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Theorem ip0i 31427

Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where 𝐽 is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
ip1i.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip1i.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip1i.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip1i.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
ip0i.j	⊢ 𝐽 ∈ ℂ

**Assertion**
Ref	Expression
ip0i	⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

**Proof of Theorem ip0i**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		ip1i.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
4		ip1i.9	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
5	4	phnvi 31418	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6		ip1i.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
7		ip0i.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ ℂ
8		ip1i.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
9		ip1i.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
10	2, 9	nvscl 31228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
11	5, 7, 8, 10	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
12		ip1i.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
13	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
14	5, 6, 11, 13	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
15	2, 3, 5, 14	nvcli 31264	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
16	15	recni 11323	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
17	16	sqcli 14324	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
18	7	negcli 11626	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝐽 ∈ ℂ
19	2, 9	nvscl 31228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
20	5, 18, 8, 19	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
21	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
22	5, 6, 20, 21	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
23	2, 3, 5, 22	nvcli 31264	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
24	23	recni 11323	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
25	24	sqcli 14324	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
26	1, 17, 25	subdii 11765	. . 3 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
27	1, 17	mulcli 11316	. . . 4 ⊢ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
28	1, 25	mulcli 11316	. . . 4 ⊢ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
29		ip1i.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
30	2, 3, 5, 29	nvcli 31264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
31	30	recni 11323	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
32	31	sqcli 14324	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
33	1, 32	mulcli 11316	. . . 4 ⊢ (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
34		pnpcan2 11598	. . . 4 ⊢ (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ) → (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))))
35	27, 28, 33, 34	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
36	26, 35	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
37		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1^st ‘𝑈) = (1^st ‘𝑈)
38	37	nvvc 31217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1^st ‘𝑈) ∈ CVec_OLD)
39	12	vafval 31205	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (1^st ‘(1^st ‘𝑈))
40	39	vcablo 31171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1^st ‘𝑈) ∈ CVec_OLD → 𝐺 ∈ AbelOp)
41	5, 38, 40	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ AbelOp
42	6, 29, 11	3pm3.2i 1358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
43	2, 12	bafval 31206	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
44	43	ablo32 31151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
46	45	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
47	46	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
48		neg1cn 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
49	2, 9	nvscl 31228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
50	5, 48, 29, 49	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
51	6, 50, 11	3pm3.2i 1358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
52	43	ablo32 31151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))
53	41, 51, 52	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵))
54	53	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))
55	54	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2)
56	47, 55	oveq12i 7432	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2))
57	2, 12, 9, 3	phpar 31426	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
58	4, 14, 29, 57	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))
59	1, 17, 32	adddii 11321	. . . 4 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
60	56, 58, 59	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
61	6, 29, 20	3pm3.2i 1358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
62	43	ablo32 31151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
63	41, 61, 62	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
64	63	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
65	64	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
66	6, 50, 20	3pm3.2i 1358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
67	43	ablo32 31151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))
68	41, 66, 67	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵))
69	68	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))
70	69	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2)
71	65, 70	oveq12i 7432	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2))
72	2, 12, 9, 3	phpar 31426	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	4, 22, 29, 72	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶))𝐺( -1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))
74	1, 25, 32	adddii 11321	. . . 4 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
75	71, 73, 74	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
76	60, 75	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
77	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
78	5, 6, 29, 77	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
79	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
80	5, 78, 11, 79	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
81	2, 3, 5, 80	nvcli 31264	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
82	81	recni 11323	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
83	82	sqcli 14324	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
84	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
85	5, 6, 50, 84	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
86	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
87	5, 85, 11, 86	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
88	2, 3, 5, 87	nvcli 31264	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
89	88	recni 11323	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
90	89	sqcli 14324	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
91	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
92	5, 78, 20, 91	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
93	2, 3, 5, 92	nvcli 31264	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
94	93	recni 11323	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
95	94	sqcli 14324	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
96	2, 12	nvgcl 31222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺( -1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ ( -𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
97	5, 85, 20, 96	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
98	2, 3, 5, 97	nvcli 31264	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
99	98	recni 11323	. . . 4 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
100	99	sqcli 14324	. . 3 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
101	83, 90, 95, 100	addsub4i 11654	. 2 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
102	36, 76, 101	3eqtr2ri 2791	1 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺( -1𝑆𝐵))𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺( -𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 1^st c1st 7999 ℂcc 11198 1c1 11201 + caddc 11203 · cmul 11205 − cmin 11541 -cneg 11542 2c2 12397 ↑cexp 14204 AbelOpcablo 31146 CVec_OLDcvc 31160 NrmCVeccnv 31186 +_𝑣 cpv 31187 BaseSetcba 31188 ·_𝑠OLD cns 31189 norm_CVcnmcv 31192 ·_𝑖OLDcdip 31302 CPreHil_OLDccphlo 31414

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-nn 12336 df-2 12405 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-seq 14145 df-exp 14205 df-grpo 31095 df-ablo 31147 df-vc 31161 df-nv 31194 df-va 31197 df-ba 31198 df-sm 31199 df-0v 31200 df-nmcv 31202 df-ph 31415

This theorem is used by: ip1ilem 31428

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