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Theorem siilem1 30104
Description: Lemma for sii 30107. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
siii.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
siii.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴 ∈ 𝑋
siii.b 𝐡 ∈ 𝑋
sii1.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
sii1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
sii1.c 𝐢 ∈ β„‚
sii1.r (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
sii1.z 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))
Assertion
Ref Expression
siilem1 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 siii.6 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30069 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ 𝑋
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 ∈ β„‚
76cjcli 15116 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ—β€˜πΆ) ∈ β„‚
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ 𝑋
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
101, 9nvscl 29879 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (βˆ—β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
114, 7, 8, 10mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
131, 12nvmcl 29899 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
144, 5, 11, 13mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) ∈ 𝑋
151, 2, 4, 14nvcli 29915 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) ∈ ℝ
1615sqge0i 14152 . . . . . . . 8 0 ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))↑2)
1714, 5, 113pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
191, 12, 18dipsubdi 30102 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = (((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))))
203, 17, 19mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = (((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))
211, 2, 18ipidsq 29963 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))↑2))
224, 14, 21mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))↑2)
237, 8, 113pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ—β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
241, 9, 18dipass 30098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))))
253, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))
268, 6, 83pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)
271, 9, 18dipassr2 30100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = (𝐢 Β· (𝐡𝑃𝐡)))
283, 26, 27mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = (𝐢 Β· (𝐡𝑃𝐡))
291, 2, 18ipidsq 29963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐡) = ((π‘β€˜π΅)↑2))
304, 8, 29mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐡𝑃𝐡) = ((π‘β€˜π΅)↑2)
3130oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐢 Β· (𝐡𝑃𝐡)) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))
3228, 31eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))
3332oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
3425, 33eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
3534oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
3635oveq2i 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))) βˆ’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))) βˆ’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
371, 2, 4, 5nvcli 29915 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ
3837recni 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚
3938sqcli 14145 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚
401, 18dipcl 29965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
414, 8, 5, 40mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
427, 41mulcli 11221 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) ∈ β„‚
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ
4443recni 11228 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚
451, 2, 4, 8nvcli 29915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ
4645recni 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜π΅) ∈ β„‚
4746sqcli 14145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
486, 47mulcli 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ β„‚
497, 48mulcli 11221 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) ∈ β„‚
50 sub4 11505 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) ∈ β„‚) ∧ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚ ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) ∈ β„‚)) β†’ ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))) βˆ’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))))
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 692 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))) βˆ’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
5236, 51eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))) βˆ’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
535, 11, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
541, 12, 18dipsubdir 30101 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃𝐴)))
553, 53, 54mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃𝐴))
561, 2, 18ipidsq 29963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2))
574, 5, 56mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃𝐴) = ((π‘β€˜π΄)↑2)
587, 8, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ—β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
591, 9, 18dipass 30098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃𝐴) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)))
603, 58, 59mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃𝐴) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))
6157, 60oveq12i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃𝐴) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃𝐴)) = (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)))
6255, 61eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) = (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)))
635, 11, 113pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
641, 12, 18dipsubdir 30101 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = ((𝐴𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))))
653, 63, 64mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = ((𝐴𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))
665, 6, 83pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)
671, 9, 18dipassr2 30100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
683, 66, 67mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))
6968oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))
7065, 69eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)) = ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))
7162, 70oveq12i 7421 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴))) βˆ’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))))
727, 41, 48subdii 11663 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = (((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
