Theorem ngppropd 24553

Description: Property deduction for a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngppropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ngppropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ngppropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ngppropd.4	⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
ngppropd.5	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
ngppropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ngppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngppropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ngppropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ngppropd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4		ngppropd.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
5	1, 2, 3, 4	mspropd 24390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
7	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐾 ∈ Grp)
10		ngppropd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	7, 8, 9, 11, 12	nmpropd2 24511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (norm‘𝐾) = (norm‘𝐿))
14	7, 8, 9, 11	grpsubpropd2 18961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (-g‘𝐾) = (-g‘𝐿))
15	13, 14	coeq12d 5808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)))
16	1	sqxpeqd 5651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
17	16	reseq2d 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
18	2	sqxpeqd 5651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
19	18	reseq2d 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
20	3, 17, 19	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
22	15, 21	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↔ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
23	6, 22	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
24	23	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
25	1, 2, 10	grppropd 18866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
26	25	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
28		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
29		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
31		eqid 2733	. . 3 ⊢ (norm‘𝐾) = (norm‘𝐾)
32		eqid 2733	. . 3 ⊢ (-g‘𝐾) = (-g‘𝐾)
33		eqid 2733	. . 3 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
34		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
36	31, 32, 33, 34, 35	isngp2 24513	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
37		eqid 2733	. . 3 ⊢ (norm‘𝐿) = (norm‘𝐿)
38		eqid 2733	. . 3 ⊢ (-g‘𝐿) = (-g‘𝐿)
39		eqid 2733	. . 3 ⊢ (dist‘𝐿) = (dist‘𝐿)
40		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
41		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
42	37, 38, 39, 40, 41	isngp2 24513	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ NrmGrp ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
43	30, 36, 42	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5617   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  distcds 17172  TopOpenctopn 17327  Grpcgrp 18848  -_gcsg 18850  MetSpcms 24234  normcnm 24492  NrmGrpcngp 24493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-0g 17347  df-topgen 17349  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-xms 24236  df-ms 24237  df-nm 24498  df-ngp 24499

This theorem is referenced by:  sranlm  24600