Theorem fnconstg 6773

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fnconstg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Proof of Theorem fnconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6772	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2	1	ffnd 6713	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  {csn 4594   × cxp 5664   Fn wfn 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is used by:  fconst2g  7208  ofc1  7715  ofc2  7716  caofid0l  7720  caofid0r  7721  caofid1  7722  caofid2  7723  fnsuppres  8196  fczsupp0  8198  fczfsuppd  9356  brwdom2  9545  cantnf0  9654  ofnegsub  12234  ofsubge0  12235  pwsplusgval  17569  pwsmulrval  17570  pwsvscafval  17573  pwsco1mhm  18922  dprdsubg  20127  pwsmgp  20441  pwssplit1  21217  frlmpwsfi  21939  frlmbas  21942  frlmvscaval  21955  islindf4  22025  psrascl  22165  tmdgsum2  24290  0plef  25868  0pledm  25869  itg1ge0  25882  mbfi1fseqlem5  25915  xrge0f  25927  itg2ge0  25931  itg2addlem  25954  bddibl  26036  dvidlem  26111  rolle  26186  dveq0  26196  dv11cn  26197  tdeglem4  26254  mdeg0  26264  fta1blem  26365  qaa  26521  basellem9  27290  noextendseq  27868  noetainflem4  27941  constcof  33003  fdifsuppconst  33071  elrspunidl  33767  ofcc  34527  ofcof  34528  eulerpartlemt  34793  matunitlindflem1  38308  matunitlindflem2  38309  ptrecube  38312  poimirlem1  38313  poimirlem2  38314  poimirlem3  38315  poimirlem4  38316  poimirlem5  38317  poimirlem6  38318  poimirlem7  38319  poimirlem10  38322  poimirlem11  38323  poimirlem12  38324  poimirlem16  38328  poimirlem17  38329  poimirlem19  38331  poimirlem20  38332  poimirlem22  38334  poimirlem23  38335  poimirlem28  38340  poimirlem29  38341  poimirlem31  38343  poimirlem32  38344  broucube  38346  cnpwstotbnd  38489  eqlkr2  39915  fsuppssind  43366  pwssplit4  43857  mpaaeu  43918  rngunsnply  43937  ofoaid1  44126  ofoaid2  44127  naddcnffo  44132  ofdivrec  45077  dvconstbi  45085  sqrtnnaa  47645  sqrtnzqaa  47646  zlmodzxzscm  49178  nelsubclem  49886  aacllem  50662