Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 37962
Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkrsc.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lkrsc.t Β· = (.rβ€˜π·)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrsc.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrsc.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrsc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrsc.e (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) = (πΏβ€˜πΊ))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lkrsc.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
5 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
7 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
9 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
107, 8, 1, 9lflf 37928 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
1211ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
13 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΊβ€˜π‘£))
143, 4, 12, 13ofc2 7696 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑅))
1514eqeq1d 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑅) = 0 ))
16 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π·)
17 lkrsc.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π·)
187lvecdrng 20715 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
215adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
226adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
23 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
247, 8, 1, 9lflcl 37929 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
264adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
27 lkrsc.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  0 )
2827adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 β‰  0 )
298, 16, 17, 20, 25, 26, 28drngmuleq0 20387 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑅) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘£) = 0 ))
3015, 29bitrd 278 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘£) = 0 ))
3130pm5.32da 579 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )))
32 lveclmod 20716 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
335, 32syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
341, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4lflvscl 37942 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
35 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
361, 7, 16, 9, 35ellkr 37954 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹) β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 )))
375, 34, 36syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 )))
381, 7, 16, 9, 35ellkr 37954 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜πΊ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )))
395, 6, 38syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜πΊ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )))
4031, 37, 393bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (πΏβ€˜πΊ)))
4140eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) = (πΏβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  {csn 4628   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  DivRingcdr 20356  LModclmod 20470  LVecclvec 20712  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lvec 20713  df-lfl 37923  df-lkr 37951
This theorem is referenced by:  lkrscss  37963  ldualkrsc  38032
  Copyright terms: Public domain W3C validator