Theorem op0le 40352

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 32052 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem op0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		op0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	op01dm 40349	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	p0le 18610	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  dom cdm 5651  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  lecple 17444  lubclub 18492  glbcglb 18493  0.cp0 18604  OPcops 40338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-glb 18528  df-p0 18606  df-oposet 40342

This theorem is used by:  ople0  40353  opnlen0  40354  lub0N  40355  opltn0  40356  olj01  40391  olm01  40402  leatb  40458  1cvratex  40639  llnn0  40682  lplnn0N  40713  lvoln0N  40757  dalemcea  40826  ltrnatb  41303  tendo0tp  41955  cdlemk39s-id  42106  dia0eldmN  42206  dib0  42330  dih0  42446  dihmeetlem18N  42490