siilem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem siilem1 30830

Description: Lemma for sii 30833. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
sii1.3	⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
sii1.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
sii1.c	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r	⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z	⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
siilem1	⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

**Proof of Theorem siilem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		siii.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		siii.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
3		siii.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
4	3	phnvi 30795	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		siii.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		sii1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	6	cjcli 15111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8		siii.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		sii1.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
10	1, 9	nvscl 30605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
11	4, 7, 8, 10	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12		sii1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
13	1, 12	nvmcl 30625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
14	4, 5, 11, 13	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
15	1, 2, 4, 14	nvcli 30641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
16	15	sqge0i 14129	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
17	14, 5, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18		siii.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
19	1, 12, 18	dipsubdi 30828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
20	3, 17, 19	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
21	1, 2, 18	ipidsq 30689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
22	4, 14, 21	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
23	7, 8, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 9, 18	dipass 30824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
25	3, 23, 24	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
26	8, 6, 8	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
27	1, 9, 18	dipassr2 30826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
28	3, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
29	1, 2, 18	ipidsq 30689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
30	4, 8, 29	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
31	30	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
32	28, 31	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	32	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
34	25, 33	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
35	34	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
36	35	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
37	1, 2, 4, 5	nvcli 30641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
38	37	recni 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ
39	38	sqcli 14122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
40	1, 18	dipcl 30691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
41	4, 8, 5, 40	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
42	7, 41	mulcli 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43		sii1.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
44	43	recni 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
45	1, 2, 4, 8	nvcli 30641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
46	45	recni 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
47	46	sqcli 14122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
48	6, 47	mulcli 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
49	7, 48	mulcli 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50		sub4 11443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))))
51	39, 42, 44, 49, 50	mp4an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
52	36, 51	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
53	5, 11, 5	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
54	1, 12, 18	dipsubdir 30827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
55	3, 53, 54	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
56	1, 2, 18	ipidsq 30689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
57	4, 5, 56	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
58	7, 8, 5	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
59	1, 9, 18	dipass 30824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
60	3, 58, 59	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
61	57, 60	oveq12i 7381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
62	55, 61	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
63	5, 11, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
64	1, 12, 18	dipsubdir 30827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
65	3, 63, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
66	5, 6, 8	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
67	1, 9, 18	dipassr2 30826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	3, 66, 67	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
69	68	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
70	65, 69	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
71	62, 70	oveq12i 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
72	7, 41, 48	subdii 11603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	72	oveq2i 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
74	52, 71, 73	3eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
75	20, 22, 74	3eqtr3i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
76	16, 75	breqtri 5127	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
77	41, 48	subeq0i 11478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
78		oveq2 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
79	7	mul01i 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · 0) = 0
80	78, 79	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
81	77, 80	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
82	81	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
83	37	resqcli 14127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
85	84, 44	subcli 11474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
86	85	subid1i 11470	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
87	82, 86	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
88	76, 87	breqtrid 5139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
89	83, 43	subge0i 11707	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
90	88, 89	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
91	45	resqcli 14127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
92	45	sqge0i 14129	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)
93	91, 92	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))
94	43, 83, 93	3pm3.2i 1340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)))
95		lemul1a 12012	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
96	94, 95	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
97	90, 96	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
98	38, 46	sqmuli 14125	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
99	97, 98	breqtrrdi 5144	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))
100		sii1.z	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
101	43, 91	mulge0i 11701	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
102	100, 92, 101	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
103	37, 45	remulcli 11166	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ
104	103	sqge0i 14129	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)
105	43, 91	remulcli 11166	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106	103	resqcli 14127	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ∈ ℝ
107	105, 106	sqrtlei 15331	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))))
108	102, 104, 107	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
109	99, 108	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
110	1, 18	dipcl 30691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
111	4, 5, 8, 110	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
112	6, 111	mulcomi 11158	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113	112	oveq1i 7379	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
114	91	recni 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
115	111, 6, 114	mulassi 11161	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
116	113, 115	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
117	116	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
118	1, 2	nvge0 30652	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
119	4, 5, 118	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
120	1, 2	nvge0 30652	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
121	4, 8, 120	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
122	37, 45	mulge0i 11701	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
123	119, 121, 122	mp2an 692	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
124	103	sqrtsqi 15317	. . 3 ⊢ (0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) → (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
126	109, 117, 125	3brtr3g 5135	1 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5102 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 · cmul 11049 ≤ cle 11185 − cmin 11381 2c2 12217 ↑cexp 14002 ∗ccj 15038 √csqrt 15175 NrmCVeccnv 30563 BaseSetcba 30565 ·_𝑠OLD cns 30566 −_𝑣 cnsb 30568 norm_CVcnmcv 30569 ·_𝑖OLDcdip 30679 CPreHil_OLDccphlo 30791

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9570 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123 ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-er 8648 df-map 8778 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-seq 13943 df-exp 14003 df-hash 14272 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-clim 15430 df-sum 15629 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18549 df-sgrp 18628 df-mnd 18644 df-submnd 18693 df-mulg 18982 df-cntz 19231 df-cmn 19696 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-mopn 21292 df-cnfld 21297 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22866 df-cld 22939 df-ntr 22940 df-cls 22941 df-cn 23147 df-cnp 23148 df-t1 23234 df-haus 23235 df-tx 23482 df-hmeo 23675 df-xms 24241 df-ms 24242 df-tms 24243 df-grpo 30472 df-gid 30473 df-ginv 30474 df-gdiv 30475 df-ablo 30524 df-vc 30538 df-nv 30571 df-va 30574 df-ba 30575 df-sm 30576 df-0v 30577 df-vs 30578 df-nmcv 30579 df-ims 30580 df-dip 30680 df-ph 30792

This theorem is referenced by: siilem2 30831

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