siilem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem siilem1 30928

Description: Lemma for sii 30931. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
sii1.3	⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
sii1.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
sii1.c	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r	⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z	⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
siilem1	⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

**Proof of Theorem siilem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		siii.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		siii.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
3		siii.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
4	3	phnvi 30893	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		siii.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		sii1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	6	cjcli 15094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8		siii.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		sii1.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
10	1, 9	nvscl 30703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
11	4, 7, 8, 10	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12		sii1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
13	1, 12	nvmcl 30723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
14	4, 5, 11, 13	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
15	1, 2, 4, 14	nvcli 30739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
16	15	sqge0i 14113	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
17	14, 5, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18		siii.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
19	1, 12, 18	dipsubdi 30926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
20	3, 17, 19	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
21	1, 2, 18	ipidsq 30787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
22	4, 14, 21	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
23	7, 8, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 9, 18	dipass 30922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
25	3, 23, 24	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
26	8, 6, 8	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
27	1, 9, 18	dipassr2 30924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
28	3, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
29	1, 2, 18	ipidsq 30787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
30	4, 8, 29	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
31	30	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
32	28, 31	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	32	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
34	25, 33	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
35	34	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
36	35	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
37	1, 2, 4, 5	nvcli 30739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
38	37	recni 11148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ
39	38	sqcli 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
40	1, 18	dipcl 30789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
41	4, 8, 5, 40	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
42	7, 41	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43		sii1.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
44	43	recni 11148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
45	1, 2, 4, 8	nvcli 30739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
46	45	recni 11148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
47	46	sqcli 14106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
48	6, 47	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
49	7, 48	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50		sub4 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))))
51	39, 42, 44, 49, 50	mp4an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
52	36, 51	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
53	5, 11, 5	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
54	1, 12, 18	dipsubdir 30925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
55	3, 53, 54	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
56	1, 2, 18	ipidsq 30787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
57	4, 5, 56	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
58	7, 8, 5	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
59	1, 9, 18	dipass 30922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
60	3, 58, 59	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
61	57, 60	oveq12i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
62	55, 61	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
63	5, 11, 11	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
64	1, 12, 18	dipsubdir 30925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
65	3, 63, 64	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
66	5, 6, 8	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
67	1, 9, 18	dipassr2 30924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	3, 66, 67	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
69	68	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
70	65, 69	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
71	62, 70	oveq12i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
72	7, 41, 48	subdii 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	72	oveq2i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
74	52, 71, 73	3eqtr4i 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
75	20, 22, 74	3eqtr3i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
76	16, 75	breqtri 5123	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
77	41, 48	subeq0i 11463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
78		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
79	7	mul01i 11325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · 0) = 0
80	78, 79	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
81	77, 80	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
82	81	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
83	37	resqcli 14111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 11148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
85	84, 44	subcli 11459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
86	85	subid1i 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
87	82, 86	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
88	76, 87	breqtrid 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
89	83, 43	subge0i 11692	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
90	88, 89	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
91	45	resqcli 14111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
92	45	sqge0i 14113	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)
93	91, 92	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))
94	43, 83, 93	3pm3.2i 1340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)))
95		lemul1a 11997	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
96	94, 95	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
97	90, 96	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
98	38, 46	sqmuli 14109	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
99	97, 98	breqtrrdi 5140	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))
100		sii1.z	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
101	43, 91	mulge0i 11686	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
102	100, 92, 101	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
103	37, 45	remulcli 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ
104	103	sqge0i 14113	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)
105	43, 91	remulcli 11150	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106	103	resqcli 14111	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ∈ ℝ
107	105, 106	sqrtlei 15314	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))))
108	102, 104, 107	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
109	99, 108	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
110	1, 18	dipcl 30789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
111	4, 5, 8, 110	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
112	6, 111	mulcomi 11142	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113	112	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
114	91	recni 11148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
115	111, 6, 114	mulassi 11145	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
116	113, 115	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
117	116	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
118	1, 2	nvge0 30750	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
119	4, 5, 118	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
120	1, 2	nvge0 30750	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
121	4, 8, 120	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
122	37, 45	mulge0i 11686	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
123	119, 121, 122	mp2an 692	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
124	103	sqrtsqi 15300	. . 3 ⊢ (0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) → (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
126	109, 117, 125	3brtr3g 5131	1 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 · cmul 11033 ≤ cle 11169 − cmin 11366 2c2 12202 ↑cexp 13986 ∗ccj 15021 √csqrt 15158 NrmCVeccnv 30661 BaseSetcba 30663 ·_𝑠OLD cns 30664 −_𝑣 cnsb 30666 norm_CVcnmcv 30667 ·_𝑖OLDcdip 30777 CPreHil_OLDccphlo 30889

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9552 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106 ax-addf 11107 ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-map 8767 df-ixp 8838 df-en 8886 df-dom 8887 df-sdom 8888 df-fin 8889 df-fsupp 9267 df-fi 9316 df-sup 9347 df-inf 9348 df-oi 9417 df-card 9853 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12148 df-2 12210 df-3 12211 df-4 12212 df-5 12213 df-6 12214 df-7 12215 df-8 12216 df-9 12217 df-n0 12404 df-z 12491 df-dec 12610 df-uz 12754 df-q 12864 df-rp 12908 df-xneg 13028 df-xadd 13029 df-xmul 13030 df-ioo 13267 df-icc 13270 df-fz 13426 df-fzo 13573 df-seq 13927 df-exp 13987 df-hash 14256 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-clim 15413 df-sum 15612 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17139 df-ress 17160 df-plusg 17192 df-mulr 17193 df-starv 17194 df-sca 17195 df-vsca 17196 df-ip 17197 df-tset 17198 df-ple 17199 df-ds 17201 df-unif 17202 df-hom 17203 df-cco 17204 df-rest 17344 df-topn 17345 df-0g 17363 df-gsum 17364 df-topgen 17365 df-pt 17366 df-prds 17369 df-xrs 17425 df-qtop 17430 df-imas 17431 df-xps 17433 df-mre 17507 df-mrc 17508 df-acs 17510 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-submnd 18711 df-mulg 19000 df-cntz 19248 df-cmn 19713 df-psmet 21303 df-xmet 21304 df-met 21305 df-bl 21306 df-mopn 21307 df-cnfld 21312 df-top 22840 df-topon 22857 df-topsp 22879 df-bases 22892 df-cld 22965 df-ntr 22966 df-cls 22967 df-cn 23173 df-cnp 23174 df-t1 23260 df-haus 23261 df-tx 23508 df-hmeo 23701 df-xms 24266 df-ms 24267 df-tms 24268 df-grpo 30570 df-gid 30571 df-ginv 30572 df-gdiv 30573 df-ablo 30622 df-vc 30636 df-nv 30669 df-va 30672 df-ba 30673 df-sm 30674 df-0v 30675 df-vs 30676 df-nmcv 30677 df-ims 30678 df-dip 30778 df-ph 30890

This theorem is referenced by: siilem2 30929

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