Theorem nvcl 30717

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30716	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7029	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  ℝcr 11027  NrmCVeccnv 30640  BaseSetcba 30642  norm_CVcnmcv 30646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-vc 30615  df-nv 30648  df-va 30651  df-ba 30652  df-sm 30653  df-0v 30654  df-nmcv 30656

This theorem is referenced by:  nvcli  30718  nvm1  30721  nvpi  30723  nvz0  30724  nvmtri  30727  nvabs  30728  nvge0  30729  nvgt0  30730  nv1  30731  nmcvcn  30751  smcnlem  30753  ipval2lem2  30760  4ipval2  30764  ipidsq  30766  ipnm  30767  ipz  30775  nmosetre  30820  nmooge0  30823  nmoub3i  30829  nmounbi  30832  nmlno0lem  30849  nmblolbii  30855  blocnilem  30860  ipblnfi  30911  ubthlem1  30926  ubthlem2  30927  ubthlem3  30928  minvecolem1  30930  minvecolem2  30931  minvecolem4  30936  minvecolem5  30937  minvecolem6  30938  hlipgt0  30970  htthlem  30973