Theorem ofc2 7685

Description: Right operation by a constant. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
ofc2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ofc2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f 𝑅(𝐴 × {𝐵}))‘𝑋) = (𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem ofc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		ofc2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		fnconstg 6751	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
5		ofc2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4193	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		ofc2.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)
8		fvconst2g 7179	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
9	2, 8	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
10	1, 4, 5, 5, 6, 7, 9	ofval 7667	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f 𝑅(𝐴 × {𝐵}))‘𝑋) = (𝐶𝑅𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656

This theorem is referenced by:  lflvscl  39077  lkrsc  39097  ldualvsval  39138