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Theorem siilem1 28620
 Description: Lemma for sii 28623. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
siii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴𝑋
siii.b 𝐵𝑋
sii1.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sii1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
sii1.c 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
Assertion
Ref Expression
siilem1 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 siii.6 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28585 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑋
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ∈ ℂ
76cjcli 14520 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝑋
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
101, 9nvscl 28395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
114, 7, 8, 10mp3an 1454 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
131, 12nvmcl 28415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
144, 5, 11, 13mp3an 1454 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
151, 2, 4, 14nvcli 28431 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
1615sqge0i 13543 . . . . . . . 8 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
1714, 5, 113pm3.2i 1333 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
191, 12, 18dipsubdi 28618 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
203, 17, 19mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
211, 2, 18ipidsq 28479 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
224, 14, 21mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
237, 8, 113pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
241, 9, 18dipass 28614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
253, 23, 24mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
268, 6, 83pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
271, 9, 18dipassr2 28616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
283, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
291, 2, 18ipidsq 28479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2))
304, 8, 29mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2)
3130oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))
3228, 31eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))
3332oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
3425, 33eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
3534oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
3635oveq2i 7159 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
371, 2, 4, 5nvcli 28431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝐴) ∈ ℝ
3837recni 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝐴) ∈ ℂ
3938sqcli 13536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ
401, 18dipcl 28481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
414, 8, 5, 40mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
427, 41mulcli 10640 . . . . . . . . . . . 12 ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
4443recni 10647 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
451, 2, 4, 8nvcli 28431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
4645recni 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
4746sqcli 13536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
486, 47mulcli 10640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ
497, 48mulcli 10640 . . . . . . . . . . . 12 ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50 sub4 10923 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))))
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
5236, 51eqtri 2842 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
535, 11, 53pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋)
541, 12, 18dipsubdir 28617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
553, 53, 54mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
561, 2, 18ipidsq 28479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
574, 5, 56mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2)
587, 8, 53pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)
591, 9, 18dipass 28614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
603, 58, 59mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
6157, 60oveq12i 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
6255, 61eqtri 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
635, 11, 113pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
641, 12, 18dipsubdir 28617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
653, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
665, 6, 83pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
671, 9, 18dipassr2 28616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
683, 66, 67mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
6968oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
7065, 69eqtri 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
7162, 70oveq12i 7160 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
727, 41, 48subdii 11081 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
7372oveq2i 7159 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7452, 71, 733eqtr4i 2852 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7520, 22, 743eqtr3i 2850 . . . . . . . 8 ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7616, 75breqtri 5082 . . . . . . 7 0 ≤ ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7741, 48subeq0i 10958 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
78 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
797mul01i 10822 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶) · 0) = 0
8078, 79syl6eq 2870 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = 0)
8177, 80sylbir 237 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = 0)
8281oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
8337resqcli 13541 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ
8483recni 10647 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ
8584, 44subcli 10954 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
8685subid1i 10950 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
8782, 86syl6eq 2870 . . . . . . 7 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8876, 87breqtrid 5094 . . . . . 6 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8983, 43subge0i 11185 . . . . . 6 (0 ≤ (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2))
9088, 89sylib 220 . . . . 5 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2))
9145resqcli 13541 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ
9245sqge0i 13543 . . . . . . . 8 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)
9391, 92pm3.2i 473 . . . . . . 7 (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2))
9443, 83, 933pm3.2i 1333 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)))
95 lemul1a 11486 . . . . . 6 ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9694, 95mpan 688 . . . . 5 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9790, 96syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9838, 46sqmuli 13539 . . . 4 (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2))
9997, 98breqtrrdi 5099 . . 3 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2))
100 sii1.z . . . . 5 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
10143, 91mulge0i 11179 . . . . 5 ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)))
102100, 92, 101mp2an 690 . . . 4 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))
10337, 45remulcli 10649 . . . . 5 ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) ∈ ℝ
104103sqge0i 13543 . . . 4 0 ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)
10543, 91remulcli 10649 . . . . 5 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106103resqcli 13541 . . . . 5 (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ∈ ℝ
107105, 106sqrtlei 14740 . . . 4 ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2))))
108102, 104, 107mp2an 690 . . 3 (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)))
10999, 108sylib 220 . 2 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)))
1101, 18dipcl 28481 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
1114, 5, 8, 110mp3an 1454 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
1126, 111mulcomi 10641 . . . . 5 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113112oveq1i 7158 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁𝐵)↑2))
11491recni 10647 . . . . 5 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
115111, 6, 114mulassi 10644 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
116113, 115eqtri 2842 . . 3 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
117116fveq2i 6666 . 2 (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
1181, 2nvge0 28442 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
1194, 5, 118mp2an 690 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐴)
1201, 2nvge0 28442 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
1214, 8, 120mp2an 690 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐵)
12237, 45mulge0i 11179 . . . 4 ((0 ≤ (𝑁𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
123119, 121, 122mp2an 690 . . 3 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
124103sqrtsqi 14726 . . 3 (0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) → (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
126109, 117, 1253brtr3g 5090 1 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534   ≤ cle 10668   − cmin 10862  2c2 11684  ↑cexp 13421  ∗ccj 14447  √csqrt 14584  NrmCVeccnv 28353  BaseSetcba 28355   ·𝑠OLD cns 28356   −𝑣 cnsb 28358  normCVcnmcv 28359  ·𝑖OLDcdip 28469  CPreHilOLDccphlo 28581 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-t1 21914  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-dip 28470  df-ph 28582 This theorem is referenced by:  siilem2  28621
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