Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 37967
Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkrsc.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lkrsc.t Β· = (.rβ€˜π·)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrsc.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrsc.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrsc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrsc.e (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) = (πΏβ€˜πΊ))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lkrsc.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
5 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
7 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
9 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
107, 8, 1, 9lflf 37933 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
115, 6, 10syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
1211ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
13 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΊβ€˜π‘£))
143, 4, 12, 13ofc2 7697 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑅))
1514eqeq1d 2735 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑅) = 0 ))
16 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π·)
17 lkrsc.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π·)
187lvecdrng 20716 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
2019adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
215adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
226adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
23 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
247, 8, 1, 9lflcl 37934 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐾)
264adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
27 lkrsc.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  0 )
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 β‰  0 )
298, 16, 17, 20, 25, 26, 28drngmuleq0 20388 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑅) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘£) = 0 ))
3015, 29bitrd 279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 ↔ (πΊβ€˜π‘£) = 0 ))
3130pm5.32da 580 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )))
32 lveclmod 20717 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
335, 32syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
341, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4lflvscl 37947 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
35 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
361, 7, 16, 9, 35ellkr 37959 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹) β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 )))
375, 34, 36syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘£) = 0 )))
381, 7, 16, 9, 35ellkr 37959 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜πΊ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )))
395, 6, 38syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜πΊ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )))
4031, 37, 393bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (πΏβ€˜πΊ)))
4140eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))) = (πΏβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  {csn 4629   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  LFnlclfn 37927  LKerclk 37955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-lfl 37928  df-lkr 37956
This theorem is referenced by:  lkrscss  37968  ldualkrsc  38037
  Copyright terms: Public domain W3C validator