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Theorem ip0i 29767
Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where 𝐽 is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip1i.a 𝐴𝑋
ip1i.b 𝐵𝑋
ip1i.c 𝐶𝑋
ip1i.6 𝑁 = (normCV𝑈)
ip0i.j 𝐽 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
ip0i ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))

Proof of Theorem ip0i
StepHypRef Expression
1 2cn 12228 . . . 4 2 ∈ ℂ
2 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 ip1i.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
4 ip1i.9 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ CPreHilOLD
54phnvi 29758 . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
6 ip1i.a . . . . . . . 8 𝐴𝑋
7 ip0i.j . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ ℂ
8 ip1i.c . . . . . . . . 9 𝐶𝑋
9 ip1i.4 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
102, 9nvscl 29568 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
115, 7, 8, 10mp3an 1461 . . . . . . . 8 (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
12 ip1i.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
132, 12nvgcl 29562 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
145, 6, 11, 13mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
152, 3, 5, 14nvcli 29604 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
1615recni 11169 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
1716sqcli 14085 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
187negcli 11469 . . . . . . . . 9 -𝐽 ∈ ℂ
192, 9nvscl 29568 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
205, 18, 8, 19mp3an 1461 . . . . . . . 8 (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋
212, 12nvgcl 29562 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
225, 6, 20, 21mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
232, 3, 5, 22nvcli 29604 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
2423recni 11169 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
2524sqcli 14085 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
261, 17, 25subdii 11604 . . 3 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
271, 17mulcli 11162 . . . 4 (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
281, 25mulcli 11162 . . . 4 (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
29 ip1i.b . . . . . . . 8 𝐵𝑋
302, 3, 5, 29nvcli 29604 . . . . . . 7 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
3130recni 11169 . . . . . 6 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
3231sqcli 14085 . . . . 5 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
331, 32mulcli 11162 . . . 4 (2 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ
34 pnpcan2 11441 . . . 4 (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ) → (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))))
3527, 28, 33, 34mp3an 1461 . . 3 (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
3626, 35eqtr4i 2767 . 2 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))))
37 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1st𝑈) = (1st𝑈)
3837nvvc 29557 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3912vafval 29545 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
4039vcablo 29511 . . . . . . . . 9 ((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐺 ∈ AbelOp)
415, 38, 40mp2b 10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ AbelOp
426, 29, 113pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
432, 12bafval 29546 . . . . . . . . 9 𝑋 = ran 𝐺
4443ablo32 29491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
4541, 42, 44mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
4645fveq2i 6845 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
4746oveq1i 7367 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
48 neg1cn 12267 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
492, 9nvscl 29568 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
505, 48, 29, 49mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
516, 50, 113pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
5243ablo32 29491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
5341, 51, 52mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
5453fveq2i 6845 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
5554oveq1i 7367 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
5647, 55oveq12i 7369 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
572, 12, 9, 3phpar 29766 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
584, 14, 29, 57mp3an 1461 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
591, 17, 32adddii 11167 . . . 4 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
6056, 58, 593eqtri 2768 . . 3 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
616, 29, 203pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
6243ablo32 29491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
6341, 61, 62mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵)
6463fveq2i 6845 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))
6564oveq1i 7367 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2)
666, 50, 203pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
6743ablo32 29491 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
6841, 66, 67mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵))
6968fveq2i 6845 . . . . . 6 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))
7069oveq1i 7367 . . . . 5 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)
7165, 70oveq12i 7369 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2))
722, 12, 9, 3phpar 29766 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
734, 22, 29, 72mp3an 1461 . . . 4 (((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶))𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)))
741, 25, 32adddii 11167 . . . 4 (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
7571, 73, 743eqtri 2768 . . 3 (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) = ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2)))
7660, 75oveq12i 7369 . 2 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))) − ((2 · ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (2 · ((𝑁𝐵)↑2))))
772, 12nvgcl 29562 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
785, 6, 29, 77mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
792, 12nvgcl 29562 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
805, 78, 11, 79mp3an 1461 . . . . . 6 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
812, 3, 5, 80nvcli 29604 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
8281recni 11169 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
8382sqcli 14085 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
842, 12nvgcl 29562 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
855, 6, 50, 84mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
862, 12nvgcl 29562 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
875, 85, 11, 86mp3an 1461 . . . . . 6 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
882, 3, 5, 87nvcli 29604 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
8988recni 11169 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
9089sqcli 14085 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
912, 12nvgcl 29562 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
925, 78, 20, 91mp3an 1461 . . . . . 6 ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
932, 3, 5, 92nvcli 29604 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
9493recni 11169 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
9594sqcli 14085 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
962, 12nvgcl 29562 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-𝐽𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
975, 85, 20, 96mp3an 1461 . . . . . 6 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
982, 3, 5, 97nvcli 29604 . . . . 5 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℝ
9998recni 11169 . . . 4 (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶))) ∈ ℂ
10099sqcli 14085 . . 3 ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
10183, 90, 95, 100addsub4i 11497 . 2 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2)) − (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
10236, 76, 1013eqtr2ri 2771 1 ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(𝐽𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-𝐽𝑆𝐶)))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  cexp 13967  AbelOpcablo 29486  CVecOLDcvc 29500  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  normCVcnmcv 29532  ·𝑖OLDcdip 29642  CPreHilOLDccphlo 29754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968  df-grpo 29435  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-nmcv 29542  df-ph 29755
This theorem is referenced by:  ip1ilem  29768
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