MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngppropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngppropd 24153
Description: Property deduction for a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngppropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
ngppropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
ngppropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
ngppropd.4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
ngppropd.5 (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
ngppropd (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ngppropd
StepHypRef Expression
1 ngppropd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 ngppropd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 ngppropd.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4 ngppropd.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
51, 2, 3, 4mspropd 23987 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
71adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
82adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → 𝐾 ∈ Grp)
10 ngppropd.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
1110adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐾 ∈ Grp) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
123adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
137, 8, 9, 11, 12nmpropd2 24111 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → (norm‘𝐾) = (norm‘𝐿))
147, 8, 9, 11grpsubpropd2 18931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → (-g𝐾) = (-g𝐿))
1513, 14coeq12d 5864 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)))
161sqxpeqd 5708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1716reseq2d 5981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
182sqxpeqd 5708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
1918reseq2d 5981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
203, 17, 193eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
2215, 21eqeq12d 2748 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → (((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↔ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
236, 22anbi12d 631 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ Grp) → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
2423pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
251, 2, 10grppropd 18839 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
2625anbi1d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
2724, 26bitrd 278 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
28 3anass 1095 . . 3 ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
29 3anass 1095 . . 3 ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
3027, 28, 293bitr4g 313 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
31 eqid 2732 . . 3 (norm‘𝐾) = (norm‘𝐾)
32 eqid 2732 . . 3 (-g𝐾) = (-g𝐾)
33 eqid 2732 . . 3 (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
34 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35 eqid 2732 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
3631, 32, 33, 34, 35isngp2 24113 . 2 (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
37 eqid 2732 . . 3 (norm‘𝐿) = (norm‘𝐿)
38 eqid 2732 . . 3 (-g𝐿) = (-g𝐿)
39 eqid 2732 . . 3 (dist‘𝐿) = (dist‘𝐿)
40 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
41 eqid 2732 . . 3 ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
4237, 38, 39, 40, 41isngp2 24113 . 2 (𝐿 ∈ NrmGrp ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
4330, 36, 423bitr4g 313 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   × cxp 5674  cres 5678  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  distcds 17208  TopOpenctopn 17369  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  MetSpcms 23831  normcnm 24092  NrmGrpcngp 24093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099
This theorem is referenced by:  sranlm  24208
  Copyright terms: Public domain W3C validator