![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oevn0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero base. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
oevn0 | โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | on0eln0 6377 | . . . . 5 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ๐ด โ โ )) | |
2 | df-ne 2941 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ยฌ ๐ด = โ ) | |
3 | 1, 2 | bitrdi 287 | . . . 4 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ )) |
4 | 3 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ด โ ยฌ ๐ด = โ )) |
5 | oev 8464 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด โo ๐ต) = if(๐ด = โ , (1o โ ๐ต), (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) | |
6 | iffalse 4499 | . . . . 5 โข (ยฌ ๐ด = โ โ if(๐ด = โ , (1o โ ๐ต), (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) | |
7 | 5, 6 | sylan9eq 2793 | . . . 4 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง ยฌ ๐ด = โ ) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
8 | 7 | ex 414 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (ยฌ ๐ด = โ โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) |
9 | 4, 8 | sylbid 239 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ด โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต))) |
10 | 9 | imp 408 | 1 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 Vcvv 3447 โ cdif 3911 โ c0 4286 ifcif 4490 โฆ cmpt 5192 Oncon0 6321 โcfv 6500 (class class class)co 7361 reccrdg 8359 1oc1o 8409 ยทo comu 8414 โo coe 8415 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fv 6508 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-oexp 8422 |
This theorem is referenced by: oe0 8472 oev2 8473 oesuclem 8475 oelim 8484 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |