Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0le 38056
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 30694 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
op0le.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
op0le.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
op0le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . 2 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
3 op0le.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 op0le.z . 2 0 = (0.β€˜πΎ)
5 simpl 484 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 486 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2733 . . . . 5 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
81, 7, 2op01dm 38053 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ (𝐡 ∈ dom (lubβ€˜πΎ) ∧ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ)))
98simprd 497 . . 3 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
109adantr 482 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ dom (glbβ€˜πΎ))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 18382 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  lubclub 18262  glbcglb 18263  0.cp0 18376  OPcops 38042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-glb 18300  df-p0 18378  df-oposet 38046
This theorem is referenced by:  ople0  38057  opnlen0  38058  lub0N  38059  opltn0  38060  olj01  38095  olm01  38106  leatb  38162  1cvratex  38344  llnn0  38387  lplnn0N  38418  lvoln0N  38462  dalemcea  38531  ltrnatb  39008  tendo0tp  39660  cdlemk39s-id  39811  dia0eldmN  39911  dib0  40035  dih0  40151  dihmeetlem18N  40195
  Copyright terms: Public domain W3C validator