MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oevn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oevn0 8529
Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero base. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oevn0 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oevn0
StepHypRef Expression
1 on0eln0 6419 . . . . 5 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
2 df-ne 2937 . . . . 5 (๐ด โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐ด = โˆ…)
31, 2bitrdi 287 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ยฌ ๐ด = โˆ…))
43adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ยฌ ๐ด = โˆ…))
5 oev 8528 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
6 iffalse 4533 . . . . 5 (ยฌ ๐ด = โˆ… โ†’ if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
75, 6sylan9eq 2788 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ยฌ ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
87ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
94, 8sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
109imp 406 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  Vcvv 3470   โˆ– cdif 3942  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   โ†ฆ cmpt 5225  Oncon0 6363  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  reccrdg 8423  1oc1o 8473   ยทo comu 8478   โ†‘o coe 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oexp 8486
This theorem is referenced by:  oe0  8536  oev2  8537  oesuclem  8539  oelim  8548
  Copyright terms: Public domain W3C validator