Theorem nvcl 30605

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvf.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvf 30604	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7018	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  NrmCVeccnv 30528  BaseSetcba 30530  norm_CVcnmcv 30534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-nmcv 30544

This theorem is referenced by:  nvcli  30606  nvm1  30609  nvpi  30611  nvz0  30612  nvmtri  30615  nvabs  30616  nvge0  30617  nvgt0  30618  nv1  30619  nmcvcn  30639  smcnlem  30641  ipval2lem2  30648  4ipval2  30652  ipidsq  30654  ipnm  30655  ipz  30663  nmosetre  30708  nmooge0  30711  nmoub3i  30717  nmounbi  30720  nmlno0lem  30737  nmblolbii  30743  blocnilem  30748  ipblnfi  30799  ubthlem1  30814  ubthlem2  30815  ubthlem3  30816  minvecolem1  30818  minvecolem2  30819  minvecolem4  30824  minvecolem5  30825  minvecolem6  30826  hlipgt0  30858  htthlem  30861