Theorem opnlen0 39184

Description: An element not less than another is nonzero. TODO: Look for uses of necon3bd 2954 and op0le 39182 to see if this is useful elsewhere. (Contributed by NM, 5-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opnlen0	⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem opnlen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		op0le.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		op0le.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 39182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑌)
5	4	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑌)
6		breq1 5154	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 0 ≤ 𝑌))
7	5, 6	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 → 𝑋 ≤ 𝑌))
8	7	necon3bd 2954	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋 ≠ 0 ))
9	8	imp 406	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  lecple 17314  0.cp0 18490  OPcops 39168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-glb 18414  df-p0 18492  df-oposet 39172

This theorem is referenced by:  cdlemg12e  40644