25899  C𝑐cbcc 44360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-prod 15941  df-fallfac 16044  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-ulm 26421  df-bcc 44361
This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44380
  Copyright terms: Public domain W3C validator