Theorem op0le 34996

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 28641 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem op0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2771	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		op0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 468	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 471	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	op01dm 34993	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simprd 479	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	9	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	p0le 17252	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  ‘cfv 6032  Basecbs 16065  lecple 16157  lubclub 17151  glbcglb 17152  0.cp0 17246  OPcops 34982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-glb 17184  df-p0 17248  df-oposet 34986

This theorem is referenced by:  ople0  34997  opnlen0  34998  lub0N  34999  opltn0  35000  olj01  35035  olm01  35046  leatb  35102  1cvratex  35282  llnn0  35325  lplnn0N  35356  lvoln0N  35400  dalemcea  35469  ltrnatb  35946  ltrnmwOLD  35961  tendo0tp  36599  cdlemk39s-id  36750  dia0eldmN  36851  dib0  36975  dih0  37091  dihmeetlem18N  37135