Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 36100
 Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
lkrsc.o 0 = (0g𝐷)
lkrsc.e (𝜑𝑅0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6680 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lkrsc.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
5 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
7 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
8 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
9 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
107, 8, 1, 9lflf 36066 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
1211ffnd 6511 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
13 eqidd 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
143, 4, 12, 13ofc2 7426 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺𝑣) · 𝑅))
1514eqeq1d 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ))
16 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
17 lkrsc.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
187lvecdrng 19799 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ DivRing)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
215adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
226adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐺𝐹)
23 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
247, 8, 1, 9lflcl 36067 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
264adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅𝐾)
27 lkrsc.e . . . . . . 7 (𝜑𝑅0 )
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅0 )
298, 16, 17, 20, 25, 26, 28drngmuleq0 19447 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3015, 29bitrd 280 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3130pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
32 lveclmod 19800 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
335, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
341, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4lflvscl 36080 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
35 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑊)
361, 7, 16, 9, 35ellkr 36092 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
375, 34, 36syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
381, 7, 16, 9, 35ellkr 36092 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
395, 6, 38syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
4031, 37, 393bitr4d 312 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿𝐺)))
4140eqrdv 2823 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3020  Vcvv 3499  {csn 4563   × cxp 5551  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   ∘f cof 7400  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560  0gc0g 16705  DivRingcdr 19424  LModclmod 19556  LVecclvec 19796  LFnlclfn 36060  LKerclk 36088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-drng 19426  df-lmod 19558  df-lvec 19797  df-lfl 36061  df-lkr 36089 This theorem is referenced by:  lkrscss  36101  ldualkrsc  36170
 Copyright terms: Public domain W3C validator