Theorem lkrsc 39589

Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrsc.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lkrsc	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem lkrsc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6841	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lkrsc.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
5		lkrsc.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lkrsc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7		lkrsc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
8		lkrsc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
9		lkrsc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10	7, 8, 1, 9	lflf 39555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
11	5, 6, 10	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
12	11	ffnd 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
13		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
14	3, 4, 12, 13	ofc2 7649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣) · 𝑅))
15	14	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ))
16		lkrsc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
17		lkrsc.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
18	7	lvecdrng 21095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
19	5, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ DivRing)
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
21	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
22	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
23		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 1, 9	lflcl 39556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
26	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
27		lkrsc.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
29	8, 16, 17, 20, 25, 26, 28	drngmuleq0 20735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
30	15, 29	bitrd 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
31	30	pm5.32da 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
32		lveclmod 21096	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
33	5, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
34	1, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4	lflvscl 39569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
35		lkrsc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
36	1, 7, 16, 9, 35	ellkr 39581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
37	5, 34, 36	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
38	1, 7, 16, 9, 35	ellkr 39581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
39	5, 6, 38	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
40	31, 37, 39	3bitr4d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺)))
41	40	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431  {csn 4555   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  DivRingcdr 20701  LModclmod 20850  LVecclvec 21092  LFnlclfn 39549  LKerclk 39577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20485  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lvec 21093  df-lfl 39550  df-lkr 39578

This theorem is referenced by:  lkrscss  39590  ldualkrsc  39659