Theorem op0le 38788

Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 31323 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op0le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem op0le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3		op0le.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		op0le.z	. 2 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5		simpl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
8	1, 7, 2	op01dm 38785	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
9	8	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
10	9	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	p0le 18424	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  lubclub 18304  glbcglb 18305  0.cp0 18418  OPcops 38774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-glb 18342  df-p0 18420  df-oposet 38778

This theorem is referenced by:  ople0  38789  opnlen0  38790  lub0N  38791  opltn0  38792  olj01  38827  olm01  38838  leatb  38894  1cvratex  39076  llnn0  39119  lplnn0N  39150  lvoln0N  39194  dalemcea  39263  ltrnatb  39740  tendo0tp  40392  cdlemk39s-id  40543  dia0eldmN  40643  dib0  40767  dih0  40883  dihmeetlem18N  40927