![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oevn0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero base. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
oevn0 | โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | on0eln0 6419 | . . . . 5 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ๐ด โ โ )) | |
2 | df-ne 2937 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ยฌ ๐ด = โ ) | |
3 | 1, 2 | bitrdi 287 | . . . 4 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ )) |
4 | 3 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ )) |
5 | oev 8528 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด โo ๐ต) = if(๐ด = โ , (1o โ ๐ต), (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) | |
6 | iffalse 4533 | . . . . 5 โข (ยฌ ๐ด = โ โ if(๐ด = โ , (1o โ ๐ต), (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) | |
7 | 5, 6 | sylan9eq 2788 | . . . 4 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง ยฌ ๐ด = โ ) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
8 | 7 | ex 412 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (ยฌ ๐ด = โ โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) |
9 | 4, 8 | sylbid 239 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ด โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) |
10 | 9 | imp 406 | 1 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2936 Vcvv 3470 โ cdif 3942 โ c0 4318 ifcif 4524 โฆ cmpt 5225 Oncon0 6363 โcfv 6542 (class class class)co 7414 reccrdg 8423 1oc1o 8473 ยทo comu 8478 โo coe 8479 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pr 5423 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fv 6550 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-oexp 8486 |
This theorem is referenced by: oe0 8536 oev2 8537 oesuclem 8539 oelim 8548 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |