Theorem ngppropd 24809

Description: Property deduction for a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngppropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ngppropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ngppropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ngppropd.4	⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
ngppropd.5	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
ngppropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ngppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngppropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ngppropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ngppropd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4		ngppropd.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
5	1, 2, 3, 4	mspropd 24646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
7	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐾 ∈ Grp)
10		ngppropd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	7, 8, 9, 11, 12	nmpropd2 24767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (norm‘𝐾) = (norm‘𝐿))
14	7, 8, 9, 11	grpsubpropd2 19122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (-g‘𝐾) = (-g‘𝐿))
15	13, 14	coeq12d 5853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)))
16	1	sqxpeqd 5696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
17	16	reseq2d 5981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
18	2	sqxpeqd 5696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
19	18	reseq2d 5981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
20	3, 17, 19	3eqtr3d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
22	15, 21	eqeq12d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↔ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
23	6, 22	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
24	23	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
25	1, 2, 10	grppropd 19028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
26	25	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
27	24, 26	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
28		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
29		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
30	27, 28, 29	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
31		eqid 2766	. . 3 ⊢ (norm‘𝐾) = (norm‘𝐾)
32		eqid 2766	. . 3 ⊢ (-g‘𝐾) = (-g‘𝐾)
33		eqid 2766	. . 3 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
34		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
36	31, 32, 33, 34, 35	isngp2 24769	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
37		eqid 2766	. . 3 ⊢ (norm‘𝐿) = (norm‘𝐿)
38		eqid 2766	. . 3 ⊢ (-g‘𝐿) = (-g‘𝐿)
39		eqid 2766	. . 3 ⊢ (dist‘𝐿) = (dist‘𝐿)
40		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
41		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
42	37, 38, 39, 40, 41	isngp2 24769	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ NrmGrp ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
43	30, 36, 42	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   × cxp 5662   ↾ cres 5666   ∘ ccom 5668  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17279  +_gcplusg 17320  distcds 17329  TopOpenctopn 17484  Grpcgrp 19010  -_gcsg 19012  MetSpcms 24490  normcnm 24748  NrmGrpcngp 24749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-0g 17504  df-topgen 17506  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-xms 24492  df-ms 24493  df-nm 24754  df-ngp 24755

This theorem is used by:  sranlm  24856