Theorem nvcli 30919

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 20-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nvcli.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nvcli.7	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
nvcli	⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ

Proof of Theorem nvcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvcli.9	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		nvcli.7	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
3		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	3, 4	nvcl 30918	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	mp2an 704	1 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  NrmCVeccnv 30841  BaseSetcba 30843  norm_CVcnmcv 30847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-vc 30816  df-nv 30849  df-va 30852  df-ba 30853  df-sm 30854  df-0v 30855  df-nmcv 30857

This theorem is referenced by:  ip0i  31082  ip1ilem  31083  ipasslem10  31096  siilem1  31108  siii  31110