![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oevn0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero base. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
oevn0 | โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | on0eln0 6411 | . . . . 5 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ๐ด โ โ )) | |
2 | df-ne 2933 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ยฌ ๐ด = โ ) | |
3 | 1, 2 | bitrdi 287 | . . . 4 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ )) |
4 | 3 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ )) |
5 | oev 8510 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด โo ๐ต) = if(๐ด = โ , (1o โ ๐ต), (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) | |
6 | iffalse 4530 | . . . . 5 โข (ยฌ ๐ด = โ โ if(๐ด = โ , (1o โ ๐ต), (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) | |
7 | 5, 6 | sylan9eq 2784 | . . . 4 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง ยฌ ๐ด = โ ) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
8 | 7 | ex 412 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (ยฌ ๐ด = โ โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) |
9 | 4, 8 | sylbid 239 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ด โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) |
10 | 9 | imp 406 | 1 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 Vcvv 3466 โ cdif 3938 โ c0 4315 ifcif 4521 โฆ cmpt 5222 Oncon0 6355 โcfv 6534 (class class class)co 7402 reccrdg 8405 1oc1o 8455 ยทo comu 8460 โo coe 8461 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pr 5418 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fv 6542 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-oexp 8468 |
This theorem is referenced by: oe0 8518 oev2 8519 oesuclem 8521 oelim 8530 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |