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Theorem siilem1 29793
Description: Lemma for sii 29796. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
siii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴𝑋
siii.b 𝐵𝑋
sii1.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sii1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
sii1.c 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
Assertion
Ref Expression
siilem1 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 siii.6 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 29758 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑋
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ∈ ℂ
76cjcli 15054 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝑋
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
101, 9nvscl 29568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
114, 7, 8, 10mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
131, 12nvmcl 29588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
144, 5, 11, 13mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
151, 2, 4, 14nvcli 29604 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
1615sqge0i 14092 . . . . . . . 8 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
1714, 5, 113pm3.2i 1339 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
191, 12, 18dipsubdi 29791 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
203, 17, 19mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
211, 2, 18ipidsq 29652 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
224, 14, 21mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
237, 8, 113pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
241, 9, 18dipass 29787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
253, 23, 24mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
268, 6, 83pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
271, 9, 18dipassr2 29789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
283, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
291, 2, 18ipidsq 29652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2))
304, 8, 29mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2)
3130oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))
3228, 31eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))
3332oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
3425, 33eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
3534oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
3635oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
371, 2, 4, 5nvcli 29604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝐴) ∈ ℝ
3837recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝐴) ∈ ℂ
3938sqcli 14085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ
401, 18dipcl 29654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
414, 8, 5, 40mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
427, 41mulcli 11162 . . . . . . . . . . . 12 ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
4443recni 11169 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
451, 2, 4, 8nvcli 29604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
4645recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
4746sqcli 14085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
486, 47mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ
497, 48mulcli 11162 . . . . . . . . . . . 12 ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50 sub4 11446 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))))
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
5236, 51eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
535, 11, 53pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋)
541, 12, 18dipsubdir 29790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
553, 53, 54mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
561, 2, 18ipidsq 29652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
574, 5, 56mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2)
587, 8, 53pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)
591, 9, 18dipass 29787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
603, 58, 59mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
6157, 60oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
6255, 61eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
635, 11, 113pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
641, 12, 18dipsubdir 29790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
653, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
665, 6, 83pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
671, 9, 18dipassr2 29789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
683, 66, 67mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
6968oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
7065, 69eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
7162, 70oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
727, 41, 48subdii 11604 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
7372oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7452, 71, 733eqtr4i 2774 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7520, 22, 743eqtr3i 2772 . . . . . . . 8 ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7616, 75breqtri 5130 . . . . . . 7 0 ≤ ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7741, 48subeq0i 11481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
78 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
797mul01i 11345 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶) · 0) = 0
8078, 79eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = 0)
8177, 80sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = 0)
8281oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
8337resqcli 14090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ
8483recni 11169 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ
8584, 44subcli 11477 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
8685subid1i 11473 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
8782, 86eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8876, 87breqtrid 5142 . . . . . 6 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8983, 43subge0i 11708 . . . . . 6 (0 ≤ (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2))
9088, 89sylib 217 . . . . 5 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2))
9145resqcli 14090 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ
9245sqge0i 14092 . . . . . . . 8 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)
9391, 92pm3.2i 471 . . . . . . 7 (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2))
9443, 83, 933pm3.2i 1339 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)))
95 lemul1a 12009 . . . . . 6 ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9694, 95mpan 688 . . . . 5 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9790, 96syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9838, 46sqmuli 14088 . . . 4 (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2))
9997, 98breqtrrdi 5147 . . 3 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2))
100 sii1.z . . . . 5 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
10143, 91mulge0i 11702 . . . . 5 ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)))
102100, 92, 101mp2an 690 . . . 4 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))
10337, 45remulcli 11171 . . . . 5 ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) ∈ ℝ
104103sqge0i 14092 . . . 4 0 ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)
10543, 91remulcli 11171 . . . . 5 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106103resqcli 14090 . . . . 5 (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ∈ ℝ
107105, 106sqrtlei 15273 . . . 4 ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2))))
108102, 104, 107mp2an 690 . . 3 (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)))
10999, 108sylib 217 . 2 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)))
1101, 18dipcl 29654 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
1114, 5, 8, 110mp3an 1461 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
1126, 111mulcomi 11163 . . . . 5 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113112oveq1i 7367 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁𝐵)↑2))
11491recni 11169 . . . . 5 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
115111, 6, 114mulassi 11166 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
116113, 115eqtri 2764 . . 3 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
117116fveq2i 6845 . 2 (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
1181, 2nvge0 29615 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
1194, 5, 118mp2an 690 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐴)
1201, 2nvge0 29615 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
1214, 8, 120mp2an 690 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐵)
12237, 45mulge0i 11702 . . . 4 ((0 ≤ (𝑁𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
123119, 121, 122mp2an 690 . . 3 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
124103sqrtsqi 15259 . . 3 (0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) → (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
126109, 117, 1253brtr3g 5138 1 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208  cexp 13967  ccj 14981  csqrt 15118  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  𝑣 cnsb 29531  normCVcnmcv 29532  ·𝑖OLDcdip 29642  CPreHilOLDccphlo 29754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ph 29755
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