Theorem ldualvsval 40163

Description: Value of scalar product operation value for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Proof of Theorem ldualvsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		ldualvs.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 40162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
12	11	fveq1d 6879	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴))
13		ldualvs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2	fvexi 6891	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	3, 4, 2, 1	lflf 40088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
17	8, 10, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
18	17	ffnd 6702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
19		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
20	15, 9, 18, 19	ofc2 7711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
21	13, 20	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
22	12, 21	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   × cxp 5649  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  LFnlclfn 40082  LDualcld 40148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-lfl 40083  df-ldual 40149

This theorem is used by:  ldualvsubval  40182  lcfrlem1  42567  lcdvsval  42629