Theorem nvcl 31196

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 31195	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7072	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  ℝcr 11170  NrmCVeccnv 31119  BaseSetcba 31121  norm_CVcnmcv 31125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-nmcv 31135

This theorem is used by:  nvcli  31197  nvm1  31200  nvpi  31202  nvz0  31203  nvmtri  31206  nvabs  31207  nvge0  31208  nvgt0  31209  nv1  31210  nmcvcn  31230  smcnlem  31232  ipval2lem2  31239  4ipval2  31243  ipidsq  31245  ipnm  31246  ipz  31254  nmosetre  31299  nmooge0  31302  nmoub3i  31308  nmounbi  31311  nmlno0lem  31328  nmblolbii  31334  blocnilem  31339  ipblnfi  31390  ubthlem1  31405  ubthlem2  31406  ubthlem3  31407  minvecolem1  31409  minvecolem2  31410  minvecolem4  31415  minvecolem5  31416  minvecolem6  31417  hlipgt0  31449  htthlem  31452