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Theorem cdlemg12e 38398
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12e.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12e ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 )

Proof of Theorem cdlemg12e
StepHypRef Expression
1 simp33 1213 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simpl1 1193 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
3 simpl21 1253 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐹𝑇)
4 simpl22 1254 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐺𝑇)
5 simpl23 1255 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑃𝑄)
6 simpl31 1256 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄))
7 simpl32 1257 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
8 cdlemg12.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
9 cdlemg12.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
10 cdlemg12.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg12.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg12.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg12.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg12b.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemg12d 38397 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐺) ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 15syl123anc 1389 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))))
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 )
1817oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))) = ((𝑅𝐹) 0 ))
19 simp11l 1286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2019adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlol 37112 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ OL)
23 simpl11 1250 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2524, 12, 13, 14trlcl 37915 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
2623, 3, 25syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
27 cdlemg12e.z . . . . . . . . . 10 0 = (0.‘𝐾)
2824, 9, 27olj01 36976 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) 0 ) = (𝑅𝐹))
2922, 26, 28syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) 0 ) = (𝑅𝐹))
3018, 29eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄))) = (𝑅𝐹))
3116, 30breqtrd 5079 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐹))
32 hlatl 37111 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ AtLat)
34 hlop 37113 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3520, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝐾 ∈ OP)
3624, 12, 13, 14trlcl 37915 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3723, 4, 36syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
38 simp12l 1288 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
3938adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑃𝐴)
40 simp13l 1290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
4140adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑄𝐴)
4224, 9, 11hlatjcl 37118 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
4424, 8, 27opnlen0 36939 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄)) → (𝑅𝐺) ≠ 0 )
4535, 37, 43, 7, 44syl31anc 1375 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ≠ 0 )
46 simp11r 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑊𝐻)
4746adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → 𝑊𝐻)
4827, 11, 12, 13, 14trlatn0 37923 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐺) ≠ 0 ))
4920, 47, 4, 48syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐺) ≠ 0 ))
5045, 49mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
5124, 8, 27opnlen0 36939 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
5235, 26, 43, 6, 51syl31anc 1375 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
5327, 11, 12, 13, 14trlatn0 37923 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
5420, 47, 3, 53syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
5552, 54mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
568, 11atcmp 37062 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → ((𝑅𝐺) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5733, 50, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → ((𝑅𝐺) (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5831, 57mpbid 235 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5958eqcomd 2743 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 ) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6059ex 416 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) = 0 → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
6160necon3d 2961 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 ))
621, 61mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄) ∧ (¬ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝐹‘(𝐺𝑃)) 𝑃) ((𝐹‘(𝐺𝑄)) 𝑄)) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  meetcmee 17819  0.cp0 17929  OPcops 36923  OLcol 36925  Atomscatm 37014  AtLatcal 37015  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  trLctrl 37909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910
This theorem is referenced by:  cdlemg12g  38400
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