Theorem ngppropd 23842

Description: Property deduction for a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngppropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ngppropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ngppropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ngppropd.4	⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
ngppropd.5	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
ngppropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ngppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngppropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ngppropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ngppropd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4		ngppropd.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
5	1, 2, 3, 4	mspropd 23676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
6	5	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
7	1	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	2	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐾 ∈ Grp)
10		ngppropd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	3	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	7, 8, 9, 11, 12	nmpropd2 23800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (norm‘𝐾) = (norm‘𝐿))
14	7, 8, 9, 11	grpsubpropd2 18730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (-g‘𝐾) = (-g‘𝐿))
15	13, 14	coeq12d 5786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)))
16	1	sqxpeqd 5632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
17	16	reseq2d 5903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
18	2	sqxpeqd 5632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
19	18	reseq2d 5903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
20	3, 17, 19	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
21	20	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
22	15, 21	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↔ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
23	6, 22	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
24	23	pm5.32da 580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
25	1, 2, 10	grppropd 18643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
26	25	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
28		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
29		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
31		eqid 2736	. . 3 ⊢ (norm‘𝐾) = (norm‘𝐾)
32		eqid 2736	. . 3 ⊢ (-g‘𝐾) = (-g‘𝐾)
33		eqid 2736	. . 3 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
34		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
36	31, 32, 33, 34, 35	isngp2 23802	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
37		eqid 2736	. . 3 ⊢ (norm‘𝐿) = (norm‘𝐿)
38		eqid 2736	. . 3 ⊢ (-g‘𝐿) = (-g‘𝐿)
39		eqid 2736	. . 3 ⊢ (dist‘𝐿) = (dist‘𝐿)
40		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
41		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
42	37, 38, 39, 40, 41	isngp2 23802	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ NrmGrp ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
43	30, 36, 42	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   × cxp 5598   ↾ cres 5602   ∘ ccom 5604  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  +_gcplusg 17011  distcds 17020  TopOpenctopn 17181  Grpcgrp 18626  -_gcsg 18628  MetSpcms 23520  normcnm 23781  NrmGrpcngp 23782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-xneg 12898  df-xadd 12899  df-xmul 12900  df-0g 17201  df-topgen 17203  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-psmet 20638  df-xmet 20639  df-met 20640  df-bl 20641  df-mopn 20642  df-top 22092  df-topon 22109  df-topsp 22131  df-bases 22145  df-xms 23522  df-ms 23523  df-nm 23787  df-ngp 23788

This theorem is referenced by:  sranlm  23897