Theorem nvcl 30755

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30754	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7040	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  ℝcr 11039  NrmCVeccnv 30678  BaseSetcba 30680  norm_CVcnmcv 30684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-nmcv 30694

This theorem is referenced by:  nvcli  30756  nvm1  30759  nvpi  30761  nvz0  30762  nvmtri  30765  nvabs  30766  nvge0  30767  nvgt0  30768  nv1  30769  nmcvcn  30789  smcnlem  30791  ipval2lem2  30798  4ipval2  30802  ipidsq  30804  ipnm  30805  ipz  30813  nmosetre  30858  nmooge0  30861  nmoub3i  30867  nmounbi  30870  nmlno0lem  30887  nmblolbii  30893  blocnilem  30898  ipblnfi  30949  ubthlem1  30964  ubthlem2  30965  ubthlem3  30966  minvecolem1  30968  minvecolem2  30969  minvecolem4  30974  minvecolem5  30975  minvecolem6  30976  hlipgt0  31008  htthlem  31011