Theorem nvcli 31246

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 20-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nvcli.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nvcli.7	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
nvcli	⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ

Proof of Theorem nvcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcli.9	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		nvcli.7	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
3		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 31245	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	mp2an 705	1 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  ℝcr 11180  NrmCVeccnv 31168  BaseSetcba 31170  norm_CVcnmcv 31174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-nmcv 31184

This theorem is used by:  ip0i  31409  ip1ilem  31410  ipasslem10  31423  siilem1  31435  siii  31437