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Theorem siilem1 29213

Description: Lemma for sii 29216. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
siii.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
siii.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
siii.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
siii.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
sii1.3	⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
sii1.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
sii1.c	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r	⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z	⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
siilem1	⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

**Proof of Theorem siilem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		siii.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		siii.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
3		siii.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
4	3	phnvi 29178	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		siii.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		sii1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	6	cjcli 14880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8		siii.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		sii1.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
10	1, 9	nvscl 28988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
11	4, 7, 8, 10	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12		sii1.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = ( −_𝑣 ‘𝑈)
13	1, 12	nvmcl 29008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
14	4, 5, 11, 13	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
15	1, 2, 4, 14	nvcli 29024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
16	15	sqge0i 13905	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
17	14, 5, 11	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18		siii.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
19	1, 12, 18	dipsubdi 29211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
20	3, 17, 19	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
21	1, 2, 18	ipidsq 29072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
22	4, 14, 21	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
23	7, 8, 11	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 9, 18	dipass 29207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
25	3, 23, 24	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
26	8, 6, 8	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
27	1, 9, 18	dipassr2 29209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
28	3, 26, 27	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
29	1, 2, 18	ipidsq 29072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
30	4, 8, 29	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
31	30	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
32	28, 31	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	32	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
34	25, 33	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
35	34	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
36	35	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
37	1, 2, 4, 5	nvcli 29024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ
38	37	recni 10989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ
39	38	sqcli 13898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
40	1, 18	dipcl 29074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
41	4, 8, 5, 40	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
42	7, 41	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43		sii1.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
44	43	recni 10989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
45	1, 2, 4, 8	nvcli 29024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ
46	45	recni 10989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘𝐵) ∈ ℂ
47	46	sqcli 13898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
48	6, 47	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℂ
49	7, 48	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50		sub4 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))))
51	39, 42, 44, 49, 50	mp4an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
52	36, 51	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
53	5, 11, 5	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
54	1, 12, 18	dipsubdir 29210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
55	3, 53, 54	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
56	1, 2, 18	ipidsq 29072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
57	4, 5, 56	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
58	7, 8, 5	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
59	1, 9, 18	dipass 29207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
60	3, 58, 59	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
61	57, 60	oveq12i 7287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
62	55, 61	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
63	5, 11, 11	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
64	1, 12, 18	dipsubdir 29210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
65	3, 63, 64	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
66	5, 6, 8	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)
67	1, 9, 18	dipassr2 29209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHil_OLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
68	3, 66, 67	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
69	68	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
70	65, 69	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
71	62, 70	oveq12i 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
72	7, 41, 48	subdii 11424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
73	72	oveq2i 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
74	52, 71, 73	3eqtr4i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
75	20, 22, 74	3eqtr3i 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
76	16, 75	breqtri 5099	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))))
77	41, 48	subeq0i 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
78		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
79	7	mul01i 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘𝐶) · 0) = 0
80	78, 79	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
81	77, 80	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) = 0)
82	81	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
83	37	resqcli 13903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 10989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℂ
85	84, 44	subcli 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
86	85	subid1i 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
87	82, 86	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))) = (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
88	76, 87	breqtrid 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
89	83, 43	subge0i 11528	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
90	88, 89	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2))
91	45	resqcli 13903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ
92	45	sqge0i 13905	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)
93	91, 92	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))
94	43, 83, 93	3pm3.2i 1338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)))
95		lemul1a 11829	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
96	94, 95	mpan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
97	90, 96	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
98	38, 46	sqmuli 13901	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
99	97, 98	breqtrrdi 5116	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))
100		sii1.z	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
101	43, 91	mulge0i 11522	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁‘𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
102	100, 92, 101	mp2an 689	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
103	37, 45	remulcli 10991	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ
104	103	sqge0i 13905	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)
105	43, 91	remulcli 10991	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106	103	resqcli 13903	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ∈ ℝ
107	105, 106	sqrtlei 15100	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2))))
108	102, 104, 107	mp2an 689	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
109	99, 108	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)))
110	1, 18	dipcl 29074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
111	4, 5, 8, 110	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
112	6, 111	mulcomi 10983	. . . . 5 ⊢ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113	112	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2))
114	91	recni 10989	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐵)↑2) ∈ ℂ
115	111, 6, 114	mulassi 10986	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
116	113, 115	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))
117	116	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2))))
118	1, 2	nvge0 29035	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
119	4, 5, 118	mp2an 689	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐴)
120	1, 2	nvge0 29035	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
121	4, 8, 120	mp2an 689	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)
122	37, 45	mulge0i 11522	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (𝑁‘𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
123	119, 121, 122	mp2an 689	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
124	103	sqrtsqi 15086	. . 3 ⊢ (0 ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) → (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
125	123, 124	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘(((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))↑2)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵))
126	109, 117, 125	3brtr3g 5107	1 ⊢ ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁‘𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 · cmul 10876 ≤ cle 11010 − cmin 11205 2c2 12028 ↑cexp 13782 ∗ccj 14807 √csqrt 14944 NrmCVeccnv 28946 BaseSetcba 28948 ·_𝑠OLD cns 28949 −_𝑣 cnsb 28951 norm_CVcnmcv 28952 ·_𝑖OLDcdip 29062 CPreHil_OLDccphlo 29174

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-map 8617 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-sum 15398 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-mulg 18701 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cld 22170 df-ntr 22171 df-cls 22172 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-t1 22465 df-haus 22466 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-grpo 28855 df-gid 28856 df-ginv 28857 df-gdiv 28858 df-ablo 28907 df-vc 28921 df-nv 28954 df-va 28957 df-ba 28958 df-sm 28959 df-0v 28960 df-vs 28961 df-nmcv 28962 df-ims 28963 df-dip 29063 df-ph 29175

This theorem is referenced by: siilem2 29214

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