Theorem ngppropd 24552

Description: Property deduction for a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngppropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
ngppropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ngppropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ngppropd.4	⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
ngppropd.5	⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
ngppropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ngppropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngppropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		ngppropd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ngppropd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4		ngppropd.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
5	1, 2, 3, 4	mspropd 24389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐿 ∈ MetSp))
7	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → 𝐾 ∈ Grp)
10		ngppropd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
11	10	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
12	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
13	7, 8, 9, 11, 12	nmpropd2 24510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (norm‘𝐾) = (norm‘𝐿))
14	7, 8, 9, 11	grpsubpropd2 18959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (-g‘𝐾) = (-g‘𝐿))
15	13, 14	coeq12d 5803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)))
16	1	sqxpeqd 5646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
17	16	reseq2d 5927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
18	2	sqxpeqd 5646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
19	18	reseq2d 5927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐿) ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
20	3, 17, 19	3eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))
22	15, 21	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↔ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
23	6, 22	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ Grp) → ((𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
24	23	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
25	1, 2, 10	grppropd 18864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
26	25	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))))
28		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
29		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
30	27, 28, 29	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))))))
31		eqid 2731	. . 3 ⊢ (norm‘𝐾) = (norm‘𝐾)
32		eqid 2731	. . 3 ⊢ (-g‘𝐾) = (-g‘𝐾)
33		eqid 2731	. . 3 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
34		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
36	31, 32, 33, 34, 35	isngp2 24512	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ (𝐾 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐾) ∘ (-g‘𝐾)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
37		eqid 2731	. . 3 ⊢ (norm‘𝐿) = (norm‘𝐿)
38		eqid 2731	. . 3 ⊢ (-g‘𝐿) = (-g‘𝐿)
39		eqid 2731	. . 3 ⊢ (dist‘𝐿) = (dist‘𝐿)
40		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
41		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿))) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))
42	37, 38, 39, 40, 41	isngp2 24512	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ NrmGrp ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝐿 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐿) ∘ (-g‘𝐿)) = ((dist‘𝐿) ↾ ((Base‘𝐿) × (Base‘𝐿)))))
43	30, 36, 42	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NrmGrp ↔ 𝐿 ∈ NrmGrp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5612   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  distcds 17170  TopOpenctopn 17325  Grpcgrp 18846  -_gcsg 18848  MetSpcms 24233  normcnm 24491  NrmGrpcngp 24492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236  df-nm 24497  df-ngp 24498

This theorem is referenced by:  sranlm  24599