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Theorem ip0i 30116

Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where 𝐽 is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
ip1i.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip1i.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip1i.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip1i.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
ip0i.j	⊢ 𝐽 ∈ ℂ

**Assertion**
Ref	Expression
ip0i	⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

**Proof of Theorem ip0i**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12289	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		ip1i.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
4		ip1i.9	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
5	4	phnvi 30107	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		ip1i.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
7		ip0i.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ ℂ
8		ip1i.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
9		ip1i.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
10	2, 9	nvscl 29917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
11	5, 7, 8, 10	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
12		ip1i.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
13	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
14	5, 6, 11, 13	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
15	2, 3, 5, 14	nvcli 29953	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
16	15	recni 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
17	16	sqcli 14147	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
18	7	negcli 11530	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝐽 ∈ ℂ
19	2, 9	nvscl 29917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
20	5, 18, 8, 19	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
21	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
22	5, 6, 20, 21	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
23	2, 3, 5, 22	nvcli 29953	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
24	23	recni 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
25	24	sqcli 14147	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
26	1, 17, 25	subdii 11665	. . 3 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
27	1, 17	mulcli 11223	. . . 4 ⊢ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
28	1, 25	mulcli 11223	. . . 4 ⊢ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
29		ip1i.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
30	2, 3, 5, 29	nvcli 29953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
31	30	recni 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
32	31	sqcli 14147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
33	1, 32	mulcli 11223	. . . 4 ⊢ (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
34		pnpcan2 11502	. . . 4 ⊢ (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ) → (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))))
35	27, 28, 33, 34	mp3an 1461	. . 3 ⊢ (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
36	26, 35	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
37		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1^st ‘𝑈) = (1^st ‘𝑈)
38	37	nvvc 29906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1^st ‘𝑈) ∈ CVec_OLD)
39	12	vafval 29894	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (1^st ‘(1^st ‘𝑈))
40	39	vcablo 29860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1^st ‘𝑈) ∈ CVec_OLD → 𝐺 ∈ AbelOp)
41	5, 38, 40	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ AbelOp
42	6, 29, 11	3pm3.2i 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
43	2, 12	bafval 29895	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
44	43	ablo32 29840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
46	45	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
47	46	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
48		neg1cn 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
49	2, 9	nvscl 29917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
50	5, 48, 29, 49	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
51	6, 50, 11	3pm3.2i 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
52	43	ablo32 29840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
53	41, 51, 52	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
54	53	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
55	54	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
56	47, 55	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
57	2, 12, 9, 3	phpar 30115	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
58	4, 14, 29, 57	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))
59	1, 17, 32	adddii 11228	. . . 4 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
60	56, 58, 59	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
61	6, 29, 20	3pm3.2i 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
62	43	ablo32 29840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
63	41, 61, 62	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
64	63	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
65	64	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
66	6, 50, 20	3pm3.2i 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
67	43	ablo32 29840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
68	41, 66, 67	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
69	68	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
70	69	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
71	65, 70	oveq12i 7423	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
72	2, 12, 9, 3	phpar 30115	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	4, 22, 29, 72	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))
74	1, 25, 32	adddii 11228	. . . 4 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
75	71, 73, 74	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
76	60, 75	oveq12i 7423	. 2 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
77	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
78	5, 6, 29, 77	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
79	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
80	5, 78, 11, 79	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
81	2, 3, 5, 80	nvcli 29953	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
82	81	recni 11230	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
83	82	sqcli 14147	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
84	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
85	5, 6, 50, 84	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
86	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
87	5, 85, 11, 86	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
88	2, 3, 5, 87	nvcli 29953	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
89	88	recni 11230	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
90	89	sqcli 14147	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
91	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
92	5, 78, 20, 91	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
93	2, 3, 5, 92	nvcli 29953	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
94	93	recni 11230	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
95	94	sqcli 14147	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
96	2, 12	nvgcl 29911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
97	5, 85, 20, 96	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
98	2, 3, 5, 97	nvcli 29953	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
99	98	recni 11230	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
100	99	sqcli 14147	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
101	83, 90, 95, 100	addsub4i 11558	. 2 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
102	36, 76, 101	3eqtr2ri 2767	1 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 1^st c1st 7975 ℂcc 11110 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11446 -cneg 11447 2c2 12269 ↑cexp 14029 AbelOpcablo 29835 CVec_OLDcvc 29849 NrmCVeccnv 29875 +_𝑣 cpv 29876 BaseSetcba 29877 ·_𝑠OLD cns 29878 norm_CVcnmcv 29881 ·_𝑖OLDcdip 29991 CPreHil_OLDccphlo 30103

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-nn 12215 df-2 12277 df-n0 12475 df-z 12561 df-uz 12825 df-seq 13969 df-exp 14030 df-grpo 29784 df-ablo 29836 df-vc 29850 df-nv 29883 df-va 29886 df-ba 29887 df-sm 29888 df-0v 29889 df-nmcv 29891 df-ph 30104

This theorem is referenced by: ip1ilem 30117

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