Theorem nvcli 30643

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 20-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nvcli.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nvcli.7	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
nvcli	⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ

Proof of Theorem nvcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcli.9	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		nvcli.7	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
3		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 30642	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	mp2an 692	1 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  ℝcr 11128  NrmCVeccnv 30565  BaseSetcba 30567  norm_CVcnmcv 30571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-nmcv 30581

This theorem is referenced by:  ip0i  30806  ip1ilem  30807  ipasslem10  30820  siilem1  30832  siii  30834