MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmpropd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmpropd2 24503
Description: Strong property deduction for a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpropd2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐พ))
nmpropd2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ฟ))
nmpropd2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Grp)
nmpropd2.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐พ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ฟ)๐‘ฆ))
nmpropd2.5 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
nmpropd2 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐พ) = (normโ€˜๐ฟ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฟ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem nmpropd2
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmpropd2.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐พ))
2 nmpropd2.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ฟ))
31, 2eqtr3d 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐ฟ))
4 nmpropd2.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)))
51sqxpeqd 5710 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))
65reseq2d 5985 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))))
74, 6eqtr3d 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))))
82sqxpeqd 5710 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) = ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))
98reseq2d 5985 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ (๐ต ร— ๐ต)) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ))))
107, 9eqtr3d 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ))))
11 eqidd 2729 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Ž = ๐‘Ž)
12 nmpropd2.4 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐พ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ฟ)๐‘ฆ))
131, 2, 12grpidpropd 18621 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐พ) = (0gโ€˜๐ฟ))
1410, 11, 13oveq123d 7441 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ)) = (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ)))
153, 14mpteq12dv 5239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ))) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ฟ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ))))
16 nmpropd2.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Grp)
17 eqid 2728 . . . 4 (normโ€˜๐พ) = (normโ€˜๐พ)
18 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
19 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜๐พ) = (0gโ€˜๐พ)
20 eqid 2728 . . . 4 (distโ€˜๐พ) = (distโ€˜๐พ)
21 eqid 2728 . . . 4 ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))) = ((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))
2217, 18, 19, 20, 21nmfval2 24499 . . 3 (๐พ โˆˆ Grp โ†’ (normโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ))))
2316, 22syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐พ) โ†พ ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))(0gโ€˜๐พ))))
241, 2, 12grppropd 18907 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ Grp โ†” ๐ฟ โˆˆ Grp))
2516, 24mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ Grp)
26 eqid 2728 . . . 4 (normโ€˜๐ฟ) = (normโ€˜๐ฟ)
27 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜๐ฟ) = (Baseโ€˜๐ฟ)
28 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜๐ฟ) = (0gโ€˜๐ฟ)
29 eqid 2728 . . . 4 (distโ€˜๐ฟ) = (distโ€˜๐ฟ)
30 eqid 2728 . . . 4 ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ))) = ((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))
3126, 27, 28, 29, 30nmfval2 24499 . . 3 (๐ฟ โˆˆ Grp โ†’ (normโ€˜๐ฟ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ฟ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ))))
3225, 31syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐ฟ) = (๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ฟ) โ†ฆ (๐‘Ž((distโ€˜๐ฟ) โ†พ ((Baseโ€˜๐ฟ) ร— (Baseโ€˜๐ฟ)))(0gโ€˜๐ฟ))))
3315, 23, 323eqtr4d 2778 1 (๐œ‘ โ†’ (normโ€˜๐พ) = (normโ€˜๐ฟ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676   โ†พ cres 5680  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  distcds 17241  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889  normcnm 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-nm 24490
This theorem is referenced by:  ngppropd  24545
  Copyright terms: Public domain W3C validator