MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmpropd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmpropd2 23974
Description: Strong property deduction for a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpropd2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐พ))
nmpropd2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ฟ))
nmpropd2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Grp)
nmpropd2.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐พ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ฟ)๐‘ฆ))
nmpropd2.5 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
nmpropd2 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐พ) = (normโ€˜๐ฟ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฟ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem nmpropd2
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmpropd2.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐พ))
2 nmpropd2.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ฟ))
31, 2eqtr3d 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐ฟ))
4 nmpropd2.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
51sqxpeqd 5669 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))
65reseq2d 5941 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))))
74, 6eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))))
82sqxpeqd 5669 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) = ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))
98reseq2d 5941 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ))))
107, 9eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ))))
11 eqidd 2734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Ž = ๐‘Ž)
12 nmpropd2.4 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐พ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ฟ)๐‘ฆ))
131, 2, 12grpidpropd 18525 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐พ) = (0gโ€˜๐ฟ))
1410, 11, 13oveq123d 7382 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ)) = (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ)))
153, 14mpteq12dv 5200 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ))) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ฟ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ))))
16 nmpropd2.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Grp)
17 eqid 2733 . . . 4 (normโ€˜๐พ) = (normโ€˜๐พ)
18 eqid 2733 . . . 4 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
19 eqid 2733 . . . 4 (0gโ€˜๐พ) = (0gโ€˜๐พ)
20 eqid 2733 . . . 4 (distโ€˜๐พ) = (distโ€˜๐พ)
21 eqid 2733 . . . 4 ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))) = ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))
2217, 18, 19, 20, 21nmfval2 23970 . . 3 (๐พ โˆˆ Grp โ†’ (normโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ))))
2316, 22syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ))))
241, 2, 12grppropd 18773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ Grp โ†” ๐ฟ โˆˆ Grp))
2516, 24mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ Grp)
26 eqid 2733 . . . 4 (normโ€˜๐ฟ) = (normโ€˜๐ฟ)
27 eqid 2733 . . . 4 (Baseโ€˜๐ฟ) = (Baseโ€˜๐ฟ)
28 eqid 2733 . . . 4 (0gโ€˜๐ฟ) = (0gโ€˜๐ฟ)
29 eqid 2733 . . . 4 (distโ€˜๐ฟ) = (distโ€˜๐ฟ)
30 eqid 2733 . . . 4 ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ))) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))
3126, 27, 28, 29, 30nmfval2 23970 . . 3 (๐ฟ โˆˆ Grp โ†’ (normโ€˜๐ฟ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ฟ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ))))
3225, 31syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐ฟ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ฟ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ))))
3315, 23, 323eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐พ) = (normโ€˜๐ฟ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635   โ†พ cres 5639  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  distcds 17150  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  normcnm 23955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-nm 23961
This theorem is referenced by:  ngppropd  24016
  Copyright terms: Public domain W3C validator