Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0le 35340
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 28872 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2778 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 op0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 476 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 479 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2778 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2op01dm 35337 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
98simprd 491 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
109adantr 474 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 17429 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345  lubclub 17328  glbcglb 17329  0.cp0 17423  OPcops 35326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-glb 17361  df-p0 17425  df-oposet 35330
This theorem is referenced by:  ople0  35341  opnlen0  35342  lub0N  35343  opltn0  35344  olj01  35379  olm01  35390  leatb  35446  1cvratex  35627  llnn0  35670  lplnn0N  35701  lvoln0N  35745  dalemcea  35814  ltrnatb  36291  tendo0tp  36943  cdlemk39s-id  37094  dia0eldmN  37194  dib0  37318  dih0  37434  dihmeetlem18N  37478
  Copyright terms: Public domain W3C validator