Theorem nvcl 29914

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 29913	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7087	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  norm_CVcnmcv 29843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853

This theorem is referenced by:  nvcli  29915  nvm1  29918  nvpi  29920  nvz0  29921  nvmtri  29924  nvabs  29925  nvge0  29926  nvgt0  29927  nv1  29928  nmcvcn  29948  smcnlem  29950  ipval2lem2  29957  4ipval2  29961  ipidsq  29963  ipnm  29964  ipz  29972  nmosetre  30017  nmooge0  30020  nmoub3i  30026  nmounbi  30029  nmlno0lem  30046  nmblolbii  30052  blocnilem  30057  ipblnfi  30108  ubthlem1  30123  ubthlem2  30124  ubthlem3  30125  minvecolem1  30127  minvecolem2  30128  minvecolem4  30133  minvecolem5  30134  minvecolem6  30135  hlipgt0  30167  htthlem  30170