Theorem ngppropd 24612

Description: Property deduction for a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngppropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ngppropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ngppropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ngppropd.4	⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
ngppropd.5	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
ngppropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ngppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngppropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ngppropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ngppropd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4		ngppropd.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
5	1, 2, 3, 4	mspropd 24449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
7	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐾 ∈ Grp)
10		ngppropd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	7, 8, 9, 11, 12	nmpropd2 24570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (norm‘𝐾) = (norm‘𝐿))
14	7, 8, 9, 11	grpsubpropd2 19013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (-g‘𝐾) = (-g‘𝐿))
15	13, 14	coeq12d 5813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)))
16	1	sqxpeqd 5656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
17	16	reseq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
18	2	sqxpeqd 5656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
19	18	reseq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
20	3, 17, 19	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
22	15, 21	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↔ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
23	6, 22	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
24	23	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
25	1, 2, 10	grppropd 18918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
26	25	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
28		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
29		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
31		eqid 2737	. . 3 ⊢ (norm‘𝐾) = (norm‘𝐾)
32		eqid 2737	. . 3 ⊢ (-g‘𝐾) = (-g‘𝐾)
33		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
34		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
36	31, 32, 33, 34, 35	isngp2 24572	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
37		eqid 2737	. . 3 ⊢ (norm‘𝐿) = (norm‘𝐿)
38		eqid 2737	. . 3 ⊢ (-g‘𝐿) = (-g‘𝐿)
39		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘𝐿) = (dist‘𝐿)
40		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
41		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
42	37, 38, 39, 40, 41	isngp2 24572	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ NrmGrp ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
43	30, 36, 42	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5622   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  distcds 17220  TopOpenctopn 17375  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  MetSpcms 24293  normcnm 24551  NrmGrpcngp 24552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-0g 17395  df-topgen 17397  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-xms 24295  df-ms 24296  df-nm 24557  df-ngp 24558

This theorem is referenced by:  sranlm  24659