Theorem ldualvsval 39116

Description: Value of scalar product operation value for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Proof of Theorem ldualvsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		ldualvs.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 39115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
12	11	fveq1d 6828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴))
13		ldualvs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	3, 4, 2, 1	lflf 39041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
17	8, 10, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
18	17	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
19		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
20	15, 9, 18, 19	ofc2 7646	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
21	13, 20	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
22	12, 21	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579   × cxp 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  LFnlclfn 39035  LDualcld 39101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-lfl 39036  df-ldual 39102

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  39135  lcfrlem1  41521  lcdvsval  41583