7372oveq2i 7420 . . . . . . . . . 10 ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ (((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐡𝑃𝐴)) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
7452, 71, 733eqtr4i 2771 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))𝑃((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
7520, 22, 743eqtr3i 2769 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜(𝐴𝑀((βˆ—β€˜πΆ)𝑆𝐡)))↑2) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
7616, 75breqtri 5174 . . . . . . 7 0 ≀ ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))))
7741, 48subeq0i 11540 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = 0 ↔ (𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
78 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = 0 β†’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· 0))
797mul01i 11404 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ—β€˜πΆ) Β· 0) = 0
8078, 79eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = 0 β†’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = 0)
8177, 80sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) = 0)
8281oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))) = ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ 0))
8337resqcli 14150 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ ℝ
8483recni 11228 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚
8584, 44subcli 11536 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ β„‚
8685subid1i 11532 . . . . . . . 8 ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ 0) = (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
8782, 86eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ ((((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) βˆ’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· ((𝐡𝑃𝐴) βˆ’ (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))) = (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
8876, 87breqtrid 5186 . . . . . 6 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
8983, 43subge0i 11767 . . . . . 6 (0 ≀ (((π‘β€˜π΄)↑2) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ↔ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄)↑2))
9088, 89sylib 217 . . . . 5 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄)↑2))
9145resqcli 14150 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ
9245sqge0i 14152 . . . . . . . 8 0 ≀ ((π‘β€˜π΅)↑2)
9391, 92pm3.2i 472 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((π‘β€˜π΅)↑2))
9443, 83, 933pm3.2i 1340 . . . . . 6 ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ ℝ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((π‘β€˜π΅)↑2)))
95 lemul1a 12068 . . . . . 6 ((((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ ℝ ∧ (((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((π‘β€˜π΅)↑2))) ∧ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄)↑2)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ≀ (((π‘β€˜π΄)↑2) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
9694, 95mpan 689 . . . . 5 ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄)↑2) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ≀ (((π‘β€˜π΄)↑2) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
9790, 96syl 17 . . . 4 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ≀ (((π‘β€˜π΄)↑2) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
9838, 46sqmuli 14148 . . . 4 (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2) = (((π‘β€˜π΄)↑2) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))
9997, 98breqtrrdi 5191 . . 3 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2))
100 sii1.z . . . . 5 0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))
10143, 91mulge0i 11761 . . . . 5 ((0 ≀ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∧ 0 ≀ ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ 0 ≀ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
102100, 92, 101mp2an 691 . . . 4 0 ≀ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))
10337, 45remulcli 11230 . . . . 5 ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)) ∈ ℝ
104103sqge0i 14152 . . . 4 0 ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2)
10543, 91remulcli 11230 . . . . 5 ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∈ ℝ
106103resqcli 14150 . . . . 5 (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2) ∈ ℝ
107105, 106sqrtlei 15335 . . . 4 ((0 ≀ ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ∧ 0 ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2)) β†’ (((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2) ↔ (βˆšβ€˜((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) ≀ (βˆšβ€˜(((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2))))
108102, 104, 107mp2an 691 . . 3 (((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2) ↔ (βˆšβ€˜((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) ≀ (βˆšβ€˜(((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2)))
10999, 108sylib 217 . 2 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) ≀ (βˆšβ€˜(((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2)))
1101, 18dipcl 29965 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
1114, 5, 8, 110mp3an 1462 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
1126, 111mulcomi 11222 . . . . 5 (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· 𝐢)
113112oveq1i 7419 . . . 4 ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐡) Β· 𝐢) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))
11491recni 11228 . . . . 5 ((π‘β€˜π΅)↑2) ∈ β„‚
115111, 6, 114mulassi 11225 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐡) Β· 𝐢) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
116113, 115eqtri 2761 . . 3 ((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))
117116fveq2i 6895 . 2 (βˆšβ€˜((𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2))))
1181, 2nvge0 29926 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
1194, 5, 118mp2an 691 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΄)
1201, 2nvge0 29926 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
1214, 8, 120mp2an 691 . . . 4 0 ≀ (π‘β€˜π΅)
12237, 45mulge0i 11761 . . . 4 ((0 ≀ (π‘β€˜π΄) ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π΅)) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
123119, 121, 122mp2an 691 . . 3 0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
124103sqrtsqi 15321 . . 3 (0 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)) β†’ (βˆšβ€˜(((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (βˆšβ€˜(((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))↑2)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅))
126109, 117, 1253brtr3g 5182 1 ((𝐡𝑃𝐴) = (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴𝑃𝐡) Β· (𝐢 Β· ((π‘β€˜π΅)↑2)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β†‘cexp 14027  βˆ—ccj 15043  βˆšcsqrt 15180  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  Β·π‘–OLDcdip 29953  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ph 30066
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