MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m 8517
Description: Value of zero raised to an ordinal. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oe0m (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = (1o โˆ– ๐ด))

Proof of Theorem oe0m
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 6418 . . 3 โˆ… โˆˆ On
2 oev 8513 . . 3 ((โˆ… โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = if(โˆ… = โˆ…, (1o โˆ– ๐ด), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo โˆ…)), 1o)โ€˜๐ด)))
31, 2mpan 688 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = if(โˆ… = โˆ…, (1o โˆ– ๐ด), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo โˆ…)), 1o)โ€˜๐ด)))
4 eqid 2732 . . 3 โˆ… = โˆ…
54iftruei 4535 . 2 if(โˆ… = โˆ…, (1o โˆ– ๐ด), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo โˆ…)), 1o)โ€˜๐ด)) = (1o โˆ– ๐ด)
63, 5eqtrdi 2788 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ด) = (1o โˆ– ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945  โˆ…c0 4322  ifcif 4528   โ†ฆ cmpt 5231  Oncon0 6364  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  reccrdg 8408  1oc1o 8458   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oexp 8471
This theorem is referenced by:  oe0m0  8519  oe0m1  8520  cantnflem2  9684  oe0rif  42025
  Copyright terms: Public domain W3C validator