Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 39098
Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
lkrsc.o 0 = (0g𝐷)
lkrsc.e (𝜑𝑅0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lkrsc.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
5 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
7 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
8 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
9 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
107, 8, 1, 9lflf 39064 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
1211ffnd 6737 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
13 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
143, 4, 12, 13ofc2 7726 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺𝑣) · 𝑅))
1514eqeq1d 2739 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ))
16 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
17 lkrsc.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
187lvecdrng 21104 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ DivRing)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
215adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
226adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐺𝐹)
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
247, 8, 1, 9lflcl 39065 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
264adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅𝐾)
27 lkrsc.e . . . . . . 7 (𝜑𝑅0 )
2827adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅0 )
298, 16, 17, 20, 25, 26, 28drngmuleq0 20763 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3015, 29bitrd 279 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3130pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
32 lveclmod 21105 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
335, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
341, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4lflvscl 39078 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
35 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑊)
361, 7, 16, 9, 35ellkr 39090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
375, 34, 36syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
381, 7, 16, 9, 35ellkr 39090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
395, 6, 38syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
4031, 37, 393bitr4d 311 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿𝐺)))
4140eqrdv 2735 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  {csn 4626   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300  0gc0g 17484  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lvec 21102  df-lfl 39059  df-lkr 39087
This theorem is referenced by:  lkrscss  39099  ldualkrsc  39168
  Copyright terms: Public domain W3C validator