Theorem lkrsc 39973

Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrsc.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lkrsc	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem lkrsc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6893	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lkrsc.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
5		lkrsc.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lkrsc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7		lkrsc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
8		lkrsc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
9		lkrsc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10	7, 8, 1, 9	lflf 39939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11	5, 6, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
12	11	ffnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
13		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
14	3, 4, 12, 13	ofc2 7708	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣) · 𝑅))
15	14	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ))
16		lkrsc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
17		lkrsc.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
18	7	lvecdrng 21292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
19	5, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ DivRing)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
21	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
23		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 1, 9	lflcl 39940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
26	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
27		lkrsc.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
29	8, 16, 17, 20, 25, 26, 28	drngmuleq0 20932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
30	15, 29	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
31	30	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
32		lveclmod 21293	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	5, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4	lflvscl 39953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
35		lkrsc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
36	1, 7, 16, 9, 35	ellkr 39965	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
37	5, 34, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
38	1, 7, 16, 9, 35	ellkr 39965	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
39	5, 6, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
40	31, 37, 39	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺)))
41	40	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {csn 4584   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348  0_gc0g 17527  DivRingcdr 20893  LModclmod 21047  LVecclvec 21289  LFnlclfn 39933  LKerclk 39961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-nzr 20676  df-rlreg 20859  df-domn 20860  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lvec 21290  df-lfl 39934  df-lkr 39962

This theorem is used by:  lkrscss  39974  ldualkrsc  40043