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Theorem siilem1 31055

Description: Lemma for sii 31058. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
sii1.3	⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
sii1.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
sii1.c	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r	⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z	⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
siilem1	⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

**Proof of Theorem siilem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		siii.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		siii.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
3		siii.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
4	3	phnvi 31020	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		siii.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		sii1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	6	cjcli 15197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8		siii.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		sii1.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
10	1, 9	nvscl 30830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
11	4, 7, 8, 10	mp3an 1483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12		sii1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
13	1, 12	nvmcl 30850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
14	4, 5, 11, 13	mp3an 1483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
15	1, 2, 4, 14	nvcli 30866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
16	15	sqge0i 14202	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
17	14, 5, 11	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18		siii.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
19	1, 12, 18	dipsubdi 31053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
20	3, 17, 19	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
21	1, 2, 18	ipidsq 30914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
22	4, 14, 21	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
23	7, 8, 11	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 9, 18	dipass 31049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
25	3, 23, 24	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
26	8, 6, 8	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
27	1, 9, 18	dipassr2 31051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
28	3, 26, 27	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
29	1, 2, 18	ipidsq 30914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
30	4, 8, 29	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
31	30	oveq2i 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
32	28, 31	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	32	oveq2i 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
34	25, 33	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
35	34	oveq2i 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
36	35	oveq2i 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
37	1, 2, 4, 5	nvcli 30866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
38	37	recni 11197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ
39	38	sqcli 14195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
40	1, 18	dipcl 30916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
41	4, 8, 5, 40	mp3an 1483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
42	7, 41	mulcli 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43		sii1.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
44	43	recni 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
45	1, 2, 4, 8	nvcli 30866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
46	45	recni 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
47	46	sqcli 14195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
48	6, 47	mulcli 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
49	7, 48	mulcli 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50		sub4 11477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))))
51	39, 42, 44, 49, 50	mp4an 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
52	36, 51	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
53	5, 11, 5	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
54	1, 12, 18	dipsubdir 31052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
55	3, 53, 54	mp2an 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
56	1, 2, 18	ipidsq 30914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
57	4, 5, 56	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
58	7, 8, 5	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
59	1, 9, 18	dipass 31049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
60	3, 58, 59	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
61	57, 60	oveq12i 7409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
62	55, 61	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
63	5, 11, 11	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
64	1, 12, 18	dipsubdir 31052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
65	3, 63, 64	mp2an 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
66	5, 6, 8	3pm3.2i 1354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
67	1, 9, 18	dipassr2 31051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	3, 66, 67	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
69	68	oveq1i 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
70	65, 69	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
71	62, 70	oveq12i 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
72	7, 41, 48	subdii 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	72	oveq2i 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
74	52, 71, 73	3eqtr4i 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
75	20, 22, 74	3eqtr3i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
76	16, 75	breqtri 5126	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
77	41, 48	subeq0i 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
78		oveq2 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
79	7	mul01i 11374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · 0) = 0
80	78, 79	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
81	77, 80	sylbir 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
82	81	oveq2d 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
83	37	resqcli 14200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
85	84, 44	subcli 11508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
86	85	subid1i 11504	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
87	82, 86	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
88	76, 87	breqtrid 5138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
89	83, 43	subge0i 11741	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
90	88, 89	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
91	45	resqcli 14200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
92	45	sqge0i 14202	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)
93	91, 92	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))
94	43, 83, 93	3pm3.2i 1354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)))
95		lemul1a 12046	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
96	94, 95	mpan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
97	90, 96	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
98	38, 46	sqmuli 14198	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
99	97, 98	breqtrrdi 5143	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))
100		sii1.z	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
101	43, 91	mulge0i 11735	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
102	100, 92, 101	mp2an 702	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
103	37, 45	remulcli 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ
104	103	sqge0i 14202	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)
105	43, 91	remulcli 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106	103	resqcli 14200	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ∈ ℝ
107	105, 106	sqrtlei 15417	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))))
108	102, 104, 107	mp2an 702	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
109	99, 108	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
110	1, 18	dipcl 30916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
111	4, 5, 8, 110	mp3an 1483	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
112	6, 111	mulcomi 11191	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113	112	oveq1i 7407	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
114	91	recni 11197	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
115	111, 6, 114	mulassi 11194	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
116	113, 115	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
117	116	fveq2i 6871	. 2 ⊢ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
118	1, 2	nvge0 30877	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
119	4, 5, 118	mp2an 702	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
120	1, 2	nvge0 30877	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
121	4, 8, 120	mp2an 702	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
122	37, 45	mulge0i 11735	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
123	119, 121, 122	mp2an 702	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
124	103	sqrtsqi 15403	. . 3 ⊢ (0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) → (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
126	109, 117, 125	3brtr3g 5134	1 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1099 = wceq 1561 ∈ wcel 2143 class class class wbr 5101 ‘cfv 6522 (class class class)co 7397 ℂcc 11072 ℝcr 11073 0cc0 11074 · cmul 11079 ≤ cle 11218 − cmin 11415 2c2 12273 ↑cexp 14075 ∗ccj 15124 √csqrt 15261 NrmCVeccnv 30788 BaseSetcba 30790 ·_𝑠OLD cns 30791 −_𝑣 cnsb 30793 norm_CVcnmcv 30794 ·_𝑖OLDcdip 30904 CPreHil_OLDccphlo 31016

