Theorem op0le 36324

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 29220 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem op0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2823	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		op0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	op01dm 36321	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	9	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	p0le 17655	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  lecple 16574  lubclub 17554  glbcglb 17555  0.cp0 17649  OPcops 36310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-glb 17587  df-p0 17651  df-oposet 36314

This theorem is referenced by:  ople0  36325  opnlen0  36326  lub0N  36327  opltn0  36328  olj01  36363  olm01  36374  leatb  36430  1cvratex  36611  llnn0  36654  lplnn0N  36685  lvoln0N  36729  dalemcea  36798  ltrnatb  37275  tendo0tp  37927  cdlemk39s-id  38078  dia0eldmN  38178  dib0  38302  dih0  38418  dihmeetlem18N  38462