Theorem ldualvsval 39637

Description: Value of scalar product operation value for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Proof of Theorem ldualvsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		ldualvs.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 39636	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
12	11	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴))
13		ldualvs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	3, 4, 2, 1	lflf 39562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
17	8, 10, 16	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
18	17	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
19		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
20	15, 9, 18, 19	ofc2 7656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
21	13, 20	mpdan 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
22	12, 21	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  {csn 4562   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  LFnlclfn 39556  LDualcld 39622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-lfl 39557  df-ldual 39623

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  39656  lcfrlem1  42041  lcdvsval  42103