Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg12e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg12e 39216
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12e.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg12e ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) β‰  0 )

Proof of Theorem cdlemg12e
StepHypRef Expression
1 simp33 1211 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
3 simpl21 1251 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpl22 1252 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5 simpl23 1253 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6 simpl31 1254 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
7 simpl32 1255 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
8 cdlemg12.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdlemg12.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemg12b.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemg12d 39215 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄))))
162, 3, 4, 5, 6, 7, 15syl123anc 1387 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄))))
17 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 )
1817oveq2d 7393 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 0 ))
19 simp11l 1284 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 hlol 37929 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝐾 ∈ OL)
23 simpl11 1248 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 12, 13, 14trlcl 38733 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2623, 3, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
27 cdlemg12e.z . . . . . . . . . 10 0 = (0.β€˜πΎ)
2824, 9, 27olj01 37793 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 0 ) = (π‘…β€˜πΉ))
2922, 26, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ 0 ) = (π‘…β€˜πΉ))
3018, 29eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄))) = (π‘…β€˜πΉ))
3116, 30breqtrd 5151 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (π‘…β€˜πΉ))
32 hlatl 37928 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
34 hlop 37930 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
3520, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝐾 ∈ OP)
3624, 12, 13, 14trlcl 38733 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3723, 4, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
38 simp12l 1286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
40 simp13l 1288 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4224, 9, 11hlatjcl 37935 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4424, 8, 27opnlen0 37756 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  0 )
4535, 37, 43, 7, 44syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  0 )
46 simp11r 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
4827, 11, 12, 13, 14trlatn0 38741 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  0 ))
4920, 47, 4, 48syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  0 ))
5045, 49mpbird 256 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
5124, 8, 27opnlen0 37756 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ OP ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
5235, 26, 43, 6, 51syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
5327, 11, 12, 13, 14trlatn0 38741 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))
5420, 47, 3, 53syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))
5552, 54mpbird 256 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
568, 11atcmp 37879 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
5733, 50, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
5831, 57mpbid 231 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ))
5958eqcomd 2737 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
6059ex 413 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) = 0 β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
6160necon3d 2960 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) β‰  0 ))
621, 61mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ 𝑃) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ 𝑄)) β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  lecple 17169  joincjn 18229  meetcmee 18230  0.cp0 18341  OPcops 37740  OLcol 37742  Atomscatm 37831  AtLatcal 37832  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670  trLctrl 38727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-riotaBAD 37521
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-undef 8224  df-map 8789  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068  df-lvols 38069  df-lines 38070  df-psubsp 38072  df-pmap 38073  df-padd 38365  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674  df-trl 38728
This theorem is referenced by:  cdlemg12g  39218
  Copyright terms: Public domain W3C validator