Theorem binomcxplemdvsum 44324

Description: Lemma for binomcxp 44326. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 44318. Part of remark "This convergence allows to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemdvsum	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxplem.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))
3		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
4		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏◡abs
5		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏0
6		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏[,)
7		binomcxplem.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏 +
9		nfmpt1 5274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
10	1, 9	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑆
11		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏𝑟
12	10, 11	nffv 6930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟)
13	5, 8, 12	nfseq 14062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟))
14	13	nfel1 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
15		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ
16	14, 15	nfrabw 3483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏ℝ*
18		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 <
19	16, 17, 18	nfsup 9520	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20	7, 19	nfcxfr 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑅
21	5, 6, 20	nfov 7478	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(0[,)𝑅)
22	4, 21	nfima 6097	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(◡abs “ (0[,)𝑅))
23	3, 22	nfcxfr 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐷
24		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
25		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)
26		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
27		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏𝑦
28	10, 27	nffv 6930	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑦)
29		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑚
30	28, 29	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
31	26, 30	nfsum 15739	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
32		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
33	32	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑦))
34	33	fveq1d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑦 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
35	34	sumeq2dv 15750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘))
36		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
37		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝑆‘𝑦)‘𝑘)
38		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
39		nfmpt1 5274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
40	38, 39	nfmpt 5273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
41	1, 40	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
42		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑦
43	41, 42	nffv 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆‘𝑦)
44		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
45	43, 44	nffv 6930	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
46	36, 37, 45	cbvsum 15743	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚)
47	35, 46	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
48	23, 24, 25, 31, 47	cbvmptf 5275	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
49	2, 48	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑦)‘𝑚))
50		ovexd 7483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
51		binomcxplem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
53	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
54		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
55	54	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
56		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		binomcxp.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
59	58, 56	bcccl 44308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
60	53, 55, 56, 59	fvmptd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
61	60, 59	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
62	50, 52, 61	fmpt2d 7158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
63		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟ℝ
64		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧ℝ
65		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝
66		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟0
67		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟 +
68		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
69	1, 68	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑆
70		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑟𝑧
71	69, 70	nffv 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟(𝑆‘𝑧)
72	66, 67, 71	nfseq 14062	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧))
73	72	nfel1 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑟seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝
74		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑆‘𝑟) = (𝑆‘𝑧))
75	74	seqeq3d 14060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆‘𝑟)) = seq0( + , (𝑆‘𝑧)))
76	75	eleq1d 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
77	63, 64, 65, 73, 76	cbvrabw 3481	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
78	77	supeq1i 9516	. . . . 5 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
79	7, 78	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
80	1	fveq1i 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
81		seqeq3 14057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
83	82	eleq1i 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
84	83	rabbii 3449	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
85	84	supeq1i 9516	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
86	7, 78, 85	3eqtrri 2773	. . . . . 6 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
87	86	eleq1i 2835	. . . . 5 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
88	86	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
89	88	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
90		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
91	87, 89, 90	ifbieq12i 4575	. . . 4 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
92		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤↑𝑘) = (𝑏↑𝑘))
93	92	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))
94	93	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
95	94	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
96	95	fveq1i 6921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)
97		seqeq3 14057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧))
99	98	eleq1i 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
100	99	rabbii 3449	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
101	100	supeq1i 9516	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
102	101	eleq1i 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
103	101	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
104	103	oveq1i 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
105	102, 104, 90	ifbieq12i 4575	. . . . . . 7 ⊢ if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
106	105	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
107	106	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
108	107	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑤↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
109	1, 49, 62, 79, 3, 91, 108	pserdv2 26492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
110		cnvimass 6111	. . . . . . . 8 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
111	3, 110	eqsstri 4043	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
112		absf 15386	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
113	112	fdmi 6758	. . . . . . 7 ⊢ dom abs = ℂ
114	111, 113	sseqtri 4045	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
115	114	sseli 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ ℂ)
116		binomcxplem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
118		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
119	118	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
120	119	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
121	120	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
122		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
123		nnex 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
124	123	mptex 7260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
126	117, 121, 122, 125	fvmptd 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
127	126	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
128		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
129	128	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
130	128, 129	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑛 · (𝐹‘𝑛)))
131	128	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
132	131	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
133	130, 132	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
134		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
135		ovexd 7483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
136	127, 133, 134, 135	fvmptd 7036	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137	136	sumeq2dv 15750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
138	115, 137	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
139	138	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹‘𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
140	109, 139	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)))
141		nfcv 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ
142		nfmpt1 5274	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
143	116, 142	nfcxfr 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐸
144	143, 27	nffv 6930	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑦)
145		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑛
146	144, 145	nffv 6930	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
147	141, 146	nfsum 15739	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)
148		nfcv 2908	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
149		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
150	149	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑏))
151	150	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑏 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
152	151	sumeq2dv 15750	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛))
153		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
154		nfmpt1 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
155	38, 154	nfmpt 5273	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
156	116, 155	nfcxfr 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐸
157		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
158	156, 157	nffv 6930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐸‘𝑏)
159		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
160	158, 159	nffv 6930	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐸‘𝑏)‘𝑛)
161		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
162	153, 160, 161	cbvsum 15743	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)
163	152, 162	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
164	24, 23, 147, 148, 163	cbvmptf 5275	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑦)‘𝑛)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))
165	140, 164	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  seqcseq 14052  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ⇝ cli 15530  Σcsu 15734  ballcbl 21374   D cdv 25918  C_𝑐cbcc 44305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-fallfac 16055  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ulm 26438  df-bcc 44306

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  44325