Theorem siilem1 30371

Description: Lemma for sii 30374. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
sii1.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sii1.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
sii1.c	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r	⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z	⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))

Assertion

Ref	Expression
siilem1	⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem siilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		siii.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		siii.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3		siii.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		siii.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		sii1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	6	cjcli 15120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8		siii.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		sii1.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
10	1, 9	nvscl 30146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
11	4, 7, 8, 10	mp3an 1459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12		sii1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
13	1, 12	nvmcl 30166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
14	4, 5, 11, 13	mp3an 1459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
15	1, 2, 4, 14	nvcli 30182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
16	15	sqge0i 14156	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
17	14, 5, 11	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18		siii.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
19	1, 12, 18	dipsubdi 30369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
20	3, 17, 19	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
21	1, 2, 18	ipidsq 30230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
22	4, 14, 21	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
23	7, 8, 11	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 9, 18	dipass 30365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
25	3, 23, 24	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
26	8, 6, 8	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
27	1, 9, 18	dipassr2 30367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
28	3, 26, 27	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
29	1, 2, 18	ipidsq 30230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
30	4, 8, 29	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
31	30	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
32	28, 31	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	32	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
34	25, 33	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
35	34	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
36	35	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
37	1, 2, 4, 5	nvcli 30182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
38	37	recni 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ
39	38	sqcli 14149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
40	1, 18	dipcl 30232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
41	4, 8, 5, 40	mp3an 1459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
42	7, 41	mulcli 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43		sii1.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
44	43	recni 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
45	1, 2, 4, 8	nvcli 30182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
46	45	recni 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
47	46	sqcli 14149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
48	6, 47	mulcli 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
49	7, 48	mulcli 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50		sub4 11509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))))
51	39, 42, 44, 49, 50	mp4an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
52	36, 51	eqtri 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
53	5, 11, 5	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
54	1, 12, 18	dipsubdir 30368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
55	3, 53, 54	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
56	1, 2, 18	ipidsq 30230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
57	4, 5, 56	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
58	7, 8, 5	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
59	1, 9, 18	dipass 30365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
60	3, 58, 59	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
61	57, 60	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
62	55, 61	eqtri 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
63	5, 11, 11	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
64	1, 12, 18	dipsubdir 30368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
65	3, 63, 64	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
66	5, 6, 8	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
67	1, 9, 18	dipassr2 30367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	3, 66, 67	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
69	68	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
70	65, 69	eqtri 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
71	62, 70	oveq12i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
72	7, 41, 48	subdii 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	72	oveq2i 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
74	52, 71, 73	3eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
75	20, 22, 74	3eqtr3i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
76	16, 75	breqtri 5172	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
77	41, 48	subeq0i 11544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
78		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
79	7	mul01i 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · 0) = 0
80	78, 79	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
81	77, 80	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
82	81	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
83	37	resqcli 14154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
85	84, 44	subcli 11540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
86	85	subid1i 11536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
87	82, 86	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
88	76, 87	breqtrid 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
89	83, 43	subge0i 11771	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
90	88, 89	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
91	45	resqcli 14154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
92	45	sqge0i 14156	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)
93	91, 92	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))
94	43, 83, 93	3pm3.2i 1337	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)))
95		lemul1a 12072	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
96	94, 95	mpan 686	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
97	90, 96	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
98	38, 46	sqmuli 14152	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
99	97, 98	breqtrrdi 5189	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))
100		sii1.z	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
101	43, 91	mulge0i 11765	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
102	100, 92, 101	mp2an 688	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
103	37, 45	remulcli 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ
104	103	sqge0i 14156	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)
105	43, 91	remulcli 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106	103	resqcli 14154	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ∈ ℝ
107	105, 106	sqrtlei 15339	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))))
108	102, 104, 107	mp2an 688	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
109	99, 108	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
110	1, 18	dipcl 30232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
111	4, 5, 8, 110	mp3an 1459	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
112	6, 111	mulcomi 11226	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113	112	oveq1i 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
114	91	recni 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
115	111, 6, 114	mulassi 11229	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
116	113, 115	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
117	116	fveq2i 6893	. 2 ⊢ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
118	1, 2	nvge0 30193	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
119	4, 5, 118	mp2an 688	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
120	1, 2	nvge0 30193	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
121	4, 8, 120	mp2an 688	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
122	37, 45	mulge0i 11765	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
123	119, 121, 122	mp2an 688	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
124	103	sqrtsqi 15325	. . 3 ⊢ (0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) → (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
126	109, 117, 125	3brtr3g 5180	1 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   ≤ cle 11253   − cmin 11448  2c2 12271  ↑cexp 14031  ∗ccj 15047  √csqrt 15184  NrmCVeccnv 30104  BaseSetcba 30106   ·_𝑠OLD cns 30107   −_𝑣 cnsb 30109  norm_CVcnmcv 30110  ·_𝑖OLDcdip 30220  CPreHil_OLDccphlo 30332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-t1 23038  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ph 30333

This theorem is referenced by:  siilem2  30372