Theorem op0le 40018

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31864 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem op0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		op0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	op01dm 40015	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	p0le 18505	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  lubclub 18387  glbcglb 18388  0.cp0 18499  OPcops 40004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-glb 18423  df-p0 18501  df-oposet 40008

This theorem is used by:  ople0  40019  opnlen0  40020  lub0N  40021  opltn0  40022  olj01  40057  olm01  40068  leatb  40124  1cvratex  40305  llnn0  40348  lplnn0N  40379  lvoln0N  40423  dalemcea  40492  ltrnatb  40969  tendo0tp  41621  cdlemk39s-id  41772  dia0eldmN  41872  dib0  41996  dih0  42112  dihmeetlem18N  42156