MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvcli 30691
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 20-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6 𝑁 = (normCV𝑈)
nvcli.9 𝑈 ∈ NrmCVec
nvcli.7 𝐴𝑋
Assertion
Ref Expression
nvcli (𝑁𝐴) ∈ ℝ

Proof of Theorem nvcli
StepHypRef Expression
1 nvcli.9 . 2 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nvcli.7 . 2 𝐴𝑋
3 nvf.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 nvf.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
53, 4nvcl 30690 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
61, 2, 5mp2an 692 1 (𝑁𝐴) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  cr 11152  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  normCVcnmcv 30619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629
This theorem is referenced by:  ip0i  30854  ip1ilem  30855  ipasslem10  30868  siilem1  30880  siii  30882
  Copyright terms: Public domain W3C validator