Theorem ofc1 7537

Description: Left operation by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
ofc1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ofc1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f 𝑅𝐹)‘𝑋) = (𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem ofc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 6646	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
4		ofc1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		ofc1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4149	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		fvconst2g 7059	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
8	1, 7	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
9		ofc1.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)
10	3, 4, 5, 5, 6, 8, 9	ofval 7522	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f 𝑅𝐹)‘𝑋) = (𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511

This theorem is referenced by:  ofnegsub  11901  pwsvscaval  17123  lmhmvsca  20222  psrvscaval  21071  mplvscaval  21130  coe1sclmulfv  21364  mamuvs1  21462  mamuvs2  21463  matvscacell  21493  mdetrsca  21660  mbfmulc2lem  24716  i1fmulclem  24772  itg1mulc  24774  itg2monolem1  24820  uc1pmon1p  25221  coemulc  25321  basellem9  26143  ofdivrec  41833