MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m 8532
Description: Value of zero raised to an ordinal. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oe0m (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = (1o โˆ– ๐ด))

Proof of Theorem oe0m
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 6417 . . 3 โˆ… โˆˆ On
2 oev 8528 . . 3 ((โˆ… โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = if(โˆ… = โˆ…, (1o โˆ– ๐ด), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo โˆ…)), 1o)โ€˜๐ด)))
31, 2mpan 689 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = if(โˆ… = โˆ…, (1o โˆ– ๐ด), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo โˆ…)), 1o)โ€˜๐ด)))
4 eqid 2727 . . 3 โˆ… = โˆ…
54iftruei 4531 . 2 if(โˆ… = โˆ…, (1o โˆ– ๐ด), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo โˆ…)), 1o)โ€˜๐ด)) = (1o โˆ– ๐ด)
63, 5eqtrdi 2783 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = (1o โˆ– ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โˆ– cdif 3941  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   โ†ฆ cmpt 5225  Oncon0 6363  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  reccrdg 8423  1oc1o 8473   ยทo comu 8478   โ†‘o coe 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oexp 8486
This theorem is referenced by:  oe0m0  8534  oe0m1  8535  cantnflem2  9705  oe0rif  42637
  Copyright terms: Public domain W3C validator