Theorem fnconstg 6728

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fnconstg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Proof of Theorem fnconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6727	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2	1	ffnd 6669	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {csn 4567   × cxp 5629   Fn wfn 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  fconst2g  7158  ofc1  7659  ofc2  7660  caofid0l  7664  caofid0r  7665  caofid1  7666  caofid2  7667  fnsuppres  8141  fczsupp0  8143  fczfsuppd  9299  brwdom2  9488  cantnf0  9596  ofnegsub  12157  ofsubge0  12158  pwsplusgval  17454  pwsmulrval  17455  pwsvscafval  17458  pwsco1mhm  18800  dprdsubg  20001  pwsmgp  20306  pwssplit1  21054  frlmpwsfi  21732  frlmbas  21735  frlmvscaval  21748  islindf4  21818  psrascl  21957  tmdgsum2  24061  0plef  25639  0pledm  25640  itg1ge0  25653  mbfi1fseqlem5  25686  xrge0f  25698  itg2ge0  25702  itg2addlem  25725  bddibl  25807  dvidlem  25882  rolle  25957  dveq0  25967  dv11cn  25968  tdeglem4  26025  mdeg0  26035  fta1blem  26136  qaa  26289  basellem9  27052  noextendseq  27631  noetainflem4  27704  constcof  32694  fdifsuppconst  32762  elrspunidl  33488  ofcc  34250  ofcof  34251  eulerpartlemt  34515  matunitlindflem1  37937  matunitlindflem2  37938  ptrecube  37941  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem5  37946  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem10  37951  poimirlem11  37952  poimirlem12  37953  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem28  37969  poimirlem29  37970  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  broucube  37975  cnpwstotbnd  38118  eqlkr2  39546  fsuppssind  43026  pwssplit4  43517  mpaaeu  43578  rngunsnply  43597  ofoaid1  43786  ofoaid2  43787  naddcnffo  43792  ofdivrec  44753  dvconstbi  44761  zlmodzxzscm  48833  nelsubclem  49542  aacllem  50276