Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0le 37453
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 30091 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
op0le.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
op0le.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
op0le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2736 . 2 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
3 op0le.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 op0le.z . 2 0 = (0.β€˜πΎ)
5 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 485 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2736 . . . . 5 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
81, 7, 2op01dm 37450 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ (𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
98simprd 496 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
109adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 18244 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  lecple 17066  lubclub 18124  glbcglb 18125  0.cp0 18238  OPcops 37439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-glb 18162  df-p0 18240  df-oposet 37443
This theorem is referenced by:  ople0  37454  opnlen0  37455  lub0N  37456  opltn0  37457  olj01  37492  olm01  37503  leatb  37559  1cvratex  37741  llnn0  37784  lplnn0N  37815  lvoln0N  37859  dalemcea  37928  ltrnatb  38405  tendo0tp  39057  cdlemk39s-id  39208  dia0eldmN  39308  dib0  39432  dih0  39548  dihmeetlem18N  39592
  Copyright terms: Public domain W3C validator