Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0le 39167
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31469 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2734 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 op0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 484 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2734 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2op01dm 39164 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
98simprd 495 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
109adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 18486 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  lubclub 18366  glbcglb 18367  0.cp0 18480  OPcops 39153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-glb 18404  df-p0 18482  df-oposet 39157
This theorem is referenced by:  ople0  39168  opnlen0  39169  lub0N  39170  opltn0  39171  olj01  39206  olm01  39217  leatb  39273  1cvratex  39455  llnn0  39498  lplnn0N  39529  lvoln0N  39573  dalemcea  39642  ltrnatb  40119  tendo0tp  40771  cdlemk39s-id  40922  dia0eldmN  41022  dib0  41146  dih0  41262  dihmeetlem18N  41306
  Copyright terms: Public domain W3C validator