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1816 ax-4 1830 ax-5 1931 ax-6 1988 ax-7 2029 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5228 ax-sep 5247 ax-nul 5257 ax-pow 5323 ax-pr 5391 ax-un 7719 ax-inf2 9597 ax-cnex 11130 ax-resscn 11131 ax-1cn 11132 ax-icn 11133 ax-addcl 11134 ax-addrcl 11135 ax-mulcl 11136 ax-mulrcl 11137 ax-mulcom 11138 ax-addass 11139 ax-mulass 11140 ax-distr 11141 ax-i2m1 11142 ax-1ne0 11143 ax-1rid 11144 ax-rnegex 11145 ax-rrecex 11146 ax-cnre 11147 ax-pre-lttri 11148 ax-pre-lttrn 11149 ax-pre-ltadd 11150 ax-pre-mulgt0 11151 ax-pre-sup 11152 ax-addf 11153 ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1100 df-3an 1101 df-tru 1564 df-fal 1574 df-ex 1801 df-nf 1805 df-sb 2092 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4584 df-pr 4586 df-tp 4588 df-op 4590 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-iin 4953 df-br 5102 df-opab 5164 df-mpt 5183 df-tr 5209 df-id 5543 df-eprel 5548 df-po 5556 df-so 5557 df-fr 5601 df-se 5602 df-we 5603 df-xp 5654 df-rel 5655 df-cnv 5656 df-co 5657 df-dm 5658 df-rn 5659 df-res 5660 df-ima 5661 df-pred 6289 df-ord 6350 df-on 6351 df-lim 6352 df-suc 6353 df-iota 6478 df-fun 6524 df-fn 6525 df-f 6526 df-f1 6527 df-fo 6528 df-f1o 6529 df-fv 6530 df-isom 6531 df-riota 7354 df-ov 7400 df-oprab 7401 df-mpo 7402 df-of 7661 df-om 7848 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8142 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8382 df-1o 8438 df-2o 8439 df-er 8679 df-map 8811 df-ixp 8881 df-en 8929 df-dom 8930 df-sdom 8931 df-fin 8932 df-fsupp 9309 df-fi 9358 df-sup 9389 df-inf 9390 df-oi 9459 df-card 9898 df-pnf 11219 df-mnf 11220 df-xr 11221 df-ltxr 11222 df-le 11223 df-sub 11417 df-neg 11418 df-div 11846 df-nn 12212 df-2 12281 df-3 12282 df-4 12283 df-5 12284 df-6 12285 df-7 12286 df-8 12287 df-9 12288 df-n0 12483 df-z 12570 df-dec 12690 df-uz 12841 df-q 12951 df-rp 12995 df-xneg 13115 df-xadd 13116 df-xmul 13117 df-ioo 13354 df-icc 13357 df-fz 13514 df-fzo 13661 df-seq 14016 df-exp 14076 df-hash 14345 df-cj 15127 df-re 15128 df-im 15129 df-sqrt 15263 df-abs 15264 df-clim 15516 df-sum 15715 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17247 df-ress 17268 df-plusg 17300 df-mulr 17301 df-starv 17302 df-sca 17303 df-vsca 17304 df-ip 17305 df-tset 17306 df-ple 17307 df-ds 17309 df-unif 17310 df-hom 17311 df-cco 17312 df-rest 17452 df-topn 17453 df-0g 17471 df-gsum 17472 df-topgen 17473 df-pt 17474 df-prds 17477 df-xrs 17533 df-qtop 17538 df-imas 17539 df-xps 17541 df-mre 17615 df-mrc 17616 df-acs 17618 df-mgm 18675 df-sgrp 18754 df-mnd 18770 df-submnd 18819 df-mulg 19111 df-cntz 19358 df-cmn 19823 df-psmet 21417 df-xmet 21418 df-met 21419 df-bl 21420 df-mopn 21421 df-cnfld 21426 df-top 22955 df-topon 22972 df-topsp 22994 df-bases 23007 df-cld 23080 df-ntr 23081 df-cls 23082 df-cn 23288 df-cnp 23289 df-t1 23375 df-haus 23376 df-tx 23623 df-hmeo 23816 df-xms 24381 df-ms 24382 df-tms 24383 df-grpo 30697 df-gid 30698 df-ginv 30699 df-gdiv 30700 df-ablo 30749 df-vc 30763 df-nv 30796 df-va 30799 df-ba 30800 df-sm 30801 df-0v 30802 df-vs 30803 df-nmcv 30804 df-ims 30805 df-dip 30905 df-ph 31017

This theorem is referenced by: siilem2 31056

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