MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvcl 29489
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvf.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvf 29488 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7031 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  cr 11046  NrmCVeccnv 29412  BaseSetcba 29414  normCVcnmcv 29418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-nmcv 29428
This theorem is referenced by:  nvcli  29490  nvm1  29493  nvpi  29495  nvz0  29496  nvmtri  29499  nvabs  29500  nvge0  29501  nvgt0  29502  nv1  29503  nmcvcn  29523  smcnlem  29525  ipval2lem2  29532  4ipval2  29536  ipidsq  29538  ipnm  29539  ipz  29547  nmosetre  29592  nmooge0  29595  nmoub3i  29601  nmounbi  29604  nmlno0lem  29621  nmblolbii  29627  blocnilem  29632  ipblnfi  29683  ubthlem1  29698  ubthlem2  29699  ubthlem3  29700  minvecolem1  29702  minvecolem2  29703  minvecolem4  29708  minvecolem5  29709  minvecolem6  29710  hlipgt0  29742  htthlem  29745
  Copyright terms: Public domain W3C